Уравнение индукции , одно из уравнений магнитогидродинамики , представляет собой уравнение в частных производных, которое связывает магнитное поле и скорость электропроводящей жидкости, такой как плазма . Его можно вывести из уравнений Максвелла и закона Ома , и он играет важную роль в физике плазмы и астрофизике , особенно в теории динамо .
Математическое утверждение
Уравнения Максвелла, описывающие законы Фарадея и Ампера, читаются следующим образом:
а также
где ток смещения не учитывается, поскольку он обычно имеет небольшие эффекты в астрофизических приложениях, а также в большинстве лабораторных плазм. Здесь,, а также - электрическое и магнитное поля соответственно ,это электрический ток. Электрическое поле может быть связано с плотностью тока с использованием закона Ома , где - поле скорости , а- электрическая проводимость жидкости. Объединив эти три уравнения, исключив а также , дает уравнение индукции для электрически резистивной жидкости :
Здесь, - коэффициент магнитопроводности (в литературе удельное электрическое сопротивление , определяемое как, часто отождествляют с коэффициентом магнитной диффузии).
Если жидкость движется с обычной скоростью и типичный масштаб длины , тогда
Отношение этих величин, являющееся безразмерным параметром, называется магнитным числом Рейнольдса :
.
Идеально проводящий предел
Для получения жидкости с бесконечной электропроводностью ,, первое слагаемое в уравнении индукции обращается в нуль. Это эквивалентно очень большому магнитному числу Рейнольдса . Например, это может быть порядокв типичной звезде. В этом случае жидкость можно назвать идеальной или идеальной. Итак, уравнение индукции для идеальной проводящей жидкости, такой как большинство астрофизической плазмы, имеет вид
В теории динамо это считается хорошим приближением , используемым для объяснения эволюции магнитного поля в астрофизических средах, таких как звезды , галактики и аккреционные диски .
Диффузионный предел
Для очень малых магнитных чисел Рейнольдса диффузионный член превосходит конвективный. Например, в электрически резистивной жидкости с большими значениямимагнитное поле очень быстро рассеивается, и теорема Альфвена неприменима . Это означает, что магнитная энергия рассеивается в тепло и другие виды энергии. Тогда уравнение индукции выглядит так:
Обычно определяют шкалу времени рассеяния который является шкалой времени для рассеяния магнитной энергии в масштабе длины .