Математическая модель

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Математическая модель»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Математическая модель представляет собой описание системы , используя математические понятия и язык . Процесс разработки математической модели называется математическим моделированием . Математические модели используются в естественных науках (таких как физика , биология , науки о Земле , химия ) и инженерных дисциплинах (таких как информатика , электротехника ), а также в нефизических системах, таких как социальные науки (например, экономика ,психология , социология , политология ). Математические модели также используются в музыке , ^[1] лингвистике , ^[2] философии (например, интенсивно в аналитической философии ) и религии (например, повторяющееся использование № 7, 12 и 40 в Библии ).

Модель может помочь объяснить систему и изучить влияние различных компонентов, а также сделать прогнозы относительно поведения.

Элементы математической модели [ править ]

Математические модели могут принимать различные формы, включая динамические системы , статистические модели , дифференциальные уравнения или теоретико-игровые модели . Эти и другие типы моделей могут пересекаться, при этом данная модель включает в себя множество абстрактных структур. В общем, математические модели могут включать логические модели . Во многих случаях качество научной области зависит от того, насколько хорошо математические модели, разработанные с теоретической стороны, согласуются с результатами повторяемых экспериментов. Несогласованность между теоретическими математическими моделями и экспериментальными измерениями часто приводит к важным достижениям по мере разработки более совершенных теорий.

В физических науках традиционная математическая модель содержит большинство из следующих элементов:

1. Основные уравнения
2. Дополнительные подмодели
   1. Определение уравнений
   2. Материальные уравнения
3. Допущения и ограничения
   1. Начальные и граничные условия.
   2. Классические связи и кинематические уравнения

Классификации [ править ]

Математические модели обычно состоят из отношений и переменных . Взаимосвязи могут быть описаны операторами , такими как алгебраические операторы, функции, дифференциальные операторы и т. Д. Переменные - это абстракции интересующих системных параметров , которые могут быть определены количественно . Для математических моделей можно использовать несколько критериев классификации в соответствии с их структурой:

