Распространение металога

Трехчленные распределения металога

Четырехчленное распределение металога при ${\ displaystyle a_ {3} = 0}$

Распределение металиг - это гибкое непрерывное распределение вероятностей, предназначенное для простоты использования на практике. Вместе со своими преобразованиями семейство непрерывных распределений металиг уникально, поскольку оно воплощает в себе все следующие свойства: практически неограниченную гибкость формы; выбор между неограниченным, полуограниченным и ограниченным распределениями; простота подгонки к данным с помощью линейных наименьших квадратов; простые уравнения функции квантилей в замкнутой форме (обратный CDF ), упрощающие моделирование ; и простой PDF - файл в закрытой форме (в формате p-PDF ^[1] ). Более того, как в сериале Тейлора, распределения металиг могут иметь любое количество терминов, в зависимости от желаемой степени гибкости формы и других потребностей приложения.

Приложения, в которых могут быть полезны распределения металога, обычно включают подгонку эмпирических данных, смоделированных данных или квантилей , полученных экспертом, для сглаживания непрерывных распределений вероятностей. Сферы применения обширны и включают экономику, науку, технику и многие другие области. Распределения металога, также известные как распределения Килина, были впервые опубликованы в 2016 году ^[2] Томом Килином. ^[3]

История [ править ]

Историю вероятностных распределений можно частично рассматривать как прогрессию в направлении большей гибкости в форме и границах при подборе данных . Нормальное распределение впервые был опубликован в 1756 году ^[4] и теорема Байеса в 1763. ^[5] нормальное распределение заложило основу для большей части развития классической статистики. Напротив, теорема Байеса заложила основу для состояния информации, основанного на убеждениях.вероятностные представления. Поскольку вероятности, основанные на убеждениях, могут принимать любую форму и могут иметь естественные границы, были необходимы достаточно гибкие распределения вероятностей, чтобы учесть и то, и другое. Более того, многие наборы эмпирических и экспериментальных данных показали формы, которые не могли быть хорошо согласованы с нормальным или другим непрерывным распределением . Так начался поиск непрерывных распределений вероятностей с гибкими формами и границами.

В начале 20 - го века, Пирсона ^[6] семейство распределений, которое включает в себя нормальное , бета , равномерный , гамма , студент-т , хи-квадрат , F , и пять других, ^[7] появился как крупный шаг вперед в форме гибкость. За ними последовали распределения Джонсона ^{[8] [9]} . Оба семейства могут представлять первые четыре момента данных ( среднее значение , дисперсия , асимметрия и эксцесс.) с гладкими непрерывными кривыми. Однако у них нет возможности сопоставить моменты пятого или более высокого порядка. Более того, для заданной асимметрии и эксцесса нет выбора границ. Например, сопоставление первых четырех моментов набора данных может дать распределение с отрицательной нижней границей, даже если может быть известно, что рассматриваемая величина не может быть отрицательной ^{[ необходима цитата ]} . Наконец, их уравнения включают трудноразрешимые интегралы и сложные статистические функции, поэтому для подгонки к данным обычно требуются итерационные методы.

В начале 21 века специалисты по анализу решений начали работать над разработкой непрерывных распределений вероятностей, которые точно соответствовали бы любым указанным трем точкам кумулятивной функции распределения для неопределенной величины (например, выявленных экспертами и квантилей). Распределение семей Пирсона и Джонсона в целом было неадекватным для этой цели. Кроме того, специалисты по анализу решений также искали распределения вероятностей, которые можно было бы легко параметризовать с помощью данных (например, с помощью линейных наименьших квадратов или, что эквивалентно, множественной линейной регрессии ). Представленный в 2011 году класс квантильно-параметризованных распределений${\ displaystyle 0.10,0.50}$${\ displaystyle 0.90}$(QPD) достигли обеих целей. Будучи значительным достижением по этой причине, QPD, первоначально использовавшаяся для иллюстрации этого класса распределений, Простое Q-нормальное распределение ^[10], имело меньшую гибкость формы, чем семейства Пирсона и Джонсона, и не имело возможности представлять полуограниченные и ограниченные распределения. Вскоре после этого Килин ^[2] разработал семейство распределений металиг, еще один экземпляр класса QPD, который более гибок по форме, чем семейства Пирсона и Джонсона, предлагает выбор ограниченности, имеет уравнения замкнутой формы, которые могут быть подогнаны к данные с линейными наименьшими квадратами и функции квантилей в замкнутой форме , которые упрощают моделирование методом Монте-Карло .

