В математике , геометрическая теория инвариантна (или ГИТ ) представляет собой способ построения факторизации по групповым действиям в алгебраической геометрии , используемых для построения пространств модулей . Он был разработан Дэвидом Мамфордом в 1965 году с использованием идей из статьи ( Hilbert 1893 ) в классической теории инвариантов .
Геометрическая теория инвариантов изучает действие группы G на алгебраическом многообразии (или схеме ) X и предоставляет методы для формирования «фактора» X по G как схемы с разумными свойствами. Одной из причин было построение пространств модулей в алгебраической геометрии как частных схем, параметризующих отмеченные объекты. В 1970-х и 1980-х годах теория развивала взаимодействия с симплектической геометрией и эквивариантной топологией и использовалась для построения пространств модулей объектов в дифференциальной геометрии , таких как инстантоны.и монополи .
Задний план
Инвариантная теория связана с действием группы в виде группы G на качестве алгебраического многообразия (или схемы ) X . Классические теория инвариантов адрес ситуация , когда Х = V является векторным пространством , и G является либо конечной группой, или один из классических групп Ли , что линейно действует на V . Это действие индуцирует линейное действие группы G на пространстве полиномиальных функций R ( V ) на V по формуле
Полиномиальные инварианты этого G -действия на V те полиномиальных функций F на V , которые закреплены под «заменой переменных» из - за действия группы, так что г · е = е для всех г в G . Они образуют коммутативную алгебру A = R ( V ) G , и эта алгебра интерпретируется как алгебра функций на `` факторе теории инвариантов '' V // G, потому что любая из этих функций дает одинаковое значение для всех точек, которые эквивалентны (это,для всех г ). На языке современной алгебраической геометрии ,
Из этого описания вытекает несколько трудностей. Первый, с которым Гильберт успешно справился в случае общей линейной группы , - это доказательство того, что алгебра A конечно порождена. Это необходимо, если нужно, чтобы фактор был аффинным алгебраическим многообразием . Справедливость аналогичного факта для произвольных групп G была предметом четырнадцатой проблемы Гильберта , и Нагата продемонстрировал, что ответ в целом был отрицательным. С другой стороны, в ходе развития теории представлений в первой половине двадцатого века был идентифицирован большой класс групп, для которых ответ положительный; они называются редуктивными группами и включают все конечные группы и все классические группы .
Конечное поколение алгебры А является лишь первым шагом на пути к полному описанию А , и прогресс в решении этого более деликатный вопрос был довольно скромным. Классически инварианты описывались только в ограниченном круге ситуаций, и сложность этого описания за пределами первых нескольких случаев оставляла мало надежды на полное понимание алгебр инвариантов в целом. Кроме того, может случиться так, что любой многочлен инвариантны е принимает то же значение на данную пару точек ¯u и V в V , но эти точки находятся в разных орбитах в G -действия. Простой пример представляет собой мультипликативная группа C * ненулевых комплексных чисел, которая действует в n- мерном комплексном векторном пространстве C n посредством скалярного умножения. В этом случае каждый полиномиальный инвариант является константой, но существует множество различных орбит действия. Нулевой вектор сам по себе образует орбиту, а ненулевые кратные любого ненулевого вектора образуют орбиту, так что ненулевые орбиты параметризуются точками комплексного проективного пространства CP n −1 . Если это происходит (разные орбиты имеют одинаковые значения функций), говорят, что «инварианты не разделяют орбиты», а алгебра A отражает топологическое фактор-пространство X / G довольно несовершенно. В самом деле, последнее пространство с фактор-топологией часто неразделимо (не хаусдорфово ). (Так обстоит дело в нашем примере - нулевая орбита не открыта, потому что любая окрестность нулевого вектора содержит точки на всех других орбитах, поэтому в фактор-топологии любая окрестность нулевой орбиты содержит все другие орбиты.) В 1893 году Гильберт сформулировал и доказал критерий определения тех орбит, которые не отделены от нулевой орбиты инвариантными многочленами. Примечательно, что в отличие от его более ранних работ по теории инвариантов, которые привели к быстрому развитию абстрактной алгебры , этот результат Гильберта оставался малоизвестным и мало использовался в течение следующих 70 лет. Большая часть развития теории инвариантов в первой половине двадцатого века касалась явных вычислений с инвариантами и, во всяком случае, следовала логике алгебры, а не геометрии.
