В математике , модули схема является пространством модулей , которая существует в категории схем , разработанных Гротендиком . Некоторая важные модули проблема из алгебраической геометрии может быть удовлетворительно решена с помощью теории схем только, в то время как другие требуют некоторого расширения понятия «геометрического объекта» ( алгебраические пространств , алгебраические стеки из Артинов ).
История
Работа Гротендика и Дэвида Мамфорда (см. Геометрическую теорию инвариантов ) открыла эту область в начале 1960-х годов. Более алгебраический и абстрактный подход к проблемам модулей состоит в том, чтобы сформулировать их как вопрос о представимых функторах , а затем применить критерий, который выделяет представимые функторы для схем. Когда этот программный подход работает, результатом является прекрасная схема модулей . Под влиянием более геометрических идей достаточно найти схему, которая дает правильные геометрические точки . Это больше похоже на классическую идею о том, что проблема модулей состоит в том, чтобы выразить алгебраическую структуру, естественно возникающую с набором (скажем, классов изоморфизма эллиптических кривых ).
В результате получается грубая схема модулей . Грубо говоря, его недостаток уточнения состоит в том, что он не гарантирует для семейств объектов того, что заложено в схеме точных модулей. Как указал Мамфорд в своей книге « Теория геометрического инварианта» , кто-то может захотеть иметь прекрасную версию, но есть техническая проблема ( структура уровней и другие «отметки»), которые необходимо решить, чтобы получить вопрос с шансом на такую отвечать.
Терухиса Мацусака доказал результат, теперь известный как большая теорема Мацусаки , устанавливающий необходимое условие для проблемы модулей для существования грубой схемы модулей. [1]
Примеры
Мамфорд доказал, что если g > 1, существует грубая схема модулей гладких кривых рода g , которая квазипроективна . [2] Согласно недавнему обзору Яноша Коллара , он «обладает богатой и интригующей внутренней геометрией, которая связана с основными вопросами во многих областях математики и теоретической физики». [3] Браунгардт поставил вопрос, можно ли обобщить теорему Белого на многообразия более высокой размерности над полем алгебраических чисел с формулировкой, что они, вообще говоря, бирациональны на конечное этальное покрытие пространства модулей кривых. [4]
Используя понятие стабильного векторного расслоения , было показано , что грубые схемы модулей для векторных расслоений на любом гладком комплексном многообразии существуют и квазипроективны: в заявлении используется понятие полустабильности . [5] В некоторых случаях можно отождествить грубое пространство модулей специальных инстантонных расслоений в математической физике с объектами классической геометрии коник. [6]
Рекомендации
- "Теория модулей" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Заметки
- ^ SJ Kovacs, Руководство для молодых людей по модулям многомерных многообразий (PDF) на стр. 13
- ^ Хаузер, Хервиг; Липман, Джозеф; Оорт, Франс; Кирос, Адольфо (2012-12-06). Разрешение особенностей: Исследование учебник в дань Зарисский , основанные на курсах , приведенных в рабочей недели в Обергургле, Австрия, 7-14 сентября 1997 года . Birkhäuser. п. 83. ISBN 9783034883993. Проверено 22 августа 2017 года .
- ^ Модули поверхностей , черновик (PDF) на стр. 11
- ^ Уши Голдринг, Объединяющие темы, предложенные теоремой Белого (PDF) на стр. 22
- ^ Блох, Спенсер (1987). Алгебраическая геометрия: Bowdoin 1985 . American Mathematical Soc. п. 103. ISBN 9780821814802. Проверено 22 августа 2017 года .
- ^ Грёэль, Герт-Мартин; Траутманн, Гюнтер (15 ноября 2006 г.). Особенности, представление алгебр и векторные расслоения: материалы симпозиума, состоявшегося в Lambrecht / Pfalz, Fed.Rep. Германия, декабрь 13-17, 1985 . Springer. п. 336. ISBN. 9783540478515. Проверено 22 августа 2017 года .