Определение и функция квантиля [ править ]

Распределение металога является обобщением логистического распределения , где термин «металог» является сокращением от «металогистик». Начиная с логистической функцией квантильной , , Keelin замещенных разложений степенного ряда по кумулятивной вероятности для и параметров, что расположение и масштаб управления, соответственно. ^[11]${\ Displaystyle х = Q (y) = \ mu + s {\ mbox {}} \ ln {\ Bigl (} {y \ over {1-y}} {\ Bigr)}}$${\ Displaystyle у = F (х)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle \ mu = a_ {1} + a_ {3} (y-0,5) + a_ {5} (y-0,5) ^ {2} + a_ {7} (y-0,5) ^ {3} + a_ {9} (y-0,5) ^ {4} + \ точки}$

${\ displaystyle s = a_ {2} + a_ {4} (y-0,5) + a_ {6} (y-0,5) ^ {2} + a_ {8} (y-0,5) ^ {3} + a_ { 10} (y-0,5) ^ {4} + \ точки}$

Килин объяснил эту замену пятикратным. ^[11] Во-первых, результирующая функция квантиля будет иметь значительную гибкость формы, определяемую коэффициентами . Во-вторых, он будет иметь простую замкнутую форму, которая является линейной по этим коэффициентам, что означает, что они могут быть легко определены из данных CDF с помощью линейных наименьших квадратов . В-третьих, результирующая функция квантиля будет гладкой, дифференцируемой и аналитической , что обеспечит доступность гладкого PDF - файла в закрытой форме . В-четвертых, моделирование будет облегчено за счет результирующего обратного CDF в замкнутой форме . В-пятых, как в серии Тейлора , любое количество терминов${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle k}$ могут использоваться в зависимости от желаемой степени гибкости формы и других потребностей приложения.

Переписав функцию логистической квантиля, чтобы включить вышеуказанные замены для и получить функцию квантиля metalog для кумулятивной вероятности .${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle s}$${\displaystyle 0<y<1}$

${\displaystyle M_{k}(y)=\left\{{\begin{array}{ll}a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{for }}k=2\\a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{3}(y-0.5)\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{for }}k=3\\a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{3}(y-0.5)\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{4}(y-0.5)&{\mbox{for }}k=4\\M_{k-1}(y)+a_{k}(y-0.5)^{k-1 \over 2}&{\mbox{for odd }}k\geq 5\\M_{k-1}(y)+a_{k}(y-0.5)^{{k \over 2}-1}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{for even }}k\geq 6\\\end{array}}\right.}$

Эквивалентно, квантильная функция металиг может быть выражена в терминах базисных функций:, где базисные функции металиг равны, а каждая последующая определяется как выражение, умноженное на в уравнении для выше. ${\displaystyle M_{k}(y)=\sum _{i=1}^{k}a_{i}g_{i}(y)}$${\displaystyle g_{1}(y)=1,{\mbox{ }}g_{2}(y)=\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )},}$${\displaystyle g_{i}(y)}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle M_{k}(y)}$

Обратите внимание, что коэффициент - это медиана , поскольку все остальные члены равны нулю, когда . Частными случаями квантильной функции металиг являются логистическое распределение ( ) и равномерное распределение (в противном случае).${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle y=0.5}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle k\geq 4,a_{1}=0.5,a_{4}=1,a_{i}=0}$

Функция плотности вероятности [ править ]

Дифференцирование по дает квантильную функцию плотности ^[12] . Величина, обратная этой величине, является функцией плотности вероятности, выраженной как p-PDF, ^[1]${\displaystyle x=M_{k}(y)}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle q(y)=dx/dy}$${\displaystyle (q(y))^{-1}=dy/dx=f(Q(y))}$

