Работа (физика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Рабочая» физика  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Работа
Бейсбол кувшин делает положительную работу над мячом, применяя силу к нему на расстояние она движется в то время как в его руках.
Общие символы	W
Единица СИ	джоуль (Дж)
Прочие единицы	Фут-фунт , эрг
В базовых единицах СИ	1 кг ⋅ м 2 ⋅ с −2
Производные от других величин	W = F ⋅ s W = τ θ
Измерение	M L 2 T −2

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Континуум Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистическая
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

В физике , работа энергия передается в или из объекта с помощью приложения силы вдоль перемещения. В простейшей форме его часто представляют как произведение силы и смещения . Говорят, что сила совершает положительную работу, если (при приложении) она имеет компонент в направлении смещения точки приложения. Сила совершает отрицательную работу, если у нее есть составляющая, противоположная направлению смещения в точке приложения силы.

Например, когда мяч удерживается над землей, а затем падает, работа, выполняемая гравитационной силой на мяч при его падении, равна весу мяча (сила), умноженному на расстояние до земли (смещение ). Когда сила F постоянна и угол между силой и смещением s равен θ , тогда проделанная работа определяется как:

W знак равно F s потому что ⁡ θ {\ Displaystyle W = Fs \ cos {\ theta}}

Работа является скалярной величиной , ^[1] , так что имеет только величину и не направление. Работа передает энергию из одного места в другое или из одной формы в другую. Единица СИ работы является джоуль (Дж), то же самое , как единица для производства энергии.

Этимология [ править ]

Согласно Джаммеру ^[2] термин « работа» был введен в 1826 году французским математиком Гаспаром-Густавом Кориолисом ^[3] как «вес, поднимаемый на высоту», который основан на использовании первых паровых двигателей для подъема ведер с водой. затопленных рудников. По словам Рене Дюга, французского инженера и историка, именно Соломону де Ко «мы обязаны термином работа в том смысле, в каком он сейчас используется в механике». ^[4]

Единицы [ править ]

СИ единицей работы является джоуль (Дж), названный в честь 19-го века английский физик Джеймс Джоуль , который определяется как работа , необходимая для приложения силы одного ньютон через смещения одного метра .

Эквивалентный ньютон-метр (Н · м) иногда используется в качестве единицы измерения работы, но его можно спутать с единицей измерения крутящего момента . Органы СИ не одобряют использование Н · м , поскольку это может привести к путанице в отношении того, является ли величина, выраженная в ньютон-метрах, измерением крутящего момента или измерением работы. ^[5]

Единицы работы, не входящие в СИ, включают ньютон-метр, эрг , фут-фунт , фут-фунтал , киловатт-час , литр-атмосфера и лошадиные силы-час . Из-за того, что работа имеет тот же физический размер, что и тепло , иногда единицы измерения, обычно предназначенные для содержания тепла или энергии, такие как термик , БТЕ и калория , используются в качестве единицы измерения.

Работа и энергия [ править ]

Работа W, совершаемая постоянной силой величины F в точке, которая перемещает смещение s по прямой линии в направлении силы, равна произведению

${\ displaystyle W = Fs}$.

Например, если сила в 10 ньютонов ( F = 10 Н ) действует вдоль точки, которая проходит 2 метра ( s = 2 м ), тогда W = Fs = (10 Н) (2 м) = 20 Дж . Это примерно работа, выполняемая при поднятии предмета весом 1 кг с уровня земли на голову человека против силы тяжести.

Работа удваивается либо путем подъема удвоенного веса на то же расстояние, либо путем подъема того же груза на удвоенное расстояние.

