САМВ (алгоритм)

SAMV ( итеративная разреженная асимптотическая минимальная дисперсия ^{[1] [2]} ) представляет собой алгоритм сверхразрешения без параметров для линейной обратной задачи в спектральной оценке , оценке направления прихода (DOA) и томографической реконструкции с приложениями в обработке сигналов , медицинской визуализации. и дистанционное зондирование . Название было придумано в 2013 году ^[1], чтобы подчеркнуть его основу на критерии асимптотически минимальной дисперсии (AMV). Это мощный инструмент для восстановления как амплитудных, так и частотных характеристик нескольких сильно коррелированныхисточники в сложных условиях (например, ограниченное количество снимков и низкое отношение сигнал / шум ). Приложения включают радар с синтезированной апертурой , ^{[2] [3]} компьютерную томографию и магнитно-резонансную томографию (МРТ) .

Определение [ править ]

Формулировка алгоритма SAMV дается как обратная задача в контексте оценки DOA. Предположим , что -элементное равномерная линейный массив (БАУ) получают узкополосные сигналы , излучаемые из источников , расположенных в местах , соответственно. Датчики в ULA накапливают снимки за определенное время. В мерные векторы моментального снимка${\ displaystyle M}$${\ displaystyle K}$${\displaystyle \mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\times 1}$

${\displaystyle \mathbf {y} (n)=\mathbf {A} \mathbf {x} (n)+\mathbf {e} (n),n=1,\ldots ,N}$

где - управляющая матрица , содержит формы сигналов источника и - шумовой член. Предположим, что , где - дельта Дирака, и она равна 1, только если и 0 в противном случае. Также предположим, что и независимы, и что , где . Пусть будет вектор , содержащий неизвестные силы сигнала и дисперсии шума, .${\displaystyle \mathbf {A} =[\mathbf {a} (\theta _{1}),\ldots ,\mathbf {a} (\theta _{K})]}$${\displaystyle {\bf {x}}(n)=[{\bf {x}}_{1}(n),\ldots ,{\bf {x}}_{K}(n)]^{T}}$${\displaystyle {\bf {e}}(n)}$${\displaystyle \mathbf {E} \left({\bf {e}}(n){\bf {e}}^{H}({\bar {n}})\right)=\sigma {\bf {I}}_{M}\delta _{n,{\bar {n}}}}$${\displaystyle \delta _{n,{\bar {n}}}}$${\displaystyle n={\bar {n}}}$${\displaystyle {\bf {e}}(n)}$${\displaystyle {\bf {x}}(n)}$${\displaystyle \mathbf {E} \left({\bf {x}}(n){\bf {x}}^{H}({\bar {n}})\right)={\bf {P}}\delta _{n,{\bar {n}}}}$${\displaystyle {\bf {P}}=\operatorname {Diag} ({p_{1},\ldots ,p_{K}})}$${\displaystyle {\bf {p}}}$${\displaystyle {\bf {p}}=[p_{1},\ldots ,p_{K},\sigma ]^{T}}$

Ковариационная матрица из , которая содержит всю информацию о IS${\displaystyle {\bf {y}}(n)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$

${\displaystyle {\bf {R}}={\bf {A}}{\bf {P}}{\bf {A}}^{H}+\sigma {\bf {I}}.}$

Эта ковариационная матрица традиционно может быть оценена с помощью выборочной ковариационной матрицы, где . После применения оператора векторизации к матрице полученный вектор линейно связан с неизвестным параметром как${\displaystyle {\bf {R}}_{N}={\bf {Y}}{\bf {Y}}^{H}/N}$${\displaystyle {\bf {Y}}=[{\bf {y}}(1),\ldots ,{\bf {y}}(N)]}$${\displaystyle {\bf {R}}}$${\displaystyle {\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$

${\displaystyle {\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}}$,

где , , , , и пусть где есть произведение Кронекера.${\displaystyle {\bf {S}}=[{\bf {S}}_{1},{\bar {\bf {a}}}_{K+1}]}$${\displaystyle {\bf {S}}_{1}=[{\bar {\bf {a}}}_{1},\ldots ,{\bar {\bf {a}}}_{K}]}$${\displaystyle {\bar {\bf {a}}}_{k}={\bf {a}}_{k}^{*}\otimes {\bf {a}}_{k}}$${\displaystyle k=1,\ldots ,K}$${\displaystyle {\bar {\bf {a}}}_{K+1}=\operatorname {vec} ({\bf {I}})}$${\displaystyle \otimes }$

Алгоритм САМВ [ править ]

Чтобы оценить параметр по статистике , мы разработали серию итерационных подходов SAMV, основанных на критерии асимптотически минимальной дисперсии. Из ^[1] ковариационная матрица произвольной согласованной оценки на основе статистики второго порядка ограничена действительной симметричной положительно определенной матрицей${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$${\displaystyle {\bf {r}}_{N}}$${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$${\displaystyle {\bf {r}}_{N}}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}}^{\operatorname {Alg} }\geq [{\bf {S}}_{d}^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}{\bf {S}}_{d}]^{-1},}$

