Проекция Моллвейде

Мольвейде проекция мира

Проекция Моллейде с индикатрисой деформации Тиссо

Проекция Мольвейда является равной площадью , псевдоцилиндрическая картографическая проекция обычно используется для глобальных карт мира или ночного неба. Она также известна как проекция Бабине , гомалографическая проекция , гомологическая проекция и эллиптическая проекция . Проекция торгует точностью угла и формы для точности пропорций в области, и поэтому используется там, где это свойство необходимо, например, карты, изображающие глобальное распределение.

Проекция была впервые опубликована математиком и астрономом Карлом (или Карлом) Бранданом Моллвейде (1774–1825) из Лейпцига в 1805 году. Она была заново изобретена и популяризирована в 1857 году Жаком Бабине , который дал ей название гомалографической проекции . Гомографическая вариация возникла из-за частого использования в девятнадцатом веке в звездных атласах. ^[1]

Девятилетнее изображение космического микроволнового фонового излучения с помощью WMAP (2012 г.) . ^[2]^[3] Спроектировано с использованием проекции Моллвейде.

Уровни фреона на поверхности моря, измеренные в рамках проекта анализа глобальных океанических данных . Спроектировано с использованием проекции Моллвейде.

Свойства [ править ]

Mollweide - это псевдоцилиндрическая проекция, в которой экватор представлен как прямая горизонтальная линия, перпендикулярная центральному меридиану, составляющему половину своей длины. Другие параллели сжимаются около полюсов, в то время как другие меридианы находятся на равном расстоянии от экватора. Меридианы, расположенные под углом 90 градусов к востоку и западу, образуют идеальный круг, а вся Земля изображена в виде пропорционального эллипса 2: 1. Пропорция площади эллипса между любой данной параллелью и экватором такая же, как и доля площади на земном шаре между этой параллелью и экватором, но за счет искажения формы, которое является значительным по периметру плоскости. эллипс, хотя и не такой строгий, как всинусоидальная проекция .

Искажение формы можно уменьшить, используя прерванную версию. Синусоидальный прервал Мольвейд проекция отбрасывает центральный меридиан в пользу чередующихся половин меридианов, заканчивающиеся под прямой углом к экватору. Это приводит к разделению земного шара на доли. Напротив, параллельная прерванная проекция Моллейде использует несколько непересекающихся центральных меридианов, создавая эффект нескольких эллипсов, соединенных на экваторе. Реже проекцию можно нарисовать под наклоном, чтобы сместить области искажения к океанам, позволяя континентам оставаться более правильными.

Моллвейде или его свойства вдохновили на создание нескольких других проекций, в том числе гомолозина Гуда , ван дер Гринтена и эвморфизма Боггса . ^[4]

Математическая формулировка [ править ]

Проекция преобразуется из широты и долготы в координаты x и y карты с помощью следующих уравнений: ^[5]

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = R {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {\ pi}} \ left (\ lambda - \ lambda _ {0} \ right) \ cos \ theta, \\ [5px] y & = R {\ sqrt {2}} \ sin \ theta, \ end {align}}}

где θ - вспомогательный угол, определяемый формулой

{\ Displaystyle 2 \ тета + \ грех 2 \ тета = \ пи \ грех \ varphi \ qquad (1)}

и λ долгота, λ ₀ является центральным меридианом, φ является широта, и R радиус шара для проецирования. Карта имеет площадь 4 $π$ R ² , соответствующую площади поверхности генерирующего глобуса. Х координата имеет диапазон [-2 R √ 2 , 2 R √ 2 ], а также у координата имеет диапазон [- R √ 2 , R √ 2 ].

Уравнение (1) может быть решено с быстрой сходимостью (но медленной вблизи полюсов) с использованием итерации Ньютона – Рафсона : ^[5]

{\begin{aligned}\theta _{0}&=\varphi ,\\\theta _{n+1}&=\theta _{n}-{\frac {2\theta _{n}+\sin 2\theta _{n}-\pi \sin \varphi }{2+2\cos 2\theta _{n}}}.\end{aligned}}

^{[примечание 1]}

Если φ = ± $π$ /2, то и θ = ± $π$ /2. В этом случае итерацию следует пропустить; в противном случае может произойти деление на ноль .

Существует обратное преобразование в замкнутой форме : ^[5]

{\begin{aligned}\varphi &=\arcsin {\frac {2\theta +\sin 2\theta }{\pi }},\\[5px]\lambda &=\lambda _{0}+{\frac {\pi x}{2R{\sqrt {2}}\cos \theta }},\end{aligned}}

где θ находится по соотношению

\theta =\arcsin {\frac {y}{R{\sqrt {2}}}}.\,

Обратные преобразования позволяют найти широту и долготу, соответствующие координатам карты x и y .

