Мультитапер

Сравнение периодограммы (черный) и многоканальной оценки (красный) однократного пробного измерения потенциала локального поля. Для этой оценки использовалось 9 конусов.

В обработке сигналов , то multitaper метод является методом ^[1] , разработанный David J. Thomson , чтобы оценить в спектре мощности S _X из стационарного эргодично конечно-дисперсии случайного процесса X , учитывая конечную смежных реализацию из X в качестве данных. Это один из подходов к оценке спектральной плотности .

Мотивация [ править ]

Многожильный метод преодолевает некоторые ограничения обычного анализа Фурье . При применении преобразования Фурье для извлечения спектральной информации из сигнала мы предполагаем, что каждый коэффициент Фурье является надежным представлением амплитуды и относительной фазы соответствующей составляющей частоты. Однако это предположение не всегда верно. Например, единичное испытание представляет собой только одно зашумленное воплощение интересующего процесса. Аналогичная ситуация возникает в статистике при оценке показателей центральной тенденции.т. е. оценивать качества популяции с использованием отдельных лиц или очень маленьких выборок - плохая практика. Точно так же один образец процесса не обязательно обеспечивает надежную оценку его спектральных свойств. Более того, наивная спектральная плотность мощности, полученная из преобразования Фурье сигнала, является смещенной оценкой истинного спектрального содержания.

Эти проблемы часто преодолеваются путем усреднения по множеству реализаций одного и того же события. Однако этот метод ненадежен для небольших наборов данных и нежелателен, если не требуется ослаблять компоненты сигнала, которые меняются в ходе испытаний. Вместо усреднения по ансамблю многопозиционный метод снижает систематическую ошибку оценки за счет получения нескольких независимых оценок из одной и той же выборки. Каждая конусность данныхумножается поэлементно на сигнал, чтобы обеспечить оконное испытание, из которого оценивается мощность на каждой частоте компонента. Поскольку каждый конус попарно ортогонален всем другим конусам, оконные сигналы обеспечивают статистически независимые оценки лежащего в основе спектра. Окончательный спектр получается усреднением по всем сужающимся спектрам. Томсон выбрал Слепиан или дискретные вытянутые сфероидальные последовательности в качестве сужающихся, поскольку эти векторы взаимно ортогональны и обладают желаемыми свойствами спектральной концентрации (см. Раздел о последовательностях Слепяна). На практике часто используется средневзвешенное значение , чтобы компенсировать повышенные потери энергии на конусах более высокого порядка. ^[2]

Метод [ править ]

Рассмотрим p-мерный стационарный случайный процесс с нулевым средним

${\ Displaystyle \ mathbf {X} (t) = {\ lbrack X (1, ​​t), X (2, t), \ точки, X (p, t) \ rbrack} ^ {T}}$

Здесь T обозначает транспонирование матрицы. В нейрофизиологии , например, р относится к общему числу каналов и , следовательно , может представлять собой одновременное измерение электрической активности этого р каналы. Пусть интервал выборки между наблюдениями будет , так что частота Найквиста является .${\ Displaystyle \ mathbf {X} (т)}$${\ displaystyle \ Delta t}$${\ displaystyle f_ {N} = 1 / (2 \ Delta t)}$

В многопоточном спектральном оценщике используется несколько разных конусов данных, которые ортогональны друг другу. Многонадежный кросс-спектральный оценщик между каналом l и m представляет собой среднее значение K прямых кросс-спектральных оценщиков между одной и той же парой каналов ( l и m ) и, следовательно, принимает форму

${\ displaystyle {\ hat {S}} ^ {lm} (f) = {\ frac {1} {K}} \ sum _ {k = 0} ^ {K-1} {\ hat {S}} _ {k} ^ {lm} (f).}$

Здесь (для ) - это k- ^й прямой перекрестный спектральный оценщик между каналом l и m и определяется выражением${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)}$${\displaystyle 0\leq k\leq K}$

${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)={\frac {1}{N\Delta t}}{\lbrack J_{k}^{l}(f)\rbrack }^{*}{\lbrack J_{k}^{m}(f)\rbrack },}$

куда

${\displaystyle J_{k}^{l}(f)=\sum _{t=1}^{N}h_{t,k}X(l,t)e^{-i2\pi ft\Delta t}.}$

Три ведущие последовательности Слепянов для T = 1000 и 2WT = 6. Обратите внимание, что каждая последовательность более высокого порядка имеет дополнительный переход через нуль.

Последовательности Слепиана [ править ]

Последовательность представляет собой постепенное изменение данных для k- ^{го модуля} прямой кросс-спектральной оценки и выбирается следующим образом:${\displaystyle \lbrace h_{t,k}\rbrace }$${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)}$

Мы выбираем набор из K ортогональных конусов данных, каждый из которых обеспечивает хорошую защиту от утечки. Они задаются последовательностями Слепяна ^{[3] в} честь Дэвида Слепяна (также известного в литературе как дискретные вытянутые сфероидальные последовательности или сокращенно DPSS) с параметром W и порядками от k  = 0 до K  - 1. Максимальный порядок K выбирается равным меньше числа Шеннона . Величина 2 W определяет ширину полосы разрешения для задачи спектральной концентрации и . Когда l  =  m${\displaystyle 2NW\Delta t}$${\displaystyle W\in (0,f_{N})}$, получаем многопозиционный оценщик автоспектра l- ^го канала. В последние годы словарь, основанный на модулированном DPSS, был предложен как излишне полная альтернатива DPSS. ^[4]

См. Также функцию окна: окно DPSS или Slepian.

Применение многожильного метода [ править ]

Этот метод в настоящее время используется в наборе инструментов спектрального анализа Chronux . Подробное описание применения этого метода для анализа многоканальных и многоканальных данных, полученных в результате нейробиологических экспериментов, биомедицинской инженерии и других, можно найти здесь . Не ограничиваясь временными рядами, многостадийный метод может быть переформулирован для спектральной оценки на сфере с использованием функций Слепяна, построенных из сферических гармоник ^[5], для приложений в геофизике и космологии ^{[6] [7]} среди других.

См. Также [ править ]

• Периодограмма

Ссылки [ править ]

• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 13.4.3. Многопользовательские методы и функции Slepian» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Внешние ссылки [ править ]

• [1] Библиотеки C ++ / Octave для многопользовательского метода, включая адаптивное взвешивание (размещены на GitHub)
• [2] Документация по многожильному методу из реализации SSA-MTM Toolkit.
• [3] Библиотека Fortran 90 с дополнительными многомерными приложениями.
• [4] Модуль Python
• [5] Многопользовательский пакет R (язык программирования)
• [6] Скрипт S-Plus для генерации последовательностей Slepian (dpss)