Межвременные модель определения стоимости финансовых активов , или ICAPM , является альтернативой САРМ , представленной Робертом Мертоном . Это линейная факторная модель с богатством в качестве переменной состояния, которая прогнозирует изменения в распределении будущих доходов или доходов .
В ICAPM инвесторы принимают решения о потреблении на протяжении всей жизни, когда сталкиваются с более чем одной неопределенностью. Основное различие между ICAPM и стандартным CAPM - это дополнительные переменные состояния, которые подтверждают тот факт, что инвесторы хеджируются от дефицита потребления или от изменений в наборе будущих инвестиционных возможностей.
Мертон [1] рассматривает рынок с непрерывным временем в состоянии равновесия. Переменная состояния (X) следует броуновскому движению :
Инвестор максимизирует свою полезность Фон Неймана-Моргенштерна :
где T - временной горизонт, а B [W (T), T] - полезность от богатства (W).
У инвестора есть следующее ограничение на богатство (W). Позволятьбыть весом, инвестированным в актив i. Потом:
где это доходность актива i. Изменение богатства:
Мы можем использовать динамическое программирование для решения проблемы. Например, если мы рассмотрим серию задач с дискретным временем:
Тогда разложение Тейлора дает:
где - значение от t до t + dt.
Предполагая, что возврат следует за броуновским движением :
с участием:
Затем отмена сроков второго и выше порядка:
Используя уравнение Беллмана , мы можем переформулировать проблему:
при условии ограничения богатства, указанного ранее.
Используя лемму Ито, мы можем переписать:
и ожидаемое значение:
После некоторой алгебры [2] у нас есть следующая целевая функция:
где это безрисковая доходность. Условия первого порядка:
В матричной форме мы имеем:
где вектор ожидаемой доходности, ковариационная матрица доходностей, вектор единства ковариация между доходами и переменной состояния. Оптимальный вес:
Обратите внимание, что межвременная модель обеспечивает те же веса, что и CAPM . Ожидаемую доходность можно выразить следующим образом:
где m - рыночный портфель, а ha - портфель для хеджирования переменной состояния.