Работа тесно связана с энергией . Принцип работы-энергии гласит, что увеличение кинетической энергии твердого тела вызывается равным объемом положительной работы, совершаемой над телом равнодействующей силой, действующей на это тело. И наоборот, уменьшение кинетической энергии вызывается равным количеством отрицательной работы, совершаемой равнодействующей силой. Таким образом, если чистая работа положительна, то кинетическая энергия частицы увеличивается на величину работы. Если чистая проделанная работа отрицательна, кинетическая энергия частицы уменьшается на величину проделанной работы. ^[6]

Из второго закона Ньютона можно показать, что работа со свободным (без полей), твердым (без внутренних степеней свободы) телом равна изменению кинетической энергии KE, соответствующей линейной скорости и угловой скорости этого тела,

${\ displaystyle W = \ Delta KE.}$

Работа сил, создаваемая потенциальной функцией, называется потенциальной энергией, а силы называют консервативными . Следовательно, работа над объектом, который просто перемещается в консервативном силовом поле без изменения скорости или вращения, равна минус изменению потенциальной энергии PE объекта,

${\ displaystyle W = - \ Delta PE.}$

Эти формулы показывают, что работа - это энергия, связанная с действием силы, поэтому работа впоследствии обладает физическими размерами и единицами энергии. Обсуждаемые здесь принципы работы / энергии идентичны принципам работы / энергии.

Ограничивающие силы [ править ]

Ограничивающие силы определяют смещение объекта в системе, ограничивая его диапазоном. Например, в случае наклона плюс сила тяжести объект прилипает к склону и, будучи прикрепленным к натянутой струне, не может двигаться наружу, чтобы сделать струну более «тугой». Он устраняет все смещения в этом направлении, то есть скорость в направлении ограничения ограничена до 0, так что силы ограничения не выполняют работу с системой.

Для механической системы , ^[7] ограничения силы исключить движение в направлениях , которые характеризуют ограничение. Таким образом, виртуальная работа, выполняемая силами ограничения, равна нулю, результат, который верен только в том случае, если силы трения исключены. ^[8]

Фиксированные силы связи без трения не выполняют работу с системой ^[9], поскольку угол между движением и силами связи всегда составляет 90 ° . ^[9] Примеры неработающих ограничений: жесткие взаимосвязи между частицами, скользящее движение по поверхности без трения и контакт качения без проскальзывания. ^[10]

Например, в ременной системе , как на машине Atwood , внутренние силы на канате и на опорной шкив не делать никакой работы в системе. Поэтому работу нужно рассчитывать только для гравитационных сил, действующих на тела. Другой пример - центростремительная сила, действующая внутрь струны на шар при равномерном круговом движении вбок, ограничивает его круговое движение, ограничивая его движение от центра круга. Эта сила выполняет нулевую работу, потому что она перпендикулярна скорости мяча.

Магнитная сила на заряженной частицы Р = д v × B , где Q является заряд, v есть скорость частицы, а В представляет собой магнитное поле . Результат перекрестного произведения всегда перпендикулярен обоим исходным векторам, поэтому F ⊥ v . Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов всегда равна нулю, поэтому работа W = F ⋅ v = 0, и магнитная сила не работает. Он может изменить направление движения, но никогда не изменит скорость.

Математический расчет [ править ]

Для движущихся объектов количество работы / времени (мощность) интегрируется по траектории точки приложения силы. Таким образом, в любой момент скорость работы, совершаемой силой (измеряемая в джоулях в секунду или ваттах ), является скалярным произведением силы (вектора) и вектора скорости точки приложения. Это скалярное произведение силы и скорости известно как мгновенная мощность . Так же, как скорости могут быть интегрированы с течением времени для получения общего расстояния, согласно фундаментальной теореме исчисления , полная работа по пути аналогичным образом является интегралом по времени мгновенной мощности, приложенной вдоль траектории точки приложения. ^[11]

Работа - это результат воздействия силы на точку, которая следует кривой X , со скоростью v в каждый момент времени. Небольшое количество работы δW, которое происходит за момент времени dt , рассчитывается как

${\ displaystyle \ delta W = \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {s} = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt}$

где F ⋅ v - мощность в момент dt . Сумма этих небольших объемов работы по траектории точки дает работу,

${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\tfrac {d\mathbf {s} }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} ,}$

где C - траектория от x ( t ₁ ) до x ( t ₂ ). Этот интеграл вычисляется вдоль траектории частицы и поэтому считается зависимым от пути .

Если сила всегда направлена ​​вдоль этой линии, а величина силы равна F , то этот интеграл упрощается до

${\displaystyle W=\int _{C}F\,ds}$

где s - смещение по линии. Если F является постоянным, помимо того, что он направлен вдоль линии, интеграл дополнительно упрощается до

${\displaystyle W=\int _{C}F\,ds=F\int _{C}ds=Fs}$

где s - смещение точки по линии.