См. Также [ править ]

Список картографических проекций
Проекция Айтоффа
Проекция молота

Заметки [ править ]

^ Формула в тексте помогает читателю убедиться в правильности формулы. Для численных расчетов знаменатель следует изменить, начиная с тождества двойного угла.
${\begin{aligned}\cos 2\theta _{n}&=2\cos ^{2}\theta _{n}-1,\\1+\cos 2\theta _{n}&=2\cos ^{2}\theta _{n},\\2+2\cos 2\theta _{n}&=4\cos ^{2}\theta _{n},\\\theta _{n+1}&=\theta _{n}-{\frac {2\theta _{n}+\sin 2\theta _{n}-\pi \sin \varphi }{4\cos ^{2}\theta _{n}}}.\end{aligned}}$
В численных расчетах исходный знаменатель может привести к нулю для θ, близкого к ± $π$ /2(катастрофическая отмена). Эта замена верна для всех углов и позволяет избежать проблемы вблизи θ = ± $π$ /2 не делая его особым случаем.

Ссылки [ править ]

^ Сглаживание Земли: две тысячи лет картографических проекций , Джон П. Снайдер, 1993, стр. 112–113, ISBN 0-226-76747-7 .
Рианна Гэннон, Меган (21 декабря 2012 г.). «Открыта новая« детская картинка »Вселенной» . Space.com . Проверено 21 декабря 2012 года .
^ Беннетт, CL; Larson, L .; Weiland, JL; Jarosk, N .; Hinshaw, N .; Odegard, N .; Смит, К.М.; Hill, RS; Золото, B .; Halpern, M .; Komatsu, E .; Нолта, MR; Пейдж, Л .; Спергель, DN; Wollack, E .; Dunkley, J .; Когут, А .; Limon, M .; Мейер, СС; Такер, GS; Райт, EL (2013). "Девятилетние наблюдения зонда Уилкинсона микроволновой анизотропии (WMAP): окончательные карты и результаты". Серия дополнений к астрофизическому журналу . 208 (2): 20. arXiv : 1212.5225 . Bibcode : 2013ApJS..208 ... 20В . DOI : 10.1088 / 0067-0049 / 208/2/20 .
↑ Картографические проекции - рабочее руководство ,Профессиональный документ USGS 1395, Джон П. Снайдер, 1987, стр. 249–252.
^ a b c Вайсштейн, Эрик В. "Проекция Молвейде" . MathWorld .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме проекции Моллвейде .

Интерактивный Java-апплет для изучения деформаций (площади, расстояния и угла) проекции карты Mollweide Map Projection
Проекция Моллвейда в Mathworld

[6] Формула в тексте помогает читателю убедиться в правильности формулы. Для численных расчетов знаменатель следует изменить, начиная с тождества двойного угла.
${\begin{aligned}\cos 2\theta _{n}&=2\cos ^{2}\theta _{n}-1,\\1+\cos 2\theta _{n}&=2\cos ^{2}\theta _{n},\\2+2\cos 2\theta _{n}&=4\cos ^{2}\theta _{n},\\\theta _{n+1}&=\theta _{n}-{\frac {2\theta _{n}+\sin 2\theta _{n}-\pi \sin \varphi }{4\cos ^{2}\theta _{n}}}.\end{aligned}}$
В численных расчетах исходный знаменатель может привести к нулю для θ, близкого к ± $π$ /2(катастрофическая отмена). Эта замена верна для всех углов и позволяет избежать проблемы вблизи θ = ± $π$ /2 не делая его особым случаем.

[1] Сглаживание Земли: две тысячи лет картографических проекций , Джон П. Снайдер, 1993, стр. 112–113, ISBN 0-226-76747-7 .

[Space-20121221-2] Рианна Гэннон, Меган (21 декабря 2012 г.). «Открыта новая« детская картинка »Вселенной» . Space.com . Проверено 21 декабря 2012 года .

[arXiv-20121220-3] Беннетт, CL; Larson, L .; Weiland, JL; Jarosk, N .; Hinshaw, N .; Odegard, N .; Смит, К.М.; Hill, RS; Золото, B .; Halpern, M .; Komatsu, E .; Нолта, MR; Пейдж, Л .; Спергель, DN; Wollack, E .; Dunkley, J .; Когут, А .; Limon, M .; Мейер, СС; Такер, GS; Райт, EL (2013). "Девятилетние наблюдения зонда Уилкинсона микроволновой анизотропии (WMAP): окончательные карты и результаты". Серия дополнений к астрофизическому журналу . 208 (2): 20. arXiv : 1212.5225 . Bibcode : 2013ApJS..208 ... 20В . DOI : 10.1088 / 0067-0049 / 208/2/20 .

[4] Картографические проекции - рабочее руководство ,Профессиональный документ USGS 1395, Джон П. Снайдер, 1987, стр. 249–252.

[MathWorldMollweide-5] Вайсштейн, Эрик В. "Проекция Молвейде" . MathWorld .

[1]