В математической логике , теория является полной , если для любой замкнутой формулы в языке этой теории, что формула или ее отрицание доказуема. Рекурсивно аксиоматизируемые теории первого порядка , которые непротиворечивы и достаточно богаты, чтобы позволить сформулировать общие математические рассуждения, не могут быть полными, как продемонстрировала первая теорема Гёделя о неполноте .
Это чувство завершенности отличается от понятия полной логики , которое утверждает, что для любой теории, которая может быть сформулирована в логике, все семантически действительные утверждения являются доказуемыми теоремами (в соответствующем смысле «семантически действительный»). Теорема Гёделя о полноте относится к последнему виду полноты.
Полные теории закрываются при выполнении ряда условий внутреннего моделирования Т-схемы :
- Для набора формул : если и только если а также ,
- Для набора формул : если и только если или же .
Максимальные последовательные наборы являются основным инструментом в теории модели из классической логики и модальной логики . Их существование в данном случае обычно является прямым следствием леммы Цорна , основанной на идее, что противоречие включает использование только конечного числа посылок. В случае модальных логик, совокупность согласованных множеств максимальных простирающихся теории T (закрыто под правилом усиления) может быть задана структура модели из T , называется каноническая моделью.
Примеры
Вот несколько примеров полных теорий:
- Пресбургерская арифметика
- Аксиомы Тарского для евклидовой геометрии
- Теория плотных линейных порядков без концов
- Теория алгебраически замкнутых полей заданной характеристики.
- Теория реальных замкнутых полей
- Всякая бесчисленно категоричная счетная теория
- Всякая счетно категоричная счетная теория
- Группа из трех элементов
Смотрите также
Рекомендации
- Мендельсон, Эллиотт (1997). Введение в математическую логику (четвертое изд.). Чепмен и Холл. п. 86. ISBN 978-0-412-80830-2.