Проблема портфеля Мертона - хорошо известная проблема в области непрерывного финансирования и, в частности, межвременного выбора портфеля . Инвестор должен выбрать, сколько потреблять, и должен распределить свое богатство между акциями и безрисковым активом, чтобы максимизировать ожидаемую полезность . Задача была сформулирована и решена Робертом К. Мертоном в 1969 году как для конечных времен жизни, так и для бесконечного случая. [1] Исследования продолжали расширять и обобщать модель, чтобы включить такие факторы, как транзакционные издержки и банкротство.
Постановка задачи
Инвестор живет от времени 0 до времени T ; его богатство в момент t обозначается W t . Он начинает с известного начального богатства W 0 (которое может включать приведенную стоимость дохода от заработной платы). В момент времени t он должен выбрать, какое количество своего богатства потребить c t и какую долю богатства вложить в портфель акций, π t (оставшаяся часть 1 - π t инвестируется в безрисковый актив).
Цель
где E - оператор ожидания, u - известная функция полезности (которая применяется как к потреблению, так и к конечному богатству, или завещанию, W T ), ε параметризует желаемый уровень завещания, а ρ - субъективная ставка дисконтирования.
Богатство развивается согласно стохастическому дифференциальному уравнению
где r - безрисковая ставка, ( μ , σ ) - ожидаемая доходность и волатильность фондового рынка, а дБ t - приращение винеровского процесса , то есть стохастический член SDE.
Функция полезности имеет форму постоянного относительного неприятия риска (CRRA):
где - константа, которая выражает нежелание инвестора рисковать: чем выше гамма, тем больше нежелание владеть акциями.
Потребление не может быть отрицательным: c t ≥ 0, в то время как π t не ограничено (то есть допускается заимствование или продажа акций).
Инвестиционные возможности предполагаются постоянными, то есть r , μ , σ известны и постоянны в этой версии модели (1969 г.), хотя Мертон позволил им изменить их в своей межвременной CAPM (1973).
Решение
Несколько неожиданно для задачи оптимального управления существует решение в замкнутой форме. Оптимальное потребление и распределение запасов зависят от богатства и времени следующим образом:
(Это выражение обычно называют дробью Мертона. Обратите внимание, что W и t не появляются в правой части; это означает, что постоянная часть богатства инвестируется в акции, независимо от возраста или благосостояния инвестора) .
где а также
Переменная - субъективная ставка дисконтирования за коммунальные услуги. [2] : 401 )
Расширения
Было исследовано множество вариантов проблемы, но большинство из них не привело к простому решению в закрытой форме.
- Можно принять во внимание гибкий пенсионный возраст. [3]
- Может использоваться функция полезности, отличная от CRRA.
- Могут быть введены транзакционные издержки. Для пропорциональных трансакционных издержек проблема была решена Дэвисом и Норманом в 1990 году. [4] Это один из немногих случаев стохастического сингулярного управления, где решение известно. Для графического представления суммы, инвестированные в каждый из двух активов, могут быть нанесены на оси x и y ; Через начало координат можно провести три диагональные линии: верхнюю границу, линию Мертона и нижнюю границу. Линия Мертона представляет портфели, в которых соотношение акций / облигаций определяется Мертоном при отсутствии транзакционных издержек. Пока точка, представляющая текущий портфель, находится рядом с линией Мертона, то есть между верхней и нижней границами, никаких действий предпринимать не нужно. Когда портфель пересекает верхнюю или нижнюю границу, необходимо перебалансировать портфель, чтобы вернуть его к этой границе. В 1994 году Шрив и Сонер проанализировали проблему с помощью уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана и его решений для определения вязкости. [5]
- Когда существуют фиксированные трансакционные издержки, проблема была рассмотрена Истманом и Гастингсом в 1988 году. [6] Метод численного решения был предложен Шредером в 1995 году [7].