${\displaystyle m_{k}(y)=\left\{{\begin{array}{ll}{y(1-y) \over {a_{2}}}&{\mbox{for }}k=2\\{\Bigl (}{a_{2} \over {y(1-y)}}+a_{3}{\Bigl (}{y-0.5 \over {y(1-y)}}+\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{for }}k=3\\{\Bigl (}{a_{2} \over {y(1-y)}}+a_{3}{\Bigl (}{y-0.5 \over {y(1-y)}}+\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{4}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{for }}k=4\\{\Bigl (}{1 \over {m_{k-1}(y)}}+a_{k}{k-1 \over 2}(y-0.5)^{(k-3)/2}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{for odd }}k\geq 5\\{\Bigl (}{1 \over {m_{k-1}(y)}}+a_{k}{\Bigl (}{(y-0.5)^{k/2-1} \over {y(1-y)}}+({k \over 2}-1)(y-0.5)^{(k/2-2)}\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{for even }}k\geq 6,\\\end{array}}\right.}$

которые могут быть эквивалентно выражены в терминах базисных функций как

${\displaystyle m_{k}(y)=\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}{{dg_{i}(y)} \over {dy}}\right)^{-1}}$где .${\displaystyle 0<y<1}$

Обратите внимание, что этот PDF выражается как функция кумулятивной вероятности , а не как представляющая интерес переменная . Чтобы построить PDF-файл (например, как показано на рисунках на этой странице), можно параметрически изменить , а затем построить график по горизонтальной оси и по вертикальной оси.${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y\in (0,1)}$${\displaystyle x=M_{k}(y)}$${\displaystyle m_{k}(y)}$

Основываясь на приведенных выше уравнениях и следующих преобразованиях, которые позволяют выбирать границы, семейство распределений металога состоит из неограниченных, полуограниченных и ограниченных металигов, а также их особых случаев симметрично-процентильного триплета (SPT).

Неограниченные, полуограниченные и ограниченные распределения металога [ править ]

Как определено выше, распределение металиг не ограничено, за исключением необычного особого случая, когда для всех терминов, содержащих . Однако для многих приложений требуются гибкие распределения вероятностей, которые имеют нижнюю границу , верхнюю границу или и то, и другое. Чтобы удовлетворить эту потребность, Килин использовал преобразования для получения полуограниченных и ограниченных распределений металога. ^[2] Такие преобразования регулируются общим свойством функций квантилей: для любой функции квантиля и возрастающая функция также является функцией квантиля . ^[13] Например, функция квантиля от нормального распределения является${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle \ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}}$${\displaystyle b_{l}}$${\displaystyle b_{u}}$ ${\displaystyle x=Q(y)}$${\displaystyle z(x),x=z^{-1}(Q(y))}$${\displaystyle x=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}$; так как натуральный логарифм, является возрастающей функцией, является функцией квантиля в распределении логнормального . Аналогично, применение этого свойства к функции квантиля металиг с использованием преобразований, приведенных ниже, дает полуограниченные и ограниченные члены семейства металиг. Рассматривая быть Metalog распределенный, все члены семьи встречаются Metalog Keelin и Поули в ^[10] определение квантиль-параметризованных распределения и , таким образом , обладают их свойствами.${\displaystyle z(x)=\ln(x-b_{l})}$${\displaystyle x=b_{l}+e^{\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}}$${\displaystyle M_{k}(y)}$${\displaystyle z(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|c|c|c|c|c}&&&&&{\mbox{shape}}\\&{\mbox{transformation}}&{\mbox{quantile function}}&{\mbox{PDF}}&{\mbox{where}}&{\mbox{parameters}}\\\hline {\mbox{Metalog (unbounded)}}&z(x)=x&M_{k}(y)&m_{k}(y)&0<y<1&k-2\\\hline {\mbox{Log metalog}}&z(x)=\ln(x-b_{l})&M_{k}^{\log(}y)=b_{l}+e^{M_{k}(y)}&m_{k}^{\log(}y)=m_{k}(y)e^{-M_{k}(y)}&0<y<1&k-1\\{\mbox{(bounded below)}}&&=b_{l}&=0&y=0\\\hline {\mbox{Negative-log metalog}}&z(x)=-\ln(b_{u}-x)&M_{k}^{\operatorname {nlog} }(y)=b_{u}-e^{-M_{k}(y)}&m_{k}^{\operatorname {nlog} }(y)=m_{k}(y)e^{M_{k}(y)}&0<y<1&k-1\\{\mbox{(bounded above)}}&&=b_{u}&=0&y=1\\\hline {\mbox{Logit metalog}}&z(x)={\ln(x-b_{l}) \over {\ln(b_{u}-x)}}&M_{k}^{\operatorname {logit} }(y)={b_{l}+b_{u}e^{M_{k}(y)} \over {1+e^{M_{k}(y)}}}&m_{k}^{\operatorname {logit} }(y)=m_{k}(y){{\bigl (}1+e^{M_{k}(y)}{\bigr )}^{2} \over {(b_{u}-b_{l})e^{M_{k}(y)}}}&0<y<1&k\\{\mbox{(bounded)}}&&=b_{l}&=0&y=0\\&&=b_{u}&=0&y=1\end{array}}}$