Этот расчет можно обобщить для постоянной силы, которая не направлена ​​вдоль линии, за которой следует частица. В этом случае скалярное произведение F ⋅ d s = F cos θ ds , где θ - угол между вектором силы и направлением движения, ^[11] то есть

${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =Fs\cos \theta .}$

Когда компонент силы перпендикулярен смещению объекта (например, когда тело движется по круговой траектории под действием центральной силы ), работа не выполняется, поскольку косинус 90 ° равен нулю. ^[6] Таким образом, гравитация не может выполнять работу на планете с круговой орбитой (это идеально, поскольку все орбиты имеют слегка эллиптическую форму). Кроме того, никакая работа не выполняется с телом, движущимся по кругу с постоянной скоростью и ограниченным механической силой, например движущимся с постоянной скоростью в идеальной центрифуге без трения.

Работа, выполняемая переменной силой [ править ]

Вычисление работы как «сила, умноженная на отрезок прямой траектории», применимо только в самых простых обстоятельствах, как указано выше. Если сила изменяется или если тело движется по криволинейной траектории, возможно вращаясь и не обязательно жестко, то только путь точки приложения силы имеет значение для проделанной работы, и только составляющая силы параллельна скорость точки приложения выполняет работу (положительная работа в том же направлении и отрицательная в направлении, противоположном скорости). Эту составляющую силы можно описать скалярной величиной, называемой скалярной тангенциальной составляющей ( F cos ( θ ) , где θ- угол между силой и скоростью). И тогда самое общее определение труда можно сформулировать так:

Работа силы - это линейный интеграл ее скалярной тангенциальной составляющей вдоль пути точки приложения.

Если сила меняется (например, при сжатии пружины), нам нужно использовать расчет, чтобы найти проделанную работу. Если сила задается F ( x ) (функция x ), то работа, совершаемая силой вдоль оси x от a до b, равна:

${\displaystyle W=\int _{a}^{b}\mathbf {F(s)} \cdot d\mathbf {s} }$

Крутящий момент и вращение [ править ]

А сила пара результаты равных и противоположных сил, действующих на двух различных точек твердого тела. Сумма (результирующая) этих сил может отменить, но их действие на организм пара или крутящий момент Т . Работа крутящего момента рассчитывается как

${\displaystyle dW=\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}dt,}$

где T ⋅ ω - степень по моменту δt . Сумма этих небольших объемов работы по траектории твердого тела дает работу,

${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}dt.}$

Этот интеграл вычисляется вдоль траектории твердого тела с угловой скоростью ω, которая изменяется со временем и поэтому называется зависимой от пути .

Если вектор угловой скорости сохраняет постоянное направление, то он принимает вид

${\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\phi }}\mathbf {S} ,}$

где φ является угол поворота вокруг постоянного единичного вектора S . В этом случае работа крутящего момента становится,

${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} {\frac {d\phi }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} d\phi ,}$

где C - траектория от φ ( t ₁ ) до φ ( t ₂ ). Этот интеграл зависит от траектории вращения φ ( t ) и, следовательно, зависит от пути.

Если крутящий момент T выровнен с вектором угловой скорости так, что,

T = τ S , {\displaystyle \mathbf {T} =\tau \mathbf {S} ,}

и крутящий момент и угловая скорость постоянны, тогда работа принимает вид ^[1]

${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\tau {\dot {\phi }}dt=\tau (\phi _{2}-\phi _{1}).}$

Этот результат можно понять проще, если рассматривать крутящий момент как результат силы постоянной величины F , приложенной перпендикулярно к плечу рычага на расстоянии r , как показано на рисунке. Эта сила будет действовать на расстоянии по дуге окружности s = rφ , поэтому проделанная работа будет

${\displaystyle W=Fs=Fr\phi .}$

Введем крутящий момент τ = Fr , чтобы получить

${\displaystyle W=Fr\phi =\tau \phi ,}$

как представлено выше.

Обратите внимание, что только составляющая крутящего момента в направлении вектора угловой скорости вносит вклад в работу.

