Выбор межвременного портфеля

Межвременной выбор портфеля - это процесс многократного распределения инвестируемого богатства между различными активами , особенно финансовыми активами , с течением времени таким образом, чтобы оптимизировать какой-либо критерий. Набор пропорций активов в любой момент определяет портфель . Поскольку доходность почти всех активов не является полностью предсказуемой, критерий должен учитывать финансовый риск . Обычно критерием является ожидаемое значение некоторой вогнутой функции стоимости портфеля через определенное количество периодов времени, то есть ожидаемая полезность.окончательного богатства. С другой стороны , это может быть функцией различных уровней товаров и услуг потребления , которые достигаются путем удаления некоторых средств из портфеля после каждого периода времени.

Дискретное время [ править ]

Независимые от времени решения [ править ]

В общем контексте оптимальное распределение портфеля в любой период времени после первого будет зависеть от количества богатства, полученного в результате портфеля предыдущего периода, которое зависит от доходности активов, имевшей место в предыдущем периоде, а также от размера портфеля этого периода и распределение, последнее, в свою очередь, зависело от количества богатства, полученного в результате портфеля за предыдущий период, и т. д. Однако при определенных обстоятельствах оптимальные решения по портфелю могут быть приняты способом, разделенным во времени, так что доли богатства, размещенные в определенных активах, зависят только от стохастического распределения доходности активов за этот конкретный период.

Утилита журнала [ править ]

Если функция полезности инвестора - это логарифмическая функция полезности конечного богатства, предотвращающая риск.${\ displaystyle W_ {T},}$

${\ displaystyle {\ text {Utility}} = \ ln W_ {T},}$

тогда решения межвременны разделены. ^[1] Пусть начальное богатство (сумма, которую можно инвестировать в начальный период) будет равным, а стохастический портфель будет возвращаться в любой период (несовершенно предсказуемая сумма, до которой средний доллар в портфеле вырастет или сократится в заданный период t ) будет зависит от распределения портфеля - долей текущего богатства, унаследованных от предыдущего периода, которые распределяются в начале периода t на активы i ( i = 1, ..., n ). Так:${\ displaystyle W_ {0}}$${\ displaystyle R_ {t}.}$ ${\ displaystyle R_ {t}}$${\ displaystyle w_ {it}}$${\ displaystyle W_ {t-1}}$

${\ Displaystyle W_ {T} = W_ {0} R_ {1} R_ {2} \ cdots R_ {T}}$

куда

${\ Displaystyle R_ {t} = w_ {1t} r_ {1t} + w_ {2t} r_ {2t} + \ cdots + w_ {nt} r_ {nt},}$

где относится к стохастической доходности (несовершенно предсказуемой сумме, до которой вырастет средний доллар) актива i за период t , и где доли ( i = 1, ..., n ) ограничены суммой до 1. Взятие логарифма из выше , чтобы выразить исход контингента полезности, подставив в течение каждого т , и принимая ожидаемое значение логарифма дает выражение ожидаемой полезности быть развернуто:${\displaystyle r_{it}}$${\displaystyle w_{it}}$${\displaystyle W_{T}}$${\displaystyle R_{t}}$${\displaystyle W_{T}}$

${\displaystyle \ln[W_{0}]+\sum _{t=1}^{T}{\text{E}}\ln[w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt}].}$

Члены, содержащие доли выбора для различных t , аддитивно разделены, что приводит к результату межвременной независимости оптимальных решений : оптимизация для любого конкретного периода принятия решения t включает в себя взятие производных от одного аддитивно отдельного выражения по отношению к различным долям, и условия первого порядка для оптимальных долей в конкретный период не содержат информации о стохастической доходности или информации о решениях для любого другого периода.${\displaystyle w_{it}}$

Критерий Келли [ править ]

Критерий Келли для межвременного выбора портфеля утверждает , что, когда возвращение активов распределение одинаково во всех периоды, конкретный портфель реплицируется каждый период будет превосходить все другие последовательности портфеля в долгосрочной перспективе. В данном случае долгосрочный период представляет собой произвольно большое количество периодов времени, так что распределения наблюдаемых результатов для всех активов соответствуют их распределениям ожидаемых вероятностей. Критерий Келли приводит к тем же решениям по портфелю, что и максимизация ожидаемого значения логарифмической функции полезности, как описано выше.

Утилита питания [ править ]

Как и логарифмическая функция полезности, функция энергетической полезности для любого значения параметра мощности демонстрирует постоянное относительное неприятие риска , свойство, которое имеет тенденцию вызывать пропорциональное масштабирование решений без изменений по мере увеличения первоначального богатства. Функция полезной мощности:

${\displaystyle {\text{Utility}}=aW_{T}^{a}}$

с положительным или отрицательным, но ненулевым параметром a <1. С этой функцией полезности вместо логарифмической единицы приведенный выше анализ приводит к следующему выражению ожидаемой полезности, которое должно быть максимизировано:

${\displaystyle a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}[R_{1}^{a}\cdot R_{2}^{a}\cdots R_{T}^{a}],}$

где как раньше

${\displaystyle R_{t}=w_{1t}r_{1t}+w_{2t}r_{2t}+\cdots +w_{nt}r_{nt}}$

для каждого периода времени t .