Книга Мамфорда
Геометрическая теория инвариантов была основана и развита Мамфордом в монографии, впервые опубликованной в 1965 году, в которой идеи теории инвариантов XIX века, включая некоторые результаты Гильберта , были применены к вопросам современной алгебраической геометрии. (Книга была значительно расширена в двух более поздних изданиях с дополнительными приложениями Фогарти и Мамфорда и главой о симплектических факторах Кирвана.) В книге используется как теория схем, так и вычислительные техники, доступные в примерах. Абстрактная установка используется в том , что из действия группы на схеме X . Простая идея орбитального пространства
- G \ X ,
то есть фактор - пространство из X под действием группы, сталкивается с трудностями в алгебраической геометрии, по причинам, которые объяснимы в абстрактных терминах. Фактически нет общей причины, по которой отношения эквивалентности должны хорошо взаимодействовать с (довольно жесткими) регулярными функциями (полиномиальными функциями), которые лежат в основе алгебраической геометрии. Функции на пространстве орбит G \ X , которые должны быть рассмотрены те на X , которые инвариантны относительно действия G . Прямой подход может быть осуществлен с помощью функционального поля разнообразия (т. Е. Рациональных функций ): возьмите G -инвариантные рациональные функции на нем в качестве функционального поля фактормногообразия . К сожалению, это - точка зрения бирациональной геометрии - может дать только первое приближение к ответу. Как сказал Мамфорд в предисловии к книге:
- Проблема в том, что в наборе всех моделей результирующего бирационального класса есть одна модель, геометрические точки которой классифицируют множество орбит в некотором действии или множество алгебраических объектов в некоторой задаче модулей .
В главе 5 он далее выделяет конкретную техническую проблему, рассматриваемую в задаче о модулях вполне классического типа - классифицирует большое «множество» всех алгебраических многообразий, подчиняющееся только тому, чтобы быть неособым (и необходимым условием поляризации ). Модули должны описывать пространство параметров. Например, для алгебраических кривых со времен Римана было известно, что должны быть компоненты связности размерностей
- 0, 1, 3, 6, 9,…
согласно роду g = 0, 1, 2, 3, 4,…, а модули являются функциями на каждой компоненте. В грубой задаче модулей Мамфорд считает препятствиями:
- неразделенная топология в пространстве модулей (т.е. недостаточно параметров в хорошем состоянии)
- бесконечно много неприводимых компонентов (чего нельзя избежать, но может иметь место локальная конечность )
- невозможность представления компонентов в виде схем, хотя топологически респектабельных.
Это третий пункт, который мотивировал всю теорию. Как выразился Мамфорд, если первые две трудности будут разрешены
- [третий вопрос] становится по существу , эквивалентен вопросом о том , орбите пространство некоторого локально замкнутого подмножества Гильберта или схемы Chow с помощью проективной группы существует .
Чтобы справиться с этим, он ввел понятие (фактически три) стабильности . Это позволило ему открыть ранее коварную область - много было написано, в частности, Франческо Севери , но методы литературы имели ограничения. Бирациональная точка зрения может позволить себе пренебречь подмножествами коразмерности 1. Иметь пространство модулей в качестве схемы - это, с одной стороны, вопрос о характеристике схем как представимых функторов (как это видится в школе Гротендика ); но геометрически это больше похоже на вопрос о компактификации , как показали критерии устойчивости. Ограничение на неособые многообразия не приведет к компактному пространству ни в каком смысле как пространство модулей: многообразия могут вырождаться до наличия особенностей. С другой стороны, точки, которые соответствовали бы очень сингулярным разновидностям, определенно слишком «плохи», чтобы включать их в ответ. Правильная золотая середина из точек, достаточно устойчивых, чтобы ее можно было признать, была выделена работой Мамфорда. Эта концепция не была полностью новой, поскольку некоторые ее аспекты можно было найти в заключительных идеях Дэвида Гильберта по теории инвариантов, прежде чем он перешел к другим областям.
В предисловии к книге также сформулирована гипотеза Мамфорда , позже доказанная Уильямом Хабушем .
Стабильность
Если редуктивная группа G действует линейно на векторном пространстве V , то ненулевая точка V называется
- нестабилен, если 0 находится на замыкании своей орбиты,
- полустабильно, если 0 не находится на замыкании своей орбиты,
- устойчив, если его орбита замкнута, а его стабилизатор конечен.
Есть эквивалентные способы сформулировать их (этот критерий известен как критерий Гильберта-Мамфорда ):
- Ненулевая точка x нестабильна тогда и только тогда, когда существует однопараметрическая подгруппа группы G, все веса которой относительно x положительны.