Обратите внимание, что количество параметров формы в семействе металиг увеличивается линейно с количеством членов . Следовательно, любой из вышеупомянутых металиг может иметь любое количество параметров формы. Напротив, семейства распределений Пирсона и Джонсона ограничены двумя параметрами формы.${\displaystyle k}$

Распределения металога SPT [ править ]

Ограниченный металиг SPT, параметризованный данными CDF и и с нижними и верхними границами и соответственно.${\displaystyle (20,0.1),(30,0.5),}$${\displaystyle (50,0.9)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 100}$

Распределения металиг симметрично-процентильного триплета (SPT) представляют собой трехчленный частный случай неограниченного, полуограниченного и ограниченного распределений металиг. ^[14] Эти параметризовано трех точек от кривой CDF , формы , и , где . Металоги SPT полезны, когда, например, квантили, соответствующие вероятностям CDF (например ), извлекаются из эксперта и используются для параметризации трехчленных распределений металигров. Как отмечено ниже, некоторые математические свойства упрощаются параметризацией SPT.${\displaystyle (k=3)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x_{1},\alpha )}$${\displaystyle (x_{2},0.5)}$${\displaystyle (x_{3},1-\alpha )}$${\displaystyle 0<\alpha <0.5}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle 0.1,0.5,0.9}$

Свойства [ править ]

Все члены семейства дистрибутивов metalog обладают следующими свойствами.

Осуществимость [ править ]

Функция формы или любого из приведенных выше преобразований является допустимым распределением вероятностей тогда и только тогда, когда ее PDF больше нуля для всех ^[10]. Это подразумевает ограничение выполнимости на набор коэффициентов ,${\displaystyle M_{k}(y)}$${\displaystyle y\in (0,1).}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},...,a_{k})\in \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle m_{k}(y)>0}$для всех .${\displaystyle y\in (0,1)}$

В практических приложениях целесообразность обычно следует проверять, а не предполагать. Для , обеспечивает возможность. Для (включая металоги SPT) условием выполнимости является и . ^[14] Для была выведена аналогичная замкнутая форма. ^[15] Ибо осуществимость обычно проверяется графически или численно. ${\displaystyle k=2}$${\displaystyle a_{2}>0}$${\displaystyle k=3}$${\displaystyle a_{2}>0}$${\displaystyle {|a_{3}|/a_{2}}<1.66711}$${\displaystyle k=4}$${\displaystyle k\geq 5}$

Неограниченный металог и его вышеупомянутые преобразования имеют один и тот же набор допустимых коэффициентов. ^[16] Следовательно, для данного набора коэффициентов, подтверждающих, что для всех достаточно, независимо от используемого преобразования.${\displaystyle m_{k}(y)>0}$${\displaystyle y\in (0,1)}$

Выпуклость [ править ]

Множество допустимых коэффициентов Metalog для всех является выпуклым . Поскольку задачи выпуклой оптимизации требуют выпуклых допустимых наборов, это свойство может упростить задачи оптимизации, связанные с металогами. Кроме того, это свойство гарантирует , что любая выпуклая комбинация из векторов возможного metalogs является возможной, что полезно, например, при объединении мнения нескольких экспертов ^[17] или интерполировании среди возможного metalogs. ^[18] Подразумевается, что любая вероятностная смесь распределений металога сама по себе является металогом.${\displaystyle S_{\boldsymbol {a}}=\{{\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{k}|m_{k}(y)>0}$${\displaystyle y\in (0,1)\}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

Подгонка к данным [ править ]