Если существует последовательная независимость доходов от активов - то есть, если реализация дохода по любому активу в любом периоде не связана с реализацией дохода по любому активу в любой другой период - тогда это выражение ожидаемой полезности становится

${\displaystyle a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}R_{1}^{a}\cdot {\text{E}}R_{2}^{a}\cdots {\text{E}}R_{T}^{a};}$

Максимизация этого выражения ожидаемой полезности эквивалентна отдельной максимизации (если a > 0) или минимизации (если a <0) каждого из членов. Следовательно, при этом условии мы снова имеем межвременную независимость решений портфеля. Обратите внимание, что логарифмическая функция полезности, в отличие от степенной функции полезности, не требует допущения о межвременной независимости доходности для получения межвременной независимости решений портфеля.${\displaystyle {\text{E}}R_{t}^{a}.}$

Утилита HARA [ править ]

Гиперболическое абсолютное неприятие риска (HARA) - это особенность широкого класса функций полезности фон Неймана-Моргенштерна для выбора в условиях риска, включая функции полезности логарифма и мощности, о которых говорилось выше. Моссин ^[2] показал, что при использовании утилиты HARA оптимальный выбор портфеля предполагает частичную независимость от времени решений, если есть безрисковый актив и существует последовательная независимость доходности активов: чтобы найти оптимальный портфель текущего периода, нужно знать никакой будущей распределительной информации о доходах активов, кроме будущей безрисковой доходности.

Решения, зависящие от времени [ править ]

Согласно вышеизложенному, ожидаемая полезность конечного богатства с функцией степенной полезности равна

${\displaystyle a\cdot W_{0}^{a}\cdot {\text{E}}[R_{1}^{a}\cdot R_{2}^{a}\cdots R_{T}^{a}].}$

Если нет последовательной независимости доходностей во времени, тогда оператор ожиданий не может применяться отдельно к различным мультипликативным членам. Таким образом, оптимальный портфель для любого периода будет зависеть от распределения вероятностей доходности для различных активов, зависящих от их реализации в предыдущем периоде, и поэтому не может быть определен заранее.

Более того, оптимальные действия в конкретный период необходимо будет выбрать, основываясь на знании того, как будут приниматься решения в будущих периодах, потому что реализация в текущем периоде доходности активов влияет не только на результат портфеля для текущего периода, но и также условные распределения вероятностей для будущих доходов активов и, следовательно, будущих решений.

Эти соображения применимы к функциям полезности в целом, за исключением отмеченных ранее. В общем, ожидаемое выражение полезности, которое должно быть максимизировано:

${\displaystyle {\text{E}}U(W_{T})={\text{E}}U(W_{0}R_{1}R_{2}\cdots R_{T}),}$

где U - функция полезности.

Динамическое программирование [ править ]

Математическим методом удовлетворения этой потребности в текущем принятии решений с учетом будущего принятия решений является динамическое программирование . В динамическом программировании правило принятия решения для последнего периода, зависящее от доступного богатства и реализации доходности активов за все предыдущие периоды, разрабатывается заранее; затем разрабатывается правило принятия решений для предпоследнего периода с учетом того, как результаты этого периода повлияют на решения последнего периода; и так далее назад во времени. Эта процедура очень быстро становится сложной, если существует более нескольких периодов времени или более нескольких активов.

Усреднение долларовой стоимости [ править ]

Усреднение долларовой стоимости - это постепенный переход в рискованные активы; его часто рекомендуют инвестиционные консультанты. Как указано выше, это не подтверждается моделями с утилитой журнала. Однако он может возникать из модели межвременной средней дисперсии с отрицательной серийной корреляцией доходностей. ^[3]

Возрастные эффекты [ править ]

С помощью утилиты HARA, доходности активов, которые независимо и одинаково распределяются во времени, и безрискового актива, пропорции рискованных активов не зависят от оставшегося срока службы инвестора. ^{[1] : глава 11} При определенных допущениях, включая экспоненциальную полезность и один актив с доходностью в соответствии с процессом ARMA (1,1), необходимое, но не достаточное условие для увеличения консерватизма (уменьшения владения рискованным активом) с течением времени (что советники по инвестициям часто рекомендуют отрицательную последовательную корреляцию первого порядка , в то время как неотрицательная последовательная корреляция первого порядка дает противоположный результат - повышенное принятие риска в более поздние моменты времени. ^[4]

Модели межвременного портфеля, в которых выбор портфеля осуществляется совместно с решениями о межвременном предложении рабочей силы, могут привести к возрастному эффекту консерватизма, усиливающемуся с возрастом ^{[ необходима цитата ],} как отстаивают многие инвестиционные консультанты. Этот результат следует из того факта, что рискованные инвестиции в молодом инвесторе, которые оборачиваются плохо, можно отреагировать путем предоставления большего количества рабочей силы, чем ожидалось в последующие периоды времени, чтобы хотя бы частично компенсировать утраченное богатство; поскольку пожилой человек с меньшим количеством последующих периодов времени менее способен компенсировать плохую доходность инвестиций таким образом, для инвестора оптимально брать на себя меньший инвестиционный риск в более старшем возрасте.

Непрерывное время [ править ]

Роберт С. Мертон ^[5] показал, что в непрерывном времени с гиперболическим абсолютным неприятием риска, с доходностью активов, эволюция которой описывается броуновским движением и которые независимо и одинаково распределяются во времени, и с безрисковым активом, можно получить явное решение для спроса на уникальный оптимальный портфель, и этот спрос линейен по начальному богатству.

См. Также [ править ]

• Теория принятия решений
• Межвременное бюджетное ограничение
• Модель ценообразования межвременных капитальных активов
• Межвременной выбор
• Инвестиционная стратегия
• Современная теория портфолио
• Двухмоментная модель решения

Ссылки [ править ]