Уравнения Макки-Гласса

В математике и математической биологии , то уравнения Макки-стеклах , названные в честь Майкла Макки и Леон стекла , относятся к семейству дифференциальных уравнений с запаздыванием , поведение которых удается имитировать как здоровое и патологическое поведение в определенных биологических условиях, контролируемое параметрами уравнения в. ^[1] Первоначально они использовались для моделирования изменения относительного количества зрелых клеток в крови. Уравнения определены как: ^{[1] [2]}

${\ displaystyle {\ frac {dP (t)} {dt}} = {\ frac {\ beta _ {0} \ theta ^ {n}} {\ theta ^ {n} + P (t- \ tau) ^ {n}}} - \ gamma P (t)}$

(Уравнение 1)

и

${\ displaystyle {\ frac {dP (t)} {dt}} = {\ frac {\ beta _ {0} \ theta ^ {n} P (t- \ tau)} {\ theta ^ {n} + P (t- \ tau) ^ {n}}} - \ gamma P (t)}$

(Уравнение 2)

где представляет собой плотность ячеек во времени, и являются параметрами уравнений.${\ Displaystyle P (t)}$${\ displaystyle \ beta _ {0}, \ theta, n, \ tau, \ gamma}$

Уравнение ( 2 ), в частности, примечательно в динамических системах, поскольку оно может приводить к появлению хаотических аттракторов различных размеров. ^[3]

Введение [ править ]

Временные ряды, полученные из уравнений Макки-Гласса. Это можно рассматривать как моделирование здорового изменения плотности клеток крови. Здесь .${\ Displaystyle \ тау = 6}$

Также генерируется из уравнений Макки-Гласса, но теперь может рассматриваться как патологическое изменение плотности клеток крови. Здесь .${\ Displaystyle \ тау = 22}$

Существует огромное количество физиологических систем, которые включают или полагаются на периодическое поведение определенных подкомпонентов системы . ^[4] Например, многие гомеостатические процессы полагаются на отрицательную обратную связь для контроля концентрации веществ в крови; дыханию , например, способствует обнаружение мозгом высокой концентрации CO ₂ в крови. ^[5] Один из способов математического моделирования таких систем - использовать следующее простое обыкновенное дифференциальное уравнение :

${\ Displaystyle у '(т) = к-cy (т)}$

где - скорость, с которой производится «вещество», и контролирует, как текущий уровень вещества препятствует продолжению его производства. Решения этого уравнения могут быть найдены с помощью интегрирующего множителя и имеют вид:${\ displaystyle k}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle y (t) = {\ frac {k} {c}} + f (y_ {0}) e ^ {- cy}}$

где - любое начальное условие для задачи начального значения .${\ displaystyle y_ {0}}$

Однако вышеупомянутая модель предполагает, что изменения в концентрации вещества обнаруживаются немедленно, что часто не происходит в физиологических системах. Чтобы облегчить эту проблему, Mackey, MC & Glass, L. (1977) предложили изменить производительность в зависимости от концентрации в более ранний момент времени, в надежде, что это лучше отразит тот факт, что существует значительный задержка до того, как костный мозг произведет и выпустит зрелые клетки в кровь после обнаружения низкой концентрации клеток в крови. ^[6] Принимая производительность как:${\ Displaystyle к (у (т- \ тау))}$${\ Displaystyle т- \ тау}$${\ displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {\beta _{0}\theta ^{n}}{\theta ^{n}+P(t-\tau )^{n}}}~~{\text{ or }}~~{\frac {\beta _{0}\theta ^{n}P(t-\tau )}{\theta ^{n}+P(t-\tau )^{n}}}}$

получаем уравнения ( 1 ) и ( 2 ) соответственно. Величины, использованные Mackey, MC & Glass, L. (1977), были , и , с начальным условием . Значение не имеет значения для целей анализа динамики уравнения ( 2 ), поскольку изменение переменной сводит уравнение к:${\displaystyle \gamma =0.1}$${\displaystyle \beta _{0}=0.2}$${\displaystyle n=10}$${\displaystyle P(0)=0.1}$${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle P(t)=\theta \cdot Q(t)}$

${\displaystyle Q'(t)={\frac {\beta _{0}Q(t-\tau )}{1+Q(t-\tau )^{n}}}-\gamma Q(t).}$

Вот почему в этом контексте графики часто располагаются по оси -ax.${\displaystyle Q(t)=P(t)/\theta }$${\displaystyle y}$

Динамическое поведение [ править ]

Аттракторы Макки-Гласса для различных значений параметра. ${\displaystyle \tau }$

Представляет интерес изучить поведение решений уравнения при изменении , поскольку оно представляет собой время, необходимое физиологической системе для реакции на изменение концентрации вещества. Увеличение этой задержки может быть вызвано патологией , которая, в свою очередь, может привести к хаотическим решениям уравнений Макки-Гласса, особенно уравнения ( 2 ). Когда мы получаем очень регулярное периодическое решение, которое можно рассматривать как характеристику «здорового» поведения; с другой стороны, когда решение становится гораздо более неустойчивым.${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau =6}$${\displaystyle \tau =22}$

Аттрактор Макки-Гласса можно визуализировать, построив пары . ^[2] Это отчасти оправдано, потому что дифференциальные уравнения с запаздыванием (иногда) могут быть сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений , а также потому, что они являются приблизительно бесконечномерными отображениями . ^{[3] [7]}${\displaystyle (P(t),P(t-\tau ),P(t-2\tau ))}$

Ссылки [ править ]

См. Также [ править ]

• Циркадный ритм
• Циркадный осциллятор
• Нейронные колебания