Теория Мора – Кулона - это математическая модель (см. Поверхность текучести ), описывающая реакцию хрупких материалов, таких как бетон или груды щебня, на напряжение сдвига, а также нормальное напряжение. Большинство классических инженерных материалов так или иначе следуют этому правилу, по крайней мере, в части их диапазона разрушения при сдвиге. Обычно теория применима к материалам, у которых прочность на сжатие намного превышает предел прочности на разрыв . [1]
В геотехнической инженерии он используется для определения прочности грунтов и горных пород на сдвиг при различных эффективных напряжениях .
В проектировании конструкций он используется для определения разрушающей нагрузки, а также угла разрушения сдвиговой трещины в бетоне и подобных материалах. Кулоновское «с трением гипотеза используется для определения комбинации сдвига и нормального напряжения , что приведет к разрушению материала. Круг Мора используется для определения того, какие главные напряжения будут вызывать эту комбинацию сдвига и нормального напряжения, а также угол плоскости, в котором это произойдет. Согласно принципу нормальности напряжение, возникающее при разрушении, будет перпендикулярно линии, описывающей состояние разрушения.
Можно показать, что материал, разрушающийся в соответствии с гипотезой кулоновского трения, будет демонстрировать смещение, вносимое при разрыве, образуя угол к линии разрушения, равный углу трения . Это позволяет определить прочность материала путем сравнения внешней механической работы, вызванной смещением и внешней нагрузкой, с внутренней механической работой, вызванной деформацией и напряжением на линии разрушения. За счет сохранения энергии их сумма должна быть равна нулю, и это позволит рассчитать разрушающую нагрузку конструкции.
Обычным усовершенствованием этой модели является объединение гипотезы кулоновского трения с гипотезой Рэнкина о главном напряжении для описания отрывной трещины.
История развития
Теория Мора – Кулона названа в честь Шарля-Огюстена де Кулона и Кристиана Отто Мора . Вклад Кулона - эссе 1773 года под названием « Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture ». [2] Мор разработал обобщенную форму теории примерно в конце XIX века. [3] Поскольку обобщенная форма повлияла на интерпретацию критерия, но не на ее сущность, в некоторых текстах этот критерий по-прежнему упоминается просто как « критерий Кулона» . [4]
Критерий разрушения Мора – Кулона
Критерий разрушения Мора – Кулона [5] представляет собой линейную огибающую, которая получается из графика зависимости прочности материала на сдвиг от приложенного нормального напряжения. Это отношение выражается как
где прочность на сдвиг, это нормальный стресс, является пересечением огибающей отказа с ось, и - наклон огибающей отказа. Количествочасто называют сплоченностью, а уголназывается углом внутреннего трения . В нижеследующем обсуждении предполагается, что сжатие положительно. Если предполагается, что сжатие отрицательное, тогда следует заменить на .
Если , критерий Мора – Кулона сводится к критерию Трески . С другой стороны, еслимодель Мора – Кулона эквивалентна модели Ренкина. Более высокие значения не допускаются.
Из круга Мора имеем
где
а также - максимальное главное напряжение и - минимальное главное напряжение.
Следовательно, критерий Мора – Кулона можно также выразить как
Эта форма критерия Мора – Кулона применима к отказу на плоскости, параллельной плоскости направление.
Критерий разрушения Мора – Кулона в трех измерениях
Трехмерный критерий Мора – Кулона часто выражается как
Поверхность разрушения Мора-Кулон является конусом с шестиугольным поперечным сечением в девиаторном пространстве напряжений.
Выражения для а также можно обобщить до трех измерений, разработав выражения для нормального напряжения и разрешенного напряжения сдвига на плоскости произвольной ориентации относительно координатных осей (базисных векторов). Если единица измерения, нормальная к интересующей плоскости, равна
где - три ортонормированных единичных базисных вектора, и если главные напряжения выровнены с базисными векторами , то выражения для находятся
Затем критерий разрушения Мора – Кулона можно оценить с помощью обычного выражения
для шести плоскостей максимального напряжения сдвига.