Коэффициенты могут быть определены из данных линейным методом наименьших квадратов . Учитывая точки данных , которые предназначены для характеристики CDF металога, и матрицу , элементы которой состоят из базисных функций , тогда, пока она обратима, вектор-столбец коэффициентов задается как , где и вектор-столбец . Если , это уравнение сводится к , где результирующий CDF металига точно проходит через все точки данных. Для металогов SPT это далее сводится к выражениям непосредственно в трех точках. ^[14]${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle n\times k}$${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$${\displaystyle g_{j}(y_{i})}$${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}})^{-1}{\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {z}}}$${\displaystyle n\geq k}$${\displaystyle {\boldsymbol {z}}=(z(x_{1}),\ldots ,z(x_{n}))}$${\displaystyle n=k}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {Y}}^{-1}{\boldsymbol {z}}}$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$

Альтернативный метод подгонки, реализованный в виде линейной программы, определяет коэффициенты путем минимизации суммы абсолютных расстояний между CDF и данными с учетом ограничений выполнимости. ^[19]

Как металоги сходятся к стандартному нормальному распределению при увеличении от 2 до 10${\displaystyle k}$

Гибкость формы [ править ]

Согласно теореме гибкости металога ^[20], любое распределение вероятностей с непрерывной функцией квантиля может быть сколь угодно точно аппроксимировано металогом. Более того, в исходной статье Килин показал, что десятичленные распределения металиг, параметризованные 105 точками CDF из 30 традиционных распределений источников (включая нормальное, распределение Стьюдента, логнормальное, гамма, бета и экстремальные значения) аппроксимируют каждый такой источник. распределение в пределах расстояния KS 0,001 или меньше. ^[21] Таким образом, гибкость формы металига практически неограничена.

Анимированный рисунок справа иллюстрирует это для стандартного нормального распределения, где металоги с различным числом членов параметризуются одним и тем же набором из 105 точек из стандартного нормального CDF. Metalog PDF сходится к стандартному нормальному PDF по мере увеличения количества терминов. С двумя членами металог приближается к нормальному с логистическим распределением. С каждым увеличением числа членов соответствие становится все ближе. С 10 терминами металиг PDF и стандартный обычный PDF визуально неотличимы.

Точно так же девятичленные полуограниченные PDF металиг с визуально неотличимы от ряда распределений Вейбулла . Шесть случаев, показанных справа, соответствуют параметрам формы Вейбулла 0,5, 0,8, 1,0, 1,5, 2 и 4. В каждом случае металог параметризуется девятью точками из CDF Вейбулла, которые соответствуют кумулятивным вероятностям . ${\displaystyle b_{l}=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=(0.001,0.02,0.10,0.25,0.5,0.75,0.9,0.98,0.999)}$

Такая сходимость характерна не только для нормального распределения и распределения Вейбулла. Килин первоначально показал аналогичные результаты для широкого диапазона распределений ^[21] и с тех пор предоставил дальнейшие иллюстрации. ^[22]

Медиана [ править ]

Медиана любого распределения в семействе металогей имеет простую замкнутую форму. Обратите внимание, что определяет медиану, и (поскольку все последующие члены равны нулю для ). Отсюда следует , что медианы неограниченного Metalog, журнал Metalog, отрицательные логарифмического Metalog и логит распределения Metalog являются , , , и , соответственно.${\displaystyle y=0.5}$${\displaystyle M_{k}(0.5)=a_{1}}$${\displaystyle y=0.5}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle b_{l}+e^{a_{1}}}$${\displaystyle b_{u}-e^{-a_{1}}}$${\displaystyle {b_{l}+b_{u}e^{a_{1}} \over {1+e^{a_{1}}}}}$

Моменты [ править ]

