В статистической механике, расширение кластера (также называется расширение высокой температуры или прыжковой расширения ) является разложение в степенной ряд от функции распределения статистической теории поля вокруг модели , которая является объединением невзаимодействующих 0-мерных теорий поля. Кластерные расширения возникли в работах Mayer & Montroll (1941) . В отличие от обычного расширения возмущений, [ когда определяется как? ] он сходится в некоторых нетривиальных областях, в частности, когда взаимодействие мало.
Классический корпус
Общая теория
В статистической механике свойства системы невзаимодействующих частиц описываются статистической суммой. Для N невзаимодействующих частиц система описывается гамильтонианом
- ,
а статистическая сумма может быть вычислена (для классического случая) как
Из статистической суммы можно вычислить свободную энергию Гельмгольца и, следовательно, все термодинамические свойства системы, такие как энтропия , внутренняя энергия, химический потенциал и т. д.
Когда частицы системы взаимодействуют, точное вычисление статистической суммы обычно невозможно. При низкой плотности взаимодействия можно аппроксимировать суммой двухчастичных потенциалов:
Для этого потенциала взаимодействия статистическая сумма может быть записана как
- ,
а свободная энергия
- ,
где Q - конфигурационный интеграл :
Расчет интеграла конфигурации
Конфигурационный интеграл не может быть рассчитан аналитически для общего парного потенциала . Один из способов приблизительно рассчитать потенциал - использовать расширение кластера Майера. Это разложение основано на наблюдении, что экспонента в уравнении для можно записать как произведение вида
- .
Затем определите функцию Майера от . После подстановки уравнение для конфигурационного интеграла принимает вид:
Расчет продукта в приведенном выше уравнении приводит к ряду условий; первый равен единице, второй член равен сумме по i и j членов, и процесс продолжается до тех пор, пока не будут вычислены все члены более высокого порядка.
Каждый термин должен появляться только один раз. С помощью этого расширения можно найти члены разного порядка по количеству участвующих частиц. Первый член - это термин невзаимодействия (соответствующий отсутствию взаимодействий между частицами), второй член соответствует двухчастичным взаимодействиям, третий - двухчастичным взаимодействиям между 4 (не обязательно отдельными) частицами и так далее. Эта физическая интерпретация является причиной того, что это расширение называется кластерным расширением: сумма может быть перестроена так, чтобы каждый член представлял взаимодействия внутри кластеров определенного числа частиц.
Подстановка разложения произведения обратно в выражение для интеграла конфигурации приводит к разложению в ряд для :
Подставляя уравнение для свободной энергии, можно получить уравнение состояния системы взаимодействующих частиц. Уравнение будет иметь вид
- ,
известное как вириальное уравнение , а компоненты- вириальные коэффициенты . Каждому из вириальных коэффициентов соответствует один член кластерного разложения ( - член двухчастичного взаимодействия, - член трехчастичного взаимодействия и т. д.). Сохраняя только член двухчастичного взаимодействия, можно показать, что расширение кластера с некоторыми приближениями дает уравнение Ван-дер-Ваальса .
Это может быть применено в дальнейшем к смесям газов и жидких растворов.
Рекомендации
- Глимм, Джеймс ; Джаффе, Артур (1987), Квантовая физика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96476-8, MR 0887102
- Ициксон, Клод; Дрофф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория поля. Vol. 1 , Кембриджские монографии по математической физике, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-34058-8, Руководство по ремонту 1175176
- Ициксон, Клод; Дрофф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория поля. Vol. 2 , Кембриджские монографии по математической физике, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-37012-7, Руководство по ремонту 1175177
- Майер, Джозеф Э .; Montroll, Elliott (1941), «Молекулярные распределения», J. Chem. Phys. , 9 : 2-16, DOI : 10,1063 / 1,1750822
- Патрия, РК (1996), Статистическая механика (второе издание), Баттерворт-Хайнеманн, ISBN 978-0-7506-2469-5, глава 9.
- Ландау, Лев Давидович (1984), Статистическая механика , Курс теоретической физики , 5 (Третье изд.), Butterworth-Heinemann , ISBN 978-0-7506-3372-7
- Hansen, J.-P .; Макдональд, И.Р. (2005), Теория простых жидкостей (3-е изд.), Elsevier , ISBN 978-0-12-370535-8
- Фридли, С .; Веленик Ю. (2017). Статистическая механика решетчатых систем: конкретное математическое введение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107184824.