• Линейный или нелинейный: если все операторы в математической модели демонстрируют линейность , полученная математическая модель определяется как линейная. В противном случае модель считается нелинейной. Определение линейности и нелинейности зависит от контекста, и в линейных моделях могут быть нелинейные выражения. Например, в статистической линейной модели предполагается, что зависимость линейна по параметрам, но может быть нелинейной по параметрам-предикторам. Точно так же дифференциальное уравнение называется линейным, если его можно записать с помощью линейных дифференциальных операторов , но при этом в нем могут быть нелинейные выражения. В математическом программированииМодель, если целевые функции и ограничения представлены полностью линейными уравнениями , то модель рассматривается как линейная модель. Если одна или несколько целевых функций или ограничений представлены нелинейным уравнением, то модель называется нелинейной моделью.
  Линейная структура подразумевает, что проблема может быть разложена на более простые части, которые можно обрабатывать независимо и / или анализировать в другом масштабе, и полученные результаты останутся действительными для исходной проблемы после перекомпоновки и масштабирования.
  Нелинейность даже в довольно простых системах часто ассоциируется с такими явлениями, как хаос и необратимость.. Although there are exceptions, nonlinear systems and models tend to be more difficult to study than linear ones. A common approach to nonlinear problems is linearization, but this can be problematic if one is trying to study aspects such as irreversibility, which are strongly tied to nonlinearity.
• Static vs. dynamic: A dynamic model accounts for time-dependent changes in the state of the system, while a static (or steady-state) model calculates the system in equilibrium, and thus is time-invariant. Dynamic models typically are represented by differential equations or difference equations.
• Явные и неявные: если все входные параметры общей модели известны, а выходные параметры могут быть вычислены с помощью конечной серии вычислений, модель называется явной . Но иногда известны выходные параметры, и соответствующие входные данные необходимо решать с помощью итерационной процедуры, такой как метод Ньютона или метод Бройдена . В таком случае модель называется неявной . Например, физические свойства реактивного двигателя, такие как площадь сечения турбины и сопла, могут быть явно рассчитаны с учетом расчетного термодинамического цикла. (расхода воздуха и топлива, давления и температуры) при определенных условиях полета и настройке мощности, но рабочие циклы двигателя при других условиях полета и настройках мощности не могут быть явно рассчитаны на основе постоянных физических свойств.
• Дискретный по сравнению с непрерывным: A дискретной модель обрабатывает объекты как дискретные, такие , как частицы в молекулярной модели или состояния в статистической модели ; в то время как непрерывная модель представляет объекты непрерывным образом, такие как поле скоростей жидкости в трубопроводах, температуры и напряжения в твердом теле, а также электрическое поле, которое непрерывно применяется ко всей модели из-за точечного заряда.
• Deterministic vs. probabilistic (stochastic): A deterministic model is one in which every set of variable states is uniquely determined by parameters in the model and by sets of previous states of these variables; therefore, a deterministic model always performs the same way for a given set of initial conditions. Conversely, in a stochastic model—usually called a "statistical model"—randomness is present, and variable states are not described by unique values, but rather by probability distributions.
• Deductive, inductive, or floating: A deductive model is a logical structure based on a theory. An inductive model arises from empirical findings and generalization from them. The floating model rests on neither theory nor observation, but is merely the invocation of expected structure. Application of mathematics in social sciences outside of economics has been criticized for unfounded models.^[3] Application of catastrophe theory in science has been characterized as a floating model.^[4]
• Стратегические и нестратегические модели, используемые в теории игр , отличаются в том смысле, что они моделируют агентов с несовместимыми стимулами, такими как конкурирующие виды или участники аукциона. Стратегические модели предполагают, что игроки являются автономными лицами, принимающими решения, которые рационально выбирают действия, которые максимизируют их целевую функцию. Ключевой проблемой использования стратегических моделей является определение и вычисление концепций решения, таких как равновесие по Нэшу . Интересным свойством стратегических моделей является то, что они отделяют рассуждения о правилах игры от рассуждений о поведении игроков. ^[5]

Строительство [ править ]

В бизнесе и инженерии математические модели могут использоваться для максимизации определенного результата. Рассматриваемая система потребует определенных входов. Система , касающиеся входы к выходам зависит от других переменных тоже: переменных решений , переменных состояний , экзогенных переменных и случайных величин .

Переменные решения иногда называют независимыми переменными. Экзогенные переменные иногда называют параметрами или константами . Переменные не являются независимыми друг от друга, поскольку переменные состояния зависят от решения, входных, случайных и экзогенных переменных. Кроме того, выходные переменные зависят от состояния системы (представленного переменными состояния).

Цели и ограничения системы и ее пользователей могут быть представлены как функции выходных переменных или переменных состояния. Эти целевые функции будут зависеть от точки зрения пользователя модели. В зависимости от контекста целевая функция также известна как индекс производительности , поскольку она представляет собой некоторую меру интереса для пользователя. Хотя количество целевых функций и ограничений, которые может иметь модель, не ограничено, использование или оптимизация модели становятся более сложными (в вычислительном отношении) по мере увеличения числа.

Например, экономисты часто применяют линейную алгебру при использовании моделей затрат-выпуска . Сложные математические модели с множеством переменных можно объединить с помощью векторов, в которых один символ представляет несколько переменных.

Априорная информация [ править ]

Проблемы математического моделирования часто подразделяются на модели черного или белого ящика в зависимости от объема доступной априорной информации о системе. Модель черного ящика - это система, о которой нет априорной информации. Модель белого ящика (также называемая стеклянным ящиком или прозрачным ящиком) - это система, в которой доступна вся необходимая информация. Практически все системы находятся где-то между моделями черного ящика и белого ящика, поэтому эта концепция полезна только в качестве интуитивно понятного руководства для принятия решения о том, какой подход выбрать.