Работа и потенциальная энергия [ править ]

Скалярное произведение силы F и скорости v точки ее приложения определяет мощность, подводимую к системе в момент времени. Интегрирование этой мощности по траектории точки приложения, C = x ( t ) , определяет работу, вводимую в систему силой.

Зависимость от пути [ править ]

Следовательно, работа, совершаемая силой F над объектом, движущимся по кривой C , определяется линейным интегралом :

${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt,}$

где dx ( t ) определяет траекторию C, а v - скорость вдоль этой траектории. Обычно этот интеграл требует пути, по которому определяется скорость, поэтому говорят, что оценка работы зависит от пути.

Производная интеграла по работе по времени дает мгновенную мощность,

${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=P(t)=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}$

Независимость от пути [ править ]

Если работа приложенной силы не зависит от траектории, то работа, совершаемая силой, по градиентной теореме определяет потенциальную функцию, которая оценивается в начале и в конце траектории точки приложения. Это означает, что существует потенциальная функция U ( x ), которую можно оценить в двух точках x ( t ₁ ) и x ( t ₂ ), чтобы получить работу по любой траектории между этими двумя точками. Традиционно эту функцию определяют с отрицательным знаком, чтобы положительная работа была уменьшением потенциала, т. Е.

${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{\mathbf {x} (t_{1})}^{\mathbf {x} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =U(\mathbf {x} (t_{1}))-U(\mathbf {x} (t_{2})).}$

Функция U ( x ) называется потенциальной энергией, связанной с приложенной силой. Сила, полученная из такой потенциальной функции, называется консервативной . Примерами сил, обладающих потенциальной энергией, являются сила тяжести и силы пружины.

В этом случае градиент работы дает

∇ W = − ∇ U = − ( ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y , ∂ U ∂ z ) = F , {\displaystyle \nabla W=-\nabla U=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,}

и сила F называется «производной от потенциала». ^[12]

Поскольку потенциал U определяет силу F в каждой точке x пространства, набор сил называется силовым полем . Сила, приложенная к телу силовым полем, получается из градиента работы или потенциала в направлении скорости V тела, то есть

P ( t ) = − ∇ U ⋅ v = F ⋅ v . {\displaystyle P(t)=-\nabla U\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}

Работа под действием силы тяжести [ править ]

В отсутствие других сил гравитация приводит к постоянному ускорению вниз каждого свободно движущегося объекта. У поверхности Земли ускорение свободного падения g = 9,8 м⋅с ^−2, а сила тяжести на объекте массы m равна F _g = mg . Удобно представить эту гравитационную силу сосредоточенной в центре масс объекта.

Если объект перемещается вверх или вниз на расстояние y ₂ - y ₁ по вертикали , работа W, выполняемая над объектом его весом mg, равна:

${\displaystyle W=F_{g}(y_{2}-y_{1})=F_{g}\Delta y=-mg\Delta y}$

где F _g - вес (фунты в имперских единицах и ньютоны в единицах СИ), а Δ y - изменение высоты y . Обратите внимание, что работа, выполняемая силой тяжести, зависит только от вертикального движения объекта. Наличие трения не влияет на работу, выполняемую с объектом его весом.

Работа под действием силы тяжести в космосе [ править ]

Сила тяжести, прилагаемая массой M к другой массе m , определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} ,}$

где r - вектор положения от M до m .

Пусть масса m движется со скоростью v ; тогда работа силы тяжести над этой массой при ее перемещении из положения r ( t ₁ ) в положение r ( t ₂ ) определяется выражением

${\displaystyle W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} dt.}$

Обратите внимание, что положение и скорость массы m задаются выражением

${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t},}$

где e _r и e _t - радиальный и тангенциальный единичные векторы, направленные относительно вектора от M к m , и мы используем тот факт, что Используйте это, чтобы упростить формулу для работы силы тяжести до:${\displaystyle d\mathbf {e} _{r}/dt={\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}.}$

${\displaystyle W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{r})\cdot ({\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t})dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.}$

В этом расчете используется тот факт, что

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.}$

Функция

${\displaystyle U=-{\frac {GMm}{r}},}$

- гравитационная потенциальная функция, также известная как гравитационная потенциальная энергия . Отрицательный знак следует за условием, что работа достигается за счет потери потенциальной энергии.

