Магнитное число Рейнольдса

Магнитное число Рейнольдса ( R _м ) представляет собой магнитный аналог числа Рейнольдса , фундаментальной безразмерной группы , которая происходит в магнитогидродинамики . Он дает оценку относительного воздействия адвекции или индукции магнитного поля за счет движения проводящей среды, часто жидкости, на магнитную диффузию . Обычно это определяется:

${\ displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {UL} {\ eta}} ~~ \ sim {\ frac {\ mathrm {индукция}} {\ mathrm {диффузия}}} }$

куда

• ${\ displaystyle U}$ типичный масштаб скорости потока
• ${\ displaystyle L}$ - типичный масштаб длины потока
• ${\ displaystyle \ eta}$это коэффициент магнитной диффузии

Механизм, с помощью которого движение проводящей жидкости создает магнитное поле, является предметом теории динамо . Однако, когда магнитное число Рейнольдса очень велико, диффузия и динамо не вызывают беспокойства, и в этом случае вместо этого основное внимание уделяется влиянию магнитного поля на поток.

Вывод [ править ]

${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {\ mathrm {m}}}$широко используется в физике плазмы, где распространены два типа единиц СИ (гауссовские сгс и СИ-мкс), потому что гауссовские сгс единицы часто допускают более чистые выводы, из которых физические рассуждения более ясны, поэтому стоит записать вывод в обоих наборах единиц. В теории магнитогидродинамики уравнение переноса магнитного поля имеет вид ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ nabla \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}) + {\ frac {\ rho _ {e }} {\ mu _ {o}}} \ nabla ^ {2} \ mathbf {B}}$

в единицах СИ мкс и

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = \ nabla \ times (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}) + {\ frac {\ rho _ {e } c ^ {2}} {4 \ pi}} \ nabla ^ {2} \ mathbf {B}}$

в гауссовых единицах cgs, для проницаемости свободного пространства , скорости света , скорости жидкости и удельного сопротивления . Единицы измерения - Ом-м в СИ-мкс и секунды в гауссовых единицах измерения. Последний член в каждом из этих уравнений - это диффузионный член с кинематическим коэффициентом диффузии, имеющий единицы расстояния, возведенные в квадрат в единицу времени, являющийся множителем, умножающим . Таким образом, независимая от единиц форма этих двух уравнений имеет вид ${\ displaystyle \ mu _ {o}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ rho _ {e}}$${\ displaystyle \ rho _ {e}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle \ набла ^ {2} \ mathbf {B}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )+\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} .}$

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$- это соотношение двух членов в правой части при предположении, что они имеют общую длину шкалы , так что в обоих терминах, и что масштаб равен . Таким образом, можно найти${\displaystyle L}$${\displaystyle \nabla \sim 1/L}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}={\frac {UL\mu _{o}}{\rho _{e}}}}$

в единицах СИ мкс и

${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }={\frac {UL}{\eta }}={\frac {4\pi UL}{\rho _{e}c^{2}}}}$

в гауссовых единицах cgs.

Некоторая путаница часто возникает из-за того, что обычно используется как для коэффициента магнитной диффузии, так и для удельного сопротивления плазмы, причем соотношение в единицах СИ мкс является таковым .${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta =\rho _{e}/\mu _{o}}$

Общие характеристики для больших и малых R _m [ править ]

Ведь адвекция относительно не важна, и поэтому магнитное поле будет стремиться релаксировать к чисто диффузионному состоянию, определяемому скорее граничными условиями, чем потоком.${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$

Для получения , диффузии относительно небольшое значение по длине шкалы L . Затем силовые линии магнитного поля адвектируются с потоком жидкости до тех пор, пока градиенты не концентрируются в областях достаточно короткого масштаба длины, чтобы диффузия могла уравновесить адвекцию.${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\gg 1}$

Диапазон значений [ править ]

Солнце огромное и имеет большое , порядка 10 ⁶ . Диссипативные эффекты обычно невелики, и нет никаких трудностей в поддержании магнитного поля против диффузии.${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