Получение нормального напряжения и напряжения сдвига на плоскости Пусть единица, нормальная к интересующей плоскости, есть где - три ортонормированных единичных базисных вектора. Тогда вектор тяги на плоскости определяется выражением
Величина вектора тяги определяется выражением
Тогда величина напряжения, нормального к плоскости, определяется выражением
Величина разрешенного напряжения сдвига на плоскости определяется выражением
Что касается компонентов, у нас есть
Если основные напряжения выровнены с базисными векторами , то выражения для находятся
Поверхность разрушения Мора – Кулона в пространстве Хая – Вестергаарда
Поверхность разрушения (текучести) Мора – Кулона часто выражается в координатах Хая – Вестергаада . Например, функция
можно выразить как
В качестве альтернативы в терминах инвариантов мы можем написать
где
Вывод альтернативных форм функции текучести Мора – Кулона Мы можем выразить функцию доходности в виде
В инварианты Хей-Вестергард связаны с главными напряжениями от
Подстановка выражения для функции текучести Мора – Кулона дает нам
Использование тригонометрических тождеств для суммы и разности косинусов и перестановки дает нам выражение функции текучести Мора – Кулона через .
Мы можем выразить функцию доходности через используя отношения
и прямая замена.
Податливость и пластичность Мора – Кулона
Поверхность текучести Мора – Кулона часто используется для моделирования пластического течения геоматериалов (и других материалов, связанных с трением). Многие такие материалы демонстрируют дилатационное поведение при трехосных напряжениях, которые не учитываются в модели Мора – Кулона. Кроме того, поскольку поверхность текучести имеет углы, может быть неудобно использовать исходную модель Мора – Кулона для определения направления пластического течения (в теории пластичности течения ).
Распространенным подходом является использование гладкого не связанного потенциала пластического течения. Примером такого потенциала является функция [ необходима цитата ]
где параметр, ценность когда пластическая деформация равна нулю (также называемая начальным пределом текучести когезии ),- угол между поверхностью текучести в плоскости Rendulic при высоких значениях(этот угол также называют углом расширения ), и является подходящей функцией, которая также является гладкой в плоскости девиаторных напряжений.
Типичные значения сцепления и угла внутреннего трения
Значения когезии (также называемой прочностью сцепления ) и угла трения для горных пород и некоторых распространенных грунтов перечислены в таблицах ниже.
Материал | Прочность сцепления в кПа | Прочность сцепления в фунтах на квадратный дюйм |
---|---|---|
рок | 10 000 | 1450 |
Ил | 75 | 10 |
Глина | От 10 до200 | 1,5 к30 |
Очень мягкая глина | От 0 до48 | От 0 до7 |
Мягкая глина | 48 к96 | 7 к14 |
Средняя глина | 96 к192 | С 14 до28 год |
Жесткая глина | 192 к384 | 28 к56 |
Очень жесткая глина | 384 к766 | 28 к110 |
Твердая глина | > 766 | > 110 |
Материал | Угол трения в градусах |
---|---|
рок | 30 ° |
Песок | 30 ° до45 ° |
Гравий | 35 ° |
Ил | 26 ° до35 ° |
Глина | 20 ° |
Рыхлый песок | 30 ° до35 ° |
Средний песок | 40 ° |
Плотный песок | От 35 ° до45 ° |
Песчаный гравий | > 34 ° до48 ° |
Смотрите также
- Трехмерная эластичность
- Критерий несостоятельности Хука – Брауна
- Закон Байерли
- Боковое давление грунта
- фон Мизес стресс
- Доходность (инженерная)
- Критерий текучести Друкера-Прагера - гладкая версия критерия текучести M – C
- Координаты Лоде
Рекомендации
- ^ Ювинал, Роберт С. и Маршек, Курт .; Основы проектирования узлов машин. - 2-е изд., 1991, стр. 217, ISBN 0-471-62281-8
- ^ АМИР Р. ХОЕЙ; Расчетная пластичность в процессах порошкообразования ; Эльзевир, Амстердам; 2005; 449 с.
- ^ МАО-ХОНГ Ю; « Развитие теорий прочности материалов в условиях сложного напряженного состояния в ХХ веке »; Обзоры прикладной механики ; Американское общество инженеров-механиков, Нью-Йорк, США; May 2002; 55 (3): стр. 169–218.
- ^ НИЛЬС САБЬЕ ОТТОСЕН и МАТТИ РИСТИНМАА; Механика конститутивного моделирования ; Elsevier Science, Амстердам, Нидерланды; 2005; С. 165 и далее.
- Перейти ↑ Coulomb, CA (1776). Essai sur une application des regles des maximis et minimis a quelquels issuesde statique relatifs, как архитектура. Mem. Акад. Рой. Div. Сав., Т. 7. С. 343–387.
- https://web.archive.org/web/20061008230404/http://fbe.uwe.ac.uk/public/geocal/SoilMech/basic/soilbasi.htm
- http://www.civil.usyd.edu.au/courses/civl2410/earth_pressures_rankine.doc