Работа весной [ править ]

Рассмотрим пружину, которая создает горизонтальную силу F = (- kx , 0, 0) , пропорциональную ее прогибу в направлении x, независимо от того, как движется тело. Работа этой пружины по телу, движущемуся по пространству с кривой X ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , вычисляется с использованием его скорости v = ( v _x , v _y , v _z ) , чтобы получить

${\displaystyle W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=-\int _{0}^{t}kxv_{x}dt=-{\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

Для удобства рассмотрим, что контакт с пружиной происходит при t = 0 , тогда интеграл от произведения расстояния x и x-скорости, xv _x , равен (1/2) x ² . Скорость здесь не имеет значения. Работа - это произведение расстояния на усилие пружины, которое также зависит от расстояния; отсюда результат x ² .

Работа газом [ править ]

${\displaystyle W=\int _{a}^{b}{P}dV}$

Где P - давление, V - объем, a и b - начальный и конечный объемы.

Принцип работы – энергии [ править ]

Принцип работы и кинетической энергии (также известный как принцип работы-энергии ) утверждает, что работа, совершаемая всеми силами, действующими на частицу (работа результирующей силы), равна изменению кинетической энергии частицы. ^[13] То есть работа W, совершаемая результирующей силой на частицу, равна изменению кинетической энергии частицы , ^[1]${\displaystyle E_{k}}$

${\displaystyle W=\Delta E_{k}={\tfrac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}mv_{1}^{2}}$,

где и - скорости частицы до и после совершения работы, m - ее масса .${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$

Вывод принципа работы-энергии начинается со второго закона движения Ньютона и возникающей силы, действующей на частицу. Вычисление скалярного произведения сил на скорость частицы позволяет оценить мгновенную мощность, добавленную к системе. ^[14]

Ограничения определяют направление движения частицы, гарантируя отсутствие компонента скорости в направлении силы ограничения. Это также означает, что силы ограничения не прибавляют к мгновенной мощности. Интеграл по времени этого скалярного уравнения дает работу из мгновенной мощности и кинетическую энергию из скалярного произведения скорости и ускорения. Тот факт, что принцип работы – энергии устраняет силы связи, лежит в основе механики Лагранжа . ^[15]

В этом разделе основное внимание уделяется принципу работа – энергия в применении к динамике частиц. В более общих системах работа может изменять потенциальную энергию механического устройства, тепловую энергию в тепловой системе или электрическую энергию в электрическом устройстве. Работа передает энергию из одного места в другое или из одной формы в другую.

Вывод для частицы, движущейся по прямой [ править ]

В случае, если результирующая сила F постоянна как по величине, так и по направлению и параллельна скорости частицы, частица движется с постоянным ускорением a по прямой. ^[16] Связь между результирующей силой и ускорением задается уравнением F = ma ( второй закон Ньютона ), а смещение частицы s может быть выражено уравнением

${\displaystyle s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}}$

что следует из (см. Уравнения движения ).${\displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2as}$

Работа чистой силы рассчитывается как произведение ее величины и смещения частицы. Подставляя приведенные выше уравнения, получаем:

${\displaystyle W=Fs=mas=ma\left({\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}\right)={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta {E_{\mathrm {k} }}}$

Другое происхождение:

${\displaystyle W=Fs=mas=m\left({\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2s}}\right)s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta {E_{\mathrm {k} }}}$

В общем случае прямолинейного движения, когда результирующая сила F не постоянна по величине, но постоянна по направлению и параллельна скорости частицы, работа должна быть интегрирована вдоль пути частицы:

${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,vdt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,vdt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{dv \over dt}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).}$

Общий вывод теоремы о работе – энергии для частицы [ править ]

Для любой чистой силы, действующей на частицу, движущуюся по любой криволинейной траектории, можно продемонстрировать, что ее работа равна изменению кинетической энергии частицы, простым выводом, аналогичным приведенному выше уравнению. Некоторые авторы называют этот результат принципом работы-энергии , но он более известен как теорема работы-энергии :

${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta {E_{k}}}$

Тождество требует некоторой алгебры. Из тождества и определения следует${\displaystyle \textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}}$${\displaystyle \textstyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$${\displaystyle \textstyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} }$.