Обычно предпочтительно использовать как можно больше априорной информации, чтобы сделать модель более точной. Поэтому модели белого ящика обычно считаются более простыми, потому что, если вы правильно использовали информацию, модель будет вести себя правильно. Часто априорная информация приходит в форме знания типа функций, относящихся к различным переменным. Например, если мы создадим модель того, как лекарство работает в системе человека, мы узнаем, что обычно количество лекарства в крови экспоненциально уменьшается.функция. Но у нас все еще остается несколько неизвестных параметров; как быстро распадается количество лекарства и каково начальное количество лекарства в крови? Таким образом, этот пример не является полностью моделью белого ящика. Эти параметры должны быть оценены с помощью некоторых средств, прежде чем можно будет использовать модель.

В моделях черного ящика пытаются оценить как функциональную форму отношений между переменными, так и числовые параметры в этих функциях. Используя априорную информацию, мы могли бы получить, например, набор функций, которые, вероятно, могли бы адекватно описать систему. Если нет априорной информации, мы попытаемся использовать функции как можно более общие, чтобы охватить все различные модели. Часто используемый подход для моделей черного ящика - это нейронные сети, которые обычно не делают предположений о входящих данных. В качестве альтернативы можно использовать алгоритмы NARMAX (нелинейная модель авторегрессионного скользящего среднего с внешними входными данными), которые были разработаны как часть идентификации нелинейных систем ^[6]может использоваться для выбора условий модели, определения структуры модели и оценки неизвестных параметров в присутствии коррелированного и нелинейного шума. Преимущество моделей NARMAX по сравнению с нейронными сетями состоит в том, что NARMAX создает модели, которые можно записать и связать с базовым процессом, тогда как нейронные сети создают непрозрачное приближение.

Субъективная информация [ править ]

Иногда бывает полезно включить субъективную информацию в математическую модель. Это может быть сделано на основе интуиции , опыта или мнения экспертов или на основе удобства математической формы. Байесовская статистика обеспечивает теоретическую основу для включения такой субъективности в строгий анализ: мы указываем априорное распределение вероятностей (которое может быть субъективным), а затем обновляем это распределение на основе эмпирических данных.

Примером того, когда такой подход может быть необходим, является ситуация, в которой экспериментатор слегка сгибает монету и один раз подбрасывает ее, фиксируя, выпадает ли она орлом, а затем получает задачу предсказать вероятность того, что следующее подбрасывание выпадет орлом. После сгибания монеты истинная вероятность того, что монета выпадет орлом, неизвестна; поэтому экспериментатору нужно будет принять решение (возможно, посмотрев на форму монеты) о том, какое предварительное распределение использовать. Включение такой субъективной информации может быть важным для получения точной оценки вероятности.

Сложность [ править ]

В общем, сложность модели предполагает компромисс между простотой и точностью модели. Бритва Оккама - это принцип, особенно актуальный для моделирования, его основная идея заключается в том, что среди моделей с примерно равной предсказательной силой самая простая является наиболее желательной. Хотя дополнительная сложность обычно улучшает реалистичность модели, она может затруднить понимание и анализ модели, а также может создать вычислительные проблемы, включая численную нестабильность . Томас Кун утверждает, что по мере развития науки объяснения имеют тенденцию усложняться, прежде чем смена парадигмы предложит радикальное упрощение. ^[7]

Например, при моделировании полета самолета мы могли бы встроить каждую механическую часть самолета в нашу модель и, таким образом, получить модель системы почти белого цвета. Однако вычислительные затраты на добавление такого огромного количества деталей фактически препятствовали бы использованию такой модели. Кроме того, неопределенность может увеличиться из-за чрезмерно сложной системы, потому что каждая отдельная часть вносит некоторую вариативность в модель. Поэтому обычно уместно сделать некоторые приближения, чтобы уменьшить модель до разумного размера. Инженеры часто могут принять некоторые приближения, чтобы получить более надежную и простую модель. Например, классическая механика Ньютона приближенная модель реального мира. Тем не менее, модели Ньютона вполне достаточно для большинства ситуаций обычной жизни, то есть до тех пор, пока скорости частиц намного ниже скорости света , и мы изучаем только макрочастицы.