Для Земли оценивается порядка 10 ³ . ^[1] Рассеивание более значительно, но магнитное поле поддерживается движением во внешнем сердечнике из жидкого железа. В солнечной системе есть другие тела, которые имеют работающие динамо, например Юпитер, Сатурн и Меркурий, и другие тела, которые не имеют, например Марс, Венера и Луна.${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

Человеческий масштаб длины очень мал, что обычно . Генерация магнитного поля движением проводящей жидкости была достигнута лишь в нескольких крупных экспериментах с использованием ртути или жидкого натрия.^{[2] [3] [4]}${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }\ll 1}$

Границы [ править ]

В ситуациях, когда постоянное намагничивание невозможно, например, выше температуры Кюри , для поддержания магнитного поля должно быть достаточно большое, чтобы индукция перевешивала диффузию. Для индукции важна не абсолютная величина скорости, а скорее относительные различия и сдвиги в потоке, которые растягивают и складывают силовые линии магнитного поля. ^[5] Следовательно, более подходящей формой для магнитного числа Рейнольдса в этом случае является${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }={\frac {L^{2}S}{\eta }}}$

где S - мера деформации. Один из наиболее известных результатов принадлежит Бэкусу ^[6], который утверждает, что минимум для генерации магнитного поля потоком в сфере таков, что${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }}$

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }\geq \pi ^{2}}$

где - радиус сферы, - максимальная скорость деформации. С тех пор Проктор улучшил эту границу примерно на 25%. ^[7]${\displaystyle L=a}$${\displaystyle S=e_{max}}$

Во многих исследованиях генерации магнитного поля потоком рассматривается удобный в вычислительном отношении периодический куб. В этом случае минимум оказывается ^[8]

${\displaystyle \mathrm {\hat {R}} _{\mathrm {m} }=2.48}$

где - среднеквадратичная деформация в масштабированной области со сторонами длины . Если исключается срезание по мелким масштабам в кубе, то - минимум, где - среднеквадратичное значение.${\displaystyle S}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathrm {R} _{\mathrm {m} }=1.73}$${\displaystyle U}$

Связь с числом Рейнольдса и числом Пекле [ править ]

Магнитное число Рейнольдса имеет форму, аналогичную числу Пекле и числу Рейнольдса . Все три могут рассматриваться как дающие отношение адвективных к диффузионным эффектам для конкретного физического поля и имеют аналогичную форму скорости, умноженной на длину, деленную на коэффициент диффузии. Магнитное число Рейнольдса связано с магнитным полем в МГД-потоке, в то время как число Рейнольдса связано с самой скоростью жидкости, а число Пекле связано с теплотой. Группы безразмерные возникают в не-dimensionalization соответствующих регулирующих уравнений, то уравнение индукции , то уравнение импульса , и уравнение теплопроводности .

Связь с вихретоковым торможением [ править ]

Безразмерное магнитное число Рейнольдса также используется в случаях, когда физическая жидкость не используется.${\displaystyle R_{m}}$

${\displaystyle R_{m}=\mu \sigma }$ × (характерная длина) × (характерная скорость)

куда

${\displaystyle \mu }$ магнитная проницаемость

${\displaystyle \sigma }$ - электропроводность.

Для получения в скин - эффекта можно пренебречь , и вихретоковый тормозного момента следует теоретическую кривую асинхронного двигателя.${\displaystyle R_{m}<1}$

Поскольку преобладает скин-эффект, и тормозной момент уменьшается с увеличением скорости намного медленнее, чем это предсказывается моделью асинхронного двигателя. ^[9]${\displaystyle R_{m}>30}$

См. Также [ править ]

• Число Лундквиста
• Магнитогидродинамика
• Число Рейнольдса
• Число Пекле

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Моффатт, Х. Кейт, 2000, " Размышления о магнитогидродинамике ". В: Перспективы динамики жидкости ( ISBN 0-521-53169-1 ) (под ред. Г. К. Бэтчелора, Х. К. Моффатта и М. Г. Уорстера) Cambridge University Press , стр. 347–391. 
• PA Davidson, 2001, Введение в магнитогидродинамику ( ISBN 0-521-79487-0 ), Cambridge University Press .