Оставшаяся часть приведенного выше вывода представляет собой простое исчисление, такое же, как и в предыдущем прямолинейном случае.

Вывод для частицы в ограниченном движении [ править ]

В динамике частиц формула, приравнивающая работу системы к ее изменению кинетической энергии, получается как первый интеграл второго закона движения Ньютона . Полезно отметить, что результирующая сила, используемая в законах Ньютона, может быть разделена на силы, приложенные к частице, и силы, налагаемые ограничениями на движение частицы. Примечательно, что работа ограничивающей силы равна нулю, поэтому в принципе работа – энергия должна учитываться только работа приложенных сил.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим частицу Р , которая следует за траекторией Х ( т ) с силой F , действующая на него. Изолируйте частицу от окружающей среды, чтобы выставить силы связи R , тогда закон Ньютона принимает вид

${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }},}$

где m - масса частицы.

Векторная формулировка [ править ]

Обратите внимание, что n точек над вектором обозначают его производную по времени n . Скалярное произведение каждой стороны закона Ньютона с вектором скорости доходности

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}=m{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}$

потому что силы связи перпендикулярны скорости частицы. Проинтегрируя это уравнение вдоль его траектории от точки X ( t ₁ ) до точки X ( t ₂ ), получаем

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt.}$

Левая часть этого уравнения - это работа приложенной силы, когда она действует на частицу вдоль траектории от момента времени t ₁ до момента времени t ₂ . Это также можно записать как

${\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=\int _{\mathbf {X} (t_{1})}^{\mathbf {X} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} .}$

Этот интеграл вычисляется вдоль траектории X ( t ) частицы и, следовательно, зависит от пути.

Правую часть первого интеграла уравнений Ньютона можно упростить, используя следующее тождество

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},}$

(см. правило продукта для вывода). Теперь он явно интегрирован, чтобы получить изменение кинетической энергии,

${\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})dt={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{2})-{\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{1})={\frac {1}{2}}m\Delta \mathbf {v^{2}} ,}$

где кинетическая энергия частицы определяется скалярной величиной,

${\displaystyle K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v^{2}} }}$

Тангенциальные и нормальные компоненты [ править ]

Полезно разделить векторы скорости и ускорения на тангенциальную и нормальную составляющие вдоль траектории X ( t ), так что

${\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\mbox{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,}$

куда

${\displaystyle v=|{\dot {\mathbf {X} }}|={\sqrt {{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}}}.}$

Тогда скалярное произведение скорости на ускорение во втором законе Ньютона принимает вид

${\displaystyle \Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}vdt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),}$

где кинетическая энергия частицы определяется скалярной величиной,

${\displaystyle K={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}.}$

Результатом является принцип работы-энергии для динамики частиц,

${\displaystyle W=\Delta K.\!}$

Этот вывод можно обобщить на произвольные системы твердых тел.

Движение по прямой (занос до остановки) [ править ]

Рассмотрим случай , движущегося транспортного средства по прямой горизонтальной траектории под действием движущей силы и силы тяжести , что сумма к F . Силы связи между транспортным средством и дорогой определяют R , и мы имеем

${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}$

Для удобства пусть траектория проходит вдоль оси X, поэтому X = ( d , 0) и скорость равна V = ( v , 0) , тогда R ⋅ V = 0 и F ⋅ V = F _x v , где F _x - компонент F вдоль оси X, поэтому

${\displaystyle F_{x}v=m{\dot {v}}v.}$

Интеграция обеих сторон дает

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$

Если F _x постоянно вдоль траектории, то интеграл скорости равен расстоянию, поэтому

${\displaystyle F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$

В качестве примера рассмотрим занос автомобиля до остановки, где k - коэффициент трения, а W - вес автомобиля. Тогда сила по траектории F _x = - кВт . Скорость v кабины может быть определена по длине салазки s с использованием принципа работа-энергия:

${\displaystyle kWs={\frac {W}{2g}}v^{2},\quad {\mbox{or}}\quad v={\sqrt {2ksg}}.}$

Обратите внимание , что эта формула использует тот факт , что масса транспортного средства м = Вт / г .