Момент неограниченного распределения Metalog, является частным случаем более общей формулы для QPDs. ^[10] Для неограниченного металога такие интегралы вычисляются до моментов замкнутой формы, которые являются полиномами порядка от коэффициентов . Первые четыре центральных момента четырехчленного неограниченного металога:${\displaystyle m^{th}}$${\displaystyle E[x^{m}]=\int _{y=0}^{1}{M_{k}(y)}^{m}\,dy}$${\displaystyle m^{th}}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{mean}}={}&a_{1}+{a_{3} \over 2}\\[6pt]{\text{variance}}={}&\pi ^{2}{{a_{2}}^{2} \over 3}+{{a_{3}}^{2} \over {12}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{2} \over {36}}+a_{2}a_{4}+{{a_{4}}^{2} \over {12}}\\[6pt]{\text{skewness}}={}&\pi ^{2}{a_{2}}^{2}{a_{3}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{3} \over {24}}+{{{a_{2}}{a_{3}}{a_{4}}} \over {2}}+\pi ^{2}{{{a_{2}}{a_{3}}{a_{4}}} \over {6}}+{{{a_{3}}{a_{4}}^{2}} \over {8}}\\[6pt]{\text{kurtosis}}={}&7\pi ^{4}{{a_{2}}^{4} \over {15}}+3\pi ^{2}{{{a_{2}}^{2}{a_{3}}^{2}} \over {24}}+7\pi ^{4}{{{a_{2}}^{2}{a_{3}}^{2}} \over {30}}+{{{a_{3}}^{4}} \over {80}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{4} \over {24}}+7\pi ^{4}{{a_{3}}^{4} \over {1200}}+2\pi ^{2}{a_{2}}^{3}{a_{4}}\\[6pt]&{}+{{{a_{2}}{a_{3}}^{2}{a_{4}}} \over {2}}+2\pi ^{2}{{{a_{2}}{a_{3}}^{2}{a_{4}}} \over {3}}+2{{a_{2}}^{2}{a_{4}}^{2}}+\pi ^{2}{{{a_{2}}^{2}{a_{4}}^{2}} \over {6}}+{{{a_{3}}^{2}{a_{4}}^{2}} \over {8}}+\pi ^{2}{{{a_{3}}^{2}{a_{4}}^{2}} \over {40}}+{{{a_{2}}{a_{4}}^{3}} \over {3}}+{{a_{4}}^{4} \over {80}}\end{aligned}}}$

В эти уравнения включены моменты для меньшего количества членов. Например, моменты трехчленного металога можно получить, установив на ноль. Также доступны моменты для металога с большим количеством членов и моменты более высокого порядка ( ). ^[23] Моменты для полуограниченных и ограниченных металогов недоступны в закрытой форме.${\displaystyle a_{4}}$${\displaystyle m>4}$

Параметризация с моментами [ править ]

Трехчленные неограниченные металоги можно параметризовать в замкнутой форме с помощью их первых трех центральных моментов . Пусть и будет среднее значение, дисперсия, и перекос, и пусть будет стандартизированной асимметрия, . Эквивалентные выражения моментов через коэффициенты и коэффициенты через моменты следующие:${\displaystyle m,v,}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s_{s}}$${\displaystyle s_{s}=s/v^{3/2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}m=a_{1}+{a_{3} \over 2}&&a_{1}=m-{a_{3} \over 2}\\[6pt]v=\pi ^{2}{{a_{2}}^{2} \over 3}+{{a_{3}}^{2} \over {12}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{2} \over {36}}&&a_{2}={1 \over {\pi }}{\Bigl [}3{\Bigl (}v-{\Bigl (}{1 \over {12}}+{{\pi }^{2} \over {36}}{\Bigr )}{a_{3}}^{2}{\Bigr )}{\Bigr ]}^{1 \over {2}}\\[6pt]s=\pi ^{2}{a_{2}}^{2}{a_{3}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{3} \over {24}}&&a_{3}=4{\Bigl (}{6v \over {6+\pi ^{2}}}{\Bigr )}^{1 \over {2}}\cos {\Bigl [}{1 \over {3}}{\Bigl (}\cos ^{-1}{\Bigl (}-{s_{s} \over {4}}{\Bigl (}1+{{\pi }^{2} \over {6}}{\Bigr )}^{1 \over {2}}{\Bigr )}+4\pi {\Bigr )}{\Bigr ]}\\[6pt]\end{array}}}$

Эквивалентность этих двух наборов выражений можно вывести, отметив, что уравнения моментов слева определяют кубический многочлен через коэффициенты и , который может быть решен в замкнутой форме как функции от и . Более того, это решение уникально. ^[24] С точки зрения моментов, условие выполнимости , которое можно показать, эквивалентно следующему условию выполнимости с точки зрения коэффициентов :; и . ^[24]${\displaystyle a_{1},a_{2},}$${\displaystyle a_{3}}$${\displaystyle m,v,}$${\displaystyle s}$${\displaystyle |s_{s}|\leq 2.07093}$${\displaystyle a_{2}>0}$${\displaystyle {|a_{3}|/a_{2}}<1.66711}$