Обратите внимание, что лучшая точность не обязательно означает лучшую модель. Статистические модели склонны к переобучению, что означает, что модель слишком хорошо приспособлена к данным и потеряла способность обобщать новые события, которые ранее не наблюдались.

Обучение и настройка [ править ]

Любая модель, не являющаяся чистым белым ящиком, содержит некоторые параметры, которые можно использовать для подгонки модели к системе, которую она предназначена для описания. Если моделирование выполняется с помощью искусственной нейронной сети или другого машинного обучения , оптимизация параметров называется обучением , а оптимизация гиперпараметров модели называется настройкой и часто использует перекрестную проверку . ^[8] В более традиционном моделировании с помощью явно заданных математических функций параметры часто определяются путем подбора кривой ^{[ необходима ссылка ]} .

Оценка модели [ править ]

Важнейшей частью процесса моделирования является оценка того, точно ли данная математическая модель описывает систему. На этот вопрос может быть сложно ответить, поскольку он включает несколько различных типов оценки.

Соответствие эмпирическим данным [ править ]

Обычно самая легкая часть оценки модели - это проверка того, соответствует ли модель экспериментальным измерениям или другим эмпирическим данным. В моделях с параметрами общий подход к проверке соответствия состоит в том, чтобы разделить данные на два непересекающихся подмножества: данные обучения и данные проверки. Данные обучения используются для оценки параметров модели. Точная модель будет точно соответствовать данным проверки, даже если эти данные не использовались для установки параметров модели. В статистике такая практика называется перекрестной проверкой .

Определение метрики для измерения расстояний между наблюдаемыми и прогнозируемыми данными - полезный инструмент для оценки соответствия модели. В статистике, теории принятия решений, а также некоторые экономические модели , функция потерь играет аналогичную роль.

Хотя проверить соответствие параметров довольно просто, может быть сложнее проверить правильность общей математической формы модели. В целом, было разработано больше математических инструментов для проверки соответствия статистических моделей, чем моделей, включающих дифференциальные уравнения . Иногда инструменты непараметрической статистики можно использовать для оценки того, насколько хорошо данные соответствуют известному распределению, или для создания общей модели, которая делает только минимальные предположения о математической форме модели.

Объем модели [ править ]

Assessing the scope of a model, that is, determining what situations the model is applicable to, can be less straightforward. If the model was constructed based on a set of data, one must determine for which systems or situations the known data is a "typical" set of data.

The question of whether the model describes well the properties of the system between data points is called interpolation, and the same question for events or data points outside the observed data is called extrapolation.

В качестве примера типичных ограничений объема модели при оценке классической механики Ньютона мы можем отметить, что Ньютон проводил свои измерения без современного оборудования, поэтому он не мог измерить свойства частиц, движущихся со скоростью, близкой к скорости света. Точно так же он не измерял движения молекул и других мелких частиц, а измерял только макрочастицы. Поэтому неудивительно, что его модель не может хорошо экстраполироваться на эти области, хотя его модели вполне достаточно для обычной физики жизни.

Философские соображения [ править ]

Многие типы моделирования неявно включают утверждения о причинно-следственной связи . Обычно (но не всегда) это верно для моделей, включающих дифференциальные уравнения. Поскольку цель моделирования - улучшить наше понимание мира, валидность модели зависит не только от ее соответствия эмпирическим наблюдениям, но и от ее способности экстраполировать на ситуации или данные, выходящие за рамки тех, что были первоначально описаны в модели. Это можно рассматривать как различие между качественными и количественными прогнозами. Можно также утверждать, что модель бесполезна, если она не дает некоторого понимания, выходящего за рамки того, что уже известно из прямого исследования изучаемого явления.