Спуск по горной дороге (гравитационные гонки) [ править ]

Рассмотрим случай транспортного средства, которое трогается с места и едет по горной дороге, принцип работы-энергии помогает вычислить минимальное расстояние, которое транспортное средство преодолевает, чтобы достичь скорости V , скажем, 60 миль в час (88 кадров в секунду). Сопротивление качению и сопротивление воздуха замедляют транспортное средство, поэтому фактическое расстояние будет больше, чем если бы этими силами пренебречь.

Пусть траектория транспортного средства, следующего за дорогой, равна X ( t ), которая является кривой в трехмерном пространстве. Сила , действующая на транспортном средстве , которое толкает его вниз по дороге постоянная сила тяжести F = (0, 0, W ) , в то время как сила дороги на транспортном средстве , является ограничением силы R . Второй закон Ньютона дает

${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.}$

Скалярное произведение этого уравнения со скоростью, V = ( V _х , V _у , V _г ) , дает

${\displaystyle Wv_{z}=m{\dot {V}}V,}$

где V является величина V . Силы связи между транспортным средством и дорогой исключаются из этого уравнения, поскольку R ⋅ V = 0 , что означает, что они не работают. Интегрируйте обе стороны, чтобы получить

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}Wv_{z}dt={\frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}).}$

Весовая сила W постоянна вдоль траектории, а интеграл вертикальной скорости - это расстояние по вертикали, поэтому

${\displaystyle W\Delta z={\frac {m}{2}}V^{2}.}$

Напомним, что V (t ₁ ) = 0. Обратите внимание, что этот результат не зависит от формы дороги, по которой следует транспортное средство.

Чтобы определить расстояние вдоль дороги, предположим, что спад составляет 6%, это крутая дорога. Это означает, что высота уменьшается на 6 футов на каждые 100 футов пройденного пути - для таких малых углов функции sin и tan примерно равны. Следовательно, расстояние s в футах при уклоне на 6% до достижения скорости V составляет не менее

${\displaystyle s={\frac {\Delta z}{0.06}}=8.3{\frac {V^{2}}{g}},\quad {\mbox{or}}\quad s=8.3{\frac {88^{2}}{32.2}}\approx 2000{\mbox{ft}}.}$

В этой формуле используется тот факт, что вес транспортного средства W = мг .

Работа сил, действующих на твердое тело [ править ]

Работа сил, действующих в различных точках на одно твердое тело, может быть рассчитана на основе работы равнодействующей силы и крутящего момента . Чтобы убедиться в этом, пусть силы F ₁ , F ₂ ... F _n действуют на точки X ₁ , X ₂ ... X _n твердого тела.

Траектории X _i , i = 1, ..., n определяются движением твердого тела. Это движение задается набором вращений [ A ( t )] и траекторией d ( t ) контрольной точки в теле. Пусть координаты x _i i = 1, ..., n определяют эти точки в системе отсчета M движущегося твердого тела , так что траектории, отслеживаемые в неподвижной системе отсчета F , задаются выражением

${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n.}$

Скорость точек X _i вдоль их траекторий равна

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }},}$

где ω - вектор угловой скорости, полученный из кососимметричной матрицы

${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\mathrm {T} },}$

известная как матрица угловой скорости.

Небольшую работу сил над малыми смещениями δ r _i можно определить, аппроксимировав перемещение как δ r = v δt, так что

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t}$

или же

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }})\delta t.}$

Эту формулу можно переписать, чтобы получить

${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\dot {\mathbf {d} }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} \right)\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t=\left(\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {d} }}+\mathbf {T} \cdot {\vec {\omega }}\right)\delta t,}$

где Р и Т являются результирующая сила и крутящий момент применяется в опорной точке D двигающейся рамы М в твердом теле.

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-534-40842-7.
• Типлер, Пол (1991). Физика для ученых и инженеров: механика (3-е изд., Расширенная версия). WH Freeman. ISBN 0-87901-432-6.

Внешние ссылки [ править ]

• Принцип работы – энергии