Это свойство можно использовать, например, для представления суммы независимых, неодинаково распределенных случайных величин . На основе кумулянтов известно, что для любого набора независимых случайных величин среднее значение, дисперсия и асимметрия суммы являются суммами соответствующих средних значений, дисперсии и асимметрии. Параметризация трехчленного металога этими центральными моментами дает непрерывное распределение, которое точно сохраняет эти три момента и, соответственно, обеспечивает разумное приближение к форме распределения суммы независимых случайных величин.

Моделирование [ править ]

Поскольку их квантильные функции выражены в замкнутой форме, металоги облегчают моделирование методом Монте-Карло . Подстановка равномерно распределенных случайных выборок в квантильную функцию Metalog (обратная CDF) дает случайные выборки в закрытой форме, тем самым устраняя необходимость инвертировать CDF. См. Ниже приложения для моделирования.${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

Приложения [ править ]

Благодаря своей форме и гибкости границ металоги могут использоваться для представления эмпирических или других данных практически в любой области человеческой деятельности.

• Астрономия . Металоги применялись для оценки рисков столкновения с астероидом. ^[25]
• Кибербезопасность . Металоги использовались при оценке рисков кибербезопасности. ^{[19] [26]}
• Выявление и обобщение экспертных заключений . Статистическое управление Канады получило экспертные заключения о будущих показателях рождаемости в Канаде от 18 экспертов, которые включали использование электронной таблицы в реальном времени обратной связи в формате PDF, основанной на пятичленных металогах. Затем индивидуальные мнения экспертов были взвешены и объединены в общий прогноз, основанный на металогах. ^[17]
• Исследование и визуализация эмпирических данных . В биологии рыб 10-членное логарифмическое распределение металога (ниже ограничено 0) соответствовало весу 3 474 стальной форели, пойманной и выпущенной на реке Бабин в Британской Колумбии в 2010–2014 гг. Бимодальность полученного распределения объясняется присутствием в реке как впервые, так и повторно производителей, последние из которых имеют тенденцию весить больше. ^[27]
• Гидрология . Полуограниченный металог с 10 членами использовался для моделирования распределения вероятностей годовых высот водосбора. ^[28]
• Добыча нефти на месторождениях . Полусвязанные металиги SPT использовались для анализа отклонений в прогнозах добычи на месторождении по сравнению с наблюдаемой добычей постфактум. ^[29]
• Управление портфелем . Металлогги SPT использовались для моделирования коммерческой стоимости новых продуктов и портфелей продуктов. ^[30]
• Распределения входных данных моделирования . Чтобы поддержать решение о торгах, неопределенность относительно будущей стоимости каждого из 259 финансовых активов была представлена ​​в виде металига SPT. Было показано, что моделирование общей стоимости портфеля дает более реалистичные результаты, чем соответствующее моделирование, основанное на дискретных низких, средних и высоких значениях для каждого актива. ^[31]
• Распределения результатов моделирования . Металоги также использовались для соответствия выходным данным моделирования, чтобы представить эти выходные данные в виде непрерывных распределений в замкнутой форме (как CDF, так и PDF). При таком использовании они обычно более стабильны и сглажены, чем гистограммы. ^[31]
• Суммы логнормальных значений . Металоги позволяют представить в закрытой форме известные дистрибутивы, CDF которых не имеют выражения в закрытой форме. Килин и др. (2019) ^[18] применяют это к сумме независимых одинаково распределенных логнормальных распределений, где квантили суммы могут быть определены с помощью большого количества симуляций. Девять таких квантилей используются для параметризации полуограниченного метало-распределения, которое точно проходит через каждый из этих девяти квантилей. Параметры квантилей хранятся в таблице, которую затем можно интерполировать для получения промежуточных значений; эти значения гарантированно достижимы благодаря свойству выпуклости, описанному выше.