- Наконец, Мортон и Плиска [8] рассмотрели торговые издержки, которые пропорциональны богатству инвестора для логарифмической полезности. Хотя такая структура затрат кажется нерепрезентативной для реальных транзакционных издержек, ее можно использовать для поиска приблизительных решений в случаях с дополнительными активами [9], например, с отдельными запасами, когда становится трудно или трудно дать точные решения проблемы.
- Предположение о постоянных инвестиционных возможностях можно ослабить. Это требует модели того, какизменение с течением времени. Можно добавить модель процентной ставки, которая приведет к портфелю, содержащему облигации с разными сроками погашения. Некоторые авторы добавили модель стохастической волатильности доходности фондового рынка.
- Банкротство может быть инкорпорированным. Эта проблема была решена Каратзасом, Лехочки, Сетхи и Шрив в 1986 году. [10] Многие модели, включающие банкротство, собраны в Сетхи (1997). [11]
Рекомендации
- ^ Мертон, RC (1 августа 1969). «Пожизненный выбор портфеля в условиях неопределенности: случай непрерывного времени». Обзор экономики и статистики . 51 (3): 247–257. DOI : 10.2307 / 1926560 . ISSN 0034-6535 . JSTOR 1926560 .
- ^ Мертон, Р. К. (1971). «Оптимальное потребление и правила портфеля в модели непрерывного времени» (PDF) . Журнал экономической теории . 3 (4): 373–413. DOI : 10.1016 / 0022-0531 (71) 90038-X . ЛВП : 1721,1 / 63980 .
- ^ Bodie, Z .; Merton, RC ; Самуэльсон, У. Ф. (1992). «Гибкость предложения рабочей силы и выбор портфеля в модели жизненного цикла» (PDF) . Журнал экономической динамики и управления . 16 (3-4): 427. DOI : 10.1016 / 0165-1889 (92) 90044-F .
- ^ Дэвис, штат Массачусетс ; Норман, AR (1990). «Выбор портфеля с транзакционными издержками» (PDF) . Математика исследования операций . 15 (4): 676. DOI : 10.1287 / moor.15.4.676 . hdl : 10044/1/11848 . JSTOR 3689770 .
- ^ Шрив, ЮВ; Сонер, HM (1994). «Оптимальные инвестиции и потребление с учетом транзакционных издержек» . Анналы прикладной теории вероятностей . 4 (3): 609. DOI : 10,1214 / aoap / 1177004966 . JSTOR 2245058 .
- ^ Eastham, JF; Гастингс, KJ (1988). «Оптимальное импульсное управление портфелями». Математика исследования операций . 13 (4): 588. DOI : 10.1287 / moor.13.4.588 . JSTOR 3689945 .
- ^ Шредер, М. (1995). «Оптимальный выбор портфеля с фиксированными транзакционными издержками: численные решения» (PDF) . Рабочий документ . Университет штата Мичиган.
- ^ Мортон, AJ; Плиска, SR (1995). «Оптимальное управление портфелем с фиксированными транзакционными издержками». Математические финансы . 5 (4): 337. DOI : 10.1111 / j.1467-9965.1995.tb00071.x .
- ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) на 2014-11-08 . Проверено 28 октября 2014 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
- ^ Karatzas, I .; Lehoczky, JP; Сетхи, ИП; Шрив С.Е. (1985). «Явное решение общей проблемы потребления / инвестирования». Стохастические дифференциальные системы . Конспект лекций в области управления и информатики. 78 . п. 209. DOI : 10.1007 / BFb0041165 . ISBN 3-540-16228-3.
- ^ Сетхи, СП (1997). Оптимальное потребление и инвестиции при банкротстве . DOI : 10.1007 / 978-1-4615-6257-3 . ISBN 978-1-4613-7871-6.
- Каратзас, Иоаннис; Шрив, Стивен Э. (1998). Методы математических финансов . Стохастическое моделирование и прикладная вероятность. 39 . DOI : 10.1007 / b98840 . ISBN 978-0-387-94839-3.
- Мертон RC: Непрерывное финансирование , Блэквелл (1990).