Примером такой критики является аргумент о том, что математические модели теории оптимального кормодобывания не предлагают понимания, выходящего за рамки здравого смысла выводов эволюции и других основных принципов экологии. ^[9]

Значение в естественных науках [ править ]

Математические модели имеют большое значение в естествознании, особенно в физике . Физические теории почти всегда выражаются с помощью математических моделей.

На протяжении всей истории появлялось все больше и больше точных математических моделей. Законы Ньютона точно описывают многие повседневные явления, но в определенных пределах необходимо использовать теорию относительности и квантовую механику .

В физике принято использовать идеализированные модели для упрощения вещей. Безмассовые веревки, точечные частицы, идеальные газы и частица в ящике - это одни из многих упрощенных моделей, используемых в физике. Законы физики представлены простыми уравнениями , такие как законы Ньютона, уравнения Максвелла и уравнения Шредингера . Эти законы являются основой для построения математических моделей реальных ситуаций. Многие реальные ситуации очень сложны и поэтому моделируются приблизительно на компьютере. Модель, которую можно вычислить с помощью вычислений, создается на основе основных законов или приближенных моделей, созданных на основе основных законов. Например, молекулы можно моделировать с помощью молекулярных орбиталей.модели, которые являются приближенными решениями уравнения Шредингера. В инженерии физические модели часто создаются математическими методами, такими как анализ методом конечных элементов .

В разных математических моделях используется разная геометрия, которая не обязательно является точным описанием геометрии Вселенной. Евклидова геометрия широко используется в классической физике, в то время как специальная теория относительности и общая теория относительности являются примерами теорий, которые используют геометрию , не являющуюся евклидовой.

Некоторые приложения [ править ]

Часто, когда инженеры анализируют систему, которую нужно контролировать или оптимизировать, они используют математическую модель. В ходе анализа инженеры могут построить описательную модель системы в качестве гипотезы того, как система может работать, или попытаться оценить, как непредвиденное событие может повлиять на систему. Точно так же, управляя системой, инженеры могут опробовать различные подходы к управлению в симуляциях .

A mathematical model usually describes a system by a set of variables and a set of equations that establish relationships between the variables. Variables may be of many types; real or integer numbers, boolean values or strings, for example. The variables represent some properties of the system, for example, measured system outputs often in the form of signals, timing data, counters, and event occurrence (yes/no). The actual model is the set of functions that describe the relations between the different variables.

Examples[edit]

• One of the popular examples in computer science is the mathematical models of various machines, an example is the deterministic finite automaton (DFA) which is defined as an abstract mathematical concept, but due to the deterministic nature of a DFA, it is implementable in hardware and software for solving various specific problems. For example, the following is a DFA M with a binary alphabet, which requires that the input contains an even number of 0s.

M = (Q, Σ, δ, q₀, F) where

• Q = {S₁, S₂},
• Σ = {0, 1},
• q₀ = S₁,
• F = {S₁}, and
• δ is defined by the following state transition table:

	0	1
S1	S2	S1
S2	S1	S2

The state S₁ represents that there has been an even number of 0s in the input so far, while S₂ signifies an odd number. A 1 in the input does not change the state of the automaton. When the input ends, the state will show whether the input contained an even number of 0s or not. If the input did contain an even number of 0s, M will finish in state S₁, an accepting state, so the input string will be accepted.

The language recognized by M is the regular language given by the regular expression 1*( 0 (1*) 0 (1*) )*, where "*" is the Kleene star, e.g., 1* denotes any non-negative number (possibly zero) of symbols "1".