Для данного приложения и набора данных выбор количества терминов металога требует суждения. Для экспертного заключения обычно достаточно трех-пяти терминов. Для исследования данных и сопоставления других распределений вероятностей, таких как сумма логнормальных значений, обычно достаточно от восьми до двенадцати членов. Панель metalog, которая отображает PDF-файлы metalog, соответствующие разному количеству терминов для данного набора данных, может помочь в этом суждении. Например, в панели металиг со стальным весом ^[2] использование менее семи терминов, возможно, не соответствует данным, скрывая присущую им бимодальность. Использование более 10 терминов не является необходимым и, в принципе, может привести к переопределению${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$данные. Случай с 16 терминами неприменим для этого набора данных, как указывает пустая ячейка на панели металиога. Килин (2016) ^[2] предлагает дальнейшие перспективы выбора распределения в семействе металогов. ^[32] Другие инструменты (такие как регуляризация , информационный критерий Акаике и байесовский информационный критерий ) также могут быть полезны.

Связанные дистрибутивы [ править ]

Распределения металога принадлежат к группе распределений, определенных в терминах функции квантиля , которые включают квантильно-параметризованные распределения , лямбда-распределение Тьюки , его обобщение, GLD ^[33], распределение Говиндараджулу ^[34] и другие. ^[13] Следующие дистрибутивы входят в семейство металогов:

• Логистическое распределение является частным случаем неограниченной Metalog , где для всех .${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle i>2}$
• Равномерное распределение является частным случаем: 1) неограниченная Metalog , где , , и в противном случае; и 2) ограниченный Metalog , где , , , , и в противном случае.${\displaystyle k\geq 4}$${\displaystyle a_{1}=0.5}$${\displaystyle a_{4}=1}$${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle b_{l}=0}$${\displaystyle b_{u}=1}$${\displaystyle a_{2}=1}$${\displaystyle a_{i}=0}$
• Лог-логистическое распределение , также известное как распределение Фиска в экономике, является частным случаем журнала Metalog где и для всех .${\displaystyle b_{l}=0}$${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle i>2}$
• Распределение лог-равномерная является частным случаем журнала Metalog , где , , и в противном случае.${\displaystyle k\geq 4}$${\displaystyle a_{1}=0.5}$${\displaystyle a_{4}=1}$${\displaystyle a_{i}=0}$
• Логит-логистическое распределение ^[35] является частным случаем логит-металога, где для всех .${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle i>2}$

Программное обеспечение [ править ]

Для работы с дистрибутивами металога можно использовать свободно доступные программные инструменты:

• Книги Excel. При вставке или вводе данных CDF металоги (с выбором границ) мгновенно отображаются.
  • Учебное пособие по металогам SPT ^[36] рассчитывает 2–3-членные металоги, определенные по трем данным CDF.${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$
  • Учебное пособие по металогам ^[37] рассчитывает металоги от 2 до 16 (включая панель металог), определенных по 2-10 000 данных CDF.${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$
  • ELD (равновероятные данные) Рабочие книги Metalog ^[38] рассчитывают металоги из 2–16 терминов, определенных по 2–10 000 данных CDF, где автоматически рассчитываются металоги и панель металога.${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle y_{i}}$
• R. rmetalog ^[39] (в сети Complete R Archive Network, CRAN ).
• Python. Pymetalog ^[40] полностью отражает пакет R. Metalogistic ^[41] использует платформу SciPy .
• Веб-браузер . MakeDistribution.com ^[42] облегчает эксперименты с металогами, параметризованными несколькими точками данных CDF. Калькулятор металога SPT, ^[43] калькулятор металига ^[44] и калькулятор металига ELD ^[45] - это онлайн-версии рабочих книг Excel.
• SIPmath Modeler Tools ^[46] поддерживает распределения металиг в надстройке Excel для моделирования.
• Программное обеспечение Lumina Analytica Free 101 ^[47] для моделирования и помощи в принятии сложных решений.

Коммерчески доступные пакеты также поддерживают использование дистрибутивов metalog:

• FrontLine Solvers: Analytic Solver, RASON и Solver SDK, ^[48] программное обеспечение для оптимизации.
• Lone Star Analysis: программное обеспечение TruNavigator и AnalyticsOS ^[49] для прогнозной и предписывающей аналитики.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Metalog Distributions, www.metalogs.org