где . Кроме того, эта нижняя граница достигается ковариационной матрицей асимптотического распределения, полученной минимизацией,${\displaystyle {\bf {S}}_{d}={\rm {d}}{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})/{\rm {d}}{\boldsymbol {p}}}$${\displaystyle {\hat {\bf {p}}}}$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {p}}}=\arg \min _{\boldsymbol {p}}f({\boldsymbol {p}}),}$

где${\displaystyle f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].}$

Следовательно, оценка может быть получена итеративно.${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {p}}}}$

И что минимизирует может быть вычислено следующим образом . Предположим, что и были аппроксимированы до определенной степени на th итерации, они могут быть уточнены на th итерации с помощью,${\displaystyle \{{\hat {p}}_{k}\}_{k=1}^{K}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$${\displaystyle f({\boldsymbol {p}})}$${\displaystyle {\hat {p}}_{k}^{(i)}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{(i)}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (i+1)}$

${\displaystyle {\hat {p}}_{k}^{(i+1)}={\frac {{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {R}}_{N}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}{({\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k})^{2}}}+{\hat {p}}_{k}^{(i)}-{\frac {1}{{\bf {a}}_{k}^{H}{\bf {R}}^{-1{(i)}}{\bf {a}}_{k}}},\quad k=1,\ldots ,K}$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{(i+1)}=\left(\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}}{\bf {R}}_{N})+{\hat {\sigma }}^{(i)}\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}})-\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-1^{(i)}})\right)/{\operatorname {Tr} {({\bf {R}}^{-2^{(i)}})}},}$

где оценка на й итерации дается выражением с .${\displaystyle {\bf {R}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\bf {R}}^{(i)}={\bf {A}}{\bf {P}}^{(i)}{\bf {A}}^{H}+{\hat {\sigma }}^{(i)}{\bf {I}}}$${\displaystyle {\bf {P}}^{(i)}=\operatorname {Diag} ({\hat {p}}_{1}^{(i)},\ldots ,{\hat {p}}_{K}^{(i)})}$

Помимо точности сканирования сетки [ править ]

Разрешающая способность большинства методов локализации источника на основе сжатого зондирования ограничена точностью сетки направлений, которая покрывает пространство параметров местоположения. ^[4] В модели восстановления разреженного сигнала разреженность сигнала истинности зависит от расстояния между соседними элементами в переполненном словаре , поэтому возникает сложность выбора оптимального переполненного словаря . Вычислительная сложность прямо пропорциональна тонкости сетки направлений, высокоплотная сетка не является практичной с точки зрения вычислений. Чтобы преодолеть это ограничение разрешения, налагаемое сеткой, бессеточный SAMV-SML (${\displaystyle \mathbf {x} (n)}$${\displaystyle {\bf {A}}}$итеративная разреженная асимптотическая минимальная дисперсия - стохастический максимум правдоподобия ) ^[1], которые уточняют оценки местоположения путем итеративной минимизации стохастической функции стоимости максимального правдоподобия относительно одного скалярного параметра .${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {\theta }}}=(\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})^{T}}$${\displaystyle \theta _{k}}$

Применение к дальномерной доплеровской визуализации [ править ]

Типичное применение алгоритма SAMV в SISO радар / гидролокатор дальности - проблема доплеровской визуализации . Эта проблема визуализации представляет собой приложение для создания одного снимка, и включены алгоритмы, совместимые с оценкой одного снимка, т. Е. Согласованный фильтр (MF, аналогичный периодограмме или обратной проекции , который часто эффективно реализуется как быстрое преобразование Фурье (FFT)), IAA , ^[5] и вариант алгоритма САМВ (САМВ-0). Условия моделирования идентичны: ^[5] Сжатие многофазного импульса A -элементом.${\displaystyle 30}$В качестве передаваемого импульса используется код P3, и в общей сложности моделируются девять движущихся целей. Из всех движущихся целей три имеют мощность в дБ, а остальные шесть - мощность в дБ. Предполагается, что принятые сигналы загрязнены однородным белым гауссовским шумом мощностью в дБ.${\displaystyle 5}$${\displaystyle 25}$${\displaystyle 0}$

Результат обнаружения согласованного фильтра страдает от сильных эффектов размытия и утечки как в доплеровской области, так и в области дальности, поэтому невозможно различить цели в дБ. Напротив, алгоритм IAA предлагает улучшенные результаты визуализации с наблюдаемыми оценками дальности до цели и доплеровскими частотами. Подход SAMV-0 обеспечивает очень разреженный результат и полностью устраняет эффекты размытия, но не пропускает слабые целевые значения дБ.${\displaystyle 5}$${\displaystyle 5}$

Реализация с открытым исходным кодом [ править ]

Реализацию алгоритма SAMV в MATLAB с открытым исходным кодом можно скачать здесь .

См. Также [ править ]

• Обработка массива
• Соответствующий фильтр
• Периодограмма
• Отфильтрованная обратная проекция (преобразование Радона)
• MUltiple SIgnal Classification (MUSIC), популярный параметрический метод сверхразрешения
• Импульсно-доплеровский радар
• Изображения в сверхвысоком разрешении
• Сжатое зондирование
• Обратная задача
• Томографическая реконструкция

Ссылки [ править ]