- Ненулевая точка x нестабильна тогда и только тогда, когда каждый инвариантный многочлен имеет одно и то же значение на 0 и x .
- Ненулевая точка x полустабильна тогда и только тогда, когда в G не существует 1-параметрической подгруппы, все веса которой относительно x положительны.
- Ненулевая точка x полустабильна тогда и только тогда, когда некоторый инвариантный многочлен имеет разные значения на 0 и x .
- Ненулевая точка x стабильна тогда и только тогда, когда каждая однопараметрическая подгруппа группы G имеет положительные (и отрицательные) веса по отношению к x .
- Ненулевая точка x стабильна тогда и только тогда, когда для каждого y, не входящего в орбиту x, существует некоторый инвариантный многочлен, который имеет разные значения на y и x , а кольцо инвариантных многочленов имеет степень трансцендентности dim ( V ) −dim ( G ).
Точка соответствующего проективного пространства V называется неустойчивой, полустабильной или стабильной, если она является образом точки в V с тем же свойством. «Неустойчивый» - это противоположность «полустабильному» (не «стабильному»). Неустойчивые точки образуют замкнутое множество Зарисского проективного пространства, в то время как полустабильные и стабильные точки образуют открытые множества Зарисского (возможно, пустые). Эти определения взяты из ( Мамфорд, 1977 ) и не эквивалентны определениям в первом издании книги Мамфорда.
Многие пространства модулей могут быть построены как факторпространства стабильных точек некоторого подмножества проективного пространства по некоторому групповому действию. Эти пространства часто можно компактифицировать, добавляя определенные классы эквивалентности полустабильных точек. Разные стабильные орбиты соответствуют разным точкам фактора, но две разные полустабильные орбиты могут соответствовать одной и той же точке фактора, если их замыкания пересекаются.
Пример: ( Deligne & Mumford 1969 ) Стабильная кривая - это приведенная связная кривая рода ≥2, у которой единственными особенностями являются обычные двойные точки, а каждая неособая рациональная компонента пересекает другие компоненты по крайней мере в трех точках. Пространство модулей стабильных кривых рода g является фактором подмножества схемы Гильберта кривых в P 5 g -6 с многочленом Гильберта (6 n −1) ( g −1) по группе PGL 5 g −5 .
Пример: векторное расслоение W над алгебраической кривой (или над римановой поверхностью ) является стабильным векторным расслоением тогда и только тогда, когда
для всех собственных ненулевых подрасслоений V в W и является полустабильным, если это условие выполняется с заменой <на ≤.
Смотрите также
- Коэффициент GIT
- Теория геометрической сложности
- Геометрический фактор
- Категориальный фактор
- Квантование коммутирует с редукцией
- K-стабильность
- Условие устойчивости Бриджеланда
Рекомендации
- Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), "Неприводимость пространства кривых данного рода" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (1): 75–109, doi : 10.1007 / BF02684599 , MR 0262240
- Гильберт, Д. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme", Math. Annalen , 42 (3): 313, DOI : 10.1007 / BF01444162
- Кирван, Фрэнсис, Когомологии частных в симплектической и алгебраической геометрии . Mathematical Notes, 31. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1984. i + 211 pp. MR.0766741ISBN 0-691-08370-3
- Kraft, Hanspeter, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie . (Немецкий) (Геометрические методы в теории инвариантов) Аспекты математики, D1. Фридр. Vieweg & Sohn, Брауншвейг, 1984. x + 308 стр. MR0768181ISBN 3-528-08525-8
- Мамфорд, Дэвид (1977), "Устойчивость проективных многообразий" , L'Enseignement Mathematique , 2е Série, 23 (1): 39-110, ISSN 0013-8584 , MR 0450272 , архивируются с оригинала на 2011-07-07
- Мамфорд, Дэвид ; Fogarty, J .; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Результаты в математике и смежных областях (2)], 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10,1007 / 978-3-642-57916-5 , ЛВП : 2433/102881 , ISBN 978-3-540-56963-3, Руководство по ремонту 1304906; МИСТЕР0214602 (1-е изд. 1965 г.); МИСТЕР0719371 (2-е изд.)
- В. Л. Попов , Е. Б. Винберг , Теория инвариантов в алгебраической геометрии . IV. Энциклопедия математических наук, 55 (перевод с русского издания 1989 г.) Springer-Verlag, Berlin, 1994. vi + 284 с. ISBN 3-540-54682-0