В комплексном анализе и геометрической теории функций матрицы Грунского , или операторы Грунского , представляют собой бесконечные матрицы, введенные в 1939 году Гельмутом Грунским . Матрицы соответствуют либо одной голоморфной функции на единичном круге , либо паре голоморфных функций на единичном круге и ее дополнению. Неравенства Грунского выражают свойства ограниченности этих матриц, которые, вообще говоря, являются операторами сжатия или, в важных частных случаях, унитарными операторами . Как показал Грунский, эти неравенства выполняются тогда и только тогда, когда голоморфная функция однолистна . Неравенства эквивалентны неравенствам Голузина, открытым в 1947 году. Грубо говоря, неравенства Грунского дают информацию о коэффициентах логарифма однолистной функции; более поздние обобщения Милина , начиная с неравенства Лебедева-Милина , позволили возвести неравенства в степень и получить неравенства для коэффициентов самой однолистной функции. Матрица Грунского и связанные с ней неравенства первоначально были сформулированы в более общей ситуации однолистных функций между областью, ограниченной конечным числом достаточно гладких жордановых кривых , и ее дополнением: результаты Грунского, Голузина и Милина обобщаются на этот случай.
Исторически неравенства для диска использовались при доказательстве частных случаев гипотезы Бибербаха вплоть до шестого коэффициента; возведенные в степень неравенства Милина были использованы де Бранжем в окончательном решении. Подробное описание использования этих методов можно найти у Hayman (1994) . Операторы Грунского и их определители Фредгольма также связаны со спектральными свойствами ограниченных областей на комплексной плоскости . Операторы имеют дальнейшие приложения в конформном отображении , теории Тейхмюллера и конформной теории поля .
Если f ( z ) — голоморфная однолистная функция на единичном круге, нормированная так, что f (0) = 0 и f′ (0) = 1, функция
Та же самая формула обращения, примененная к g , возвращает f и устанавливает соответствие между этими двумя классами функций.
Если f - голоморфная функция на единичном круге с матрицей Грунского ( c nm ), неравенства Грунского утверждают, что
являются полиномами от коэффициентов b i , которые можно рекурсивно вычислить с помощью полиномов Фабера Φ n , монического многочлена степени n, зависящего от g .