• Many everyday activities carried out without a thought are uses of mathematical models. A geographical map projection of a region of the earth onto a small, plane surface is a model which can be used for many purposes such as planning travel.^[10]
• Another simple activity is predicting the position of a vehicle from its initial position, direction and speed of travel, using the equation that distance traveled is the product of time and speed. This is known as dead reckoning when used more formally. Mathematical modeling in this way does not necessarily require formal mathematics; animals have been shown to use dead reckoning.^[11][12]
• Population Growth. A simple (though approximate) model of population growth is the Malthusian growth model. A slightly more realistic and largely used population growth model is the logistic function, and its extensions.
• Model of a particle in a potential-field. In this model we consider a particle as being a point of mass which describes a trajectory in space which is modeled by a function giving its coordinates in space as a function of time. The potential field is given by a function ${\displaystyle V\!:\mathbb {R} ^{3}\!\rightarrow \mathbb {R} }$ and the trajectory, that is a function ${\displaystyle \mathbf {r} \!:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$, is the solution of the differential equation:

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}m={\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial x}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial y}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {\partial V[\mathbf {r} (t)]}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} ,}$

that can be written also as:

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V[\mathbf {r} (t)].}$

Note this model assumes the particle is a point mass, which is certainly known to be false in many cases in which we use this model; for example, as a model of planetary motion.

• Model of rational behavior for a consumer. In this model we assume a consumer faces a choice of n commodities labeled 1,2,...,n each with a market price p₁, p₂,..., p_n. The consumer is assumed to have an ordinal utility function U (ordinal in the sense that only the sign of the differences between two utilities, and not the level of each utility, is meaningful), depending on the amounts of commodities x₁, x₂,..., x_n consumed. The model further assumes that the consumer has a budget M which is used to purchase a vector x₁, x₂,..., x_n in such a way as to maximize U(x₁, x₂,..., x_n). The problem of rational behavior in this model then becomes a mathematical optimization problem, that is:

${\displaystyle \max U(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

subject to:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq M.}$

${\displaystyle x_{i}\geq 0\;\;\;\forall i\in \{1,2,\ldots ,n\}}$

This model has been used in a wide variety of economic contexts, such as in general equilibrium theory to show existence and Pareto efficiency of economic equilibria.

• Neighbour-sensing model is a model that explains the mushroom formation from the initially chaotic fungal network.
• In computer science, mathematical models may be used to simulate computer networks.
• In mechanics, mathematical models may be used to analyze the movement of a rocket model.

See also[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

Books[edit]

• Aris, Rutherford [ 1978 ] ( 1994 ). Mathematical Modelling Techniques, New York: Dover. ISBN 0-486-68131-9
• Bender, E.A. [ 1978 ] ( 2000 ). An Introduction to Mathematical Modeling, New York: Dover. ISBN 0-486-41180-X
• Gary Chartrand (1977) Graphs as Mathematical Models, Prindle, Webber & Schmidt ISBN 0871502364
• Dubois, G. (2018) "Modeling and Simulation", Taylor & Francis, CRC Press.
• Gershenfeld, N. (1998) The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge University Press ISBN 0-521-57095-6 .
• Lin, C.C. & Segel, L.A. ( 1988 ). Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Philadelphia: SIAM. ISBN 0-89871-229-7

Specific applications[edit]

• Papadimitriou, Fivos. (2010). Mathematical Modelling of Spatial-Ecological Complex Systems: an Evaluation. Geography, Environment, Sustainability 1(3), 67-80. doi:10.24057/2071-9388-2010-3-1-67-80
• Peierls, R. (1980). "Model-making in physics". Contemporary Physics. 21: 3–17. Bibcode:1980ConPh..21....3P. doi:10.1080/00107518008210938.
• An Introduction to Infectious Disease Modelling by Emilia Vynnycky and Richard G White.

External links[edit]

General reference

• Patrone, F. Introduction to modeling via differential equations, with critical remarks.
• Plus teacher and student package: Mathematical Modelling. Brings together all articles on mathematical modeling from Plus Magazine, the online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge.

Philosophical

• Frigg, R. and S. Hartmann, Models in Science, in: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Spring 2006 Edition)
• Griffiths, E. C. (2010) What is a model?