В картографии , А индикатрисы Тиссо ( Tissot индикатриса , эллипс Тисса , Tissot эллипс , Эллипс искажений ) ( во множественном числе: «индикатриса Тиссо») является математическим ухищрением , представленным французского математик Николя Огюст Тиссо в 1859 и 1871 для того , чтобы охарактеризовать локальные искажения из - за для отображения проекции . Это геометрия , которая является результатом проецирования на круг из бесконечно малого радиуса от изогнутой геометрической модели, такие , как земной шар, на карту. Тиссо доказал, что полученная диаграмма представляет собой эллипсоси которых указывают два основных направления, вдоль которых масштаб максимален и минимален в этой точке на карте.
Одна индикатриса описывает искажение в одной точке. Поскольку искажения различаются по карте, обычно индикатрисы Tissot размещаются по карте, чтобы проиллюстрировать пространственное изменение искажения. Общая схема размещает их на каждом пересечении отображаемых меридианов и параллелей. Эти схемы важны при изучении картографических проекций, как для иллюстрации искажения, так и для обеспечения основы для расчетов, которые представляют величину искажения точно в каждой точке.
Между индикатрисой Tissot и метрическим тензором преобразования координат проекции карты существует взаимно однозначное соответствие . [1]
Описание
Теория Тиссо была разработана в контексте картографического анализа . Обычно геометрическая модель представляет Землю и имеет форму сферы или эллипсоида .
Индикатрисы Тиссо иллюстрируют линейные, угловые и площадные искажения карт:
- Карта искажает расстояния (линейное искажение) везде, где отношение длин бесконечно короткой линии, проецируемой на поверхность проекции, и, как это было изначально на модели Земли, отклоняется от 1. Это частное называется масштабным коэффициентом . Если проекция не является конформной в рассматриваемой точке, масштабный коэффициент зависит от направления вокруг точки.
- Карта искажает углы везде, где углы, измеренные на модели Земли, не сохраняются в проекции. Это выражается эллипсом искажения, который не является кругом.
- Карта искажает области везде, где области, измеренные в модели Земли, не сохраняются в проекции. Это выражается эллипсами искажения, площадь которых варьируется по карте.
На конформных картах, где каждая точка сохраняет углы, спроецированные из геометрической модели, индикатрисы Tissot - это все круги, размер которых варьируется в зависимости от местоположения, возможно, также с различной ориентацией (с учетом четырех квадрантов круга, разделенных меридианами и параллелями ). В проекциях с одинаковой площадью , где пропорции площадей между объектами сохраняются, индикатрисы Tissot имеют одинаковую площадь, хотя их форма и ориентация меняются в зависимости от местоположения. В произвольных проекциях площадь и форма на карте различаются.
Карты мира, сравнивающие индикатрисы Tissot на некоторых общих проекциях |
---|
Математика
На соседнем изображении ABCD - это круг с единичной площадью, определенный в сферической или эллипсоидальной модели Земли, а A′B′C′D ′ - индикатриса Тиссо, которая получается в результате его проекции на плоскость. Сегмент OA преобразуется в OA ', а сегмент OB преобразуется в OB'. Линейный масштаб не сохраняется вдоль этих двух направлений, поскольку OA ′ не равен OA, а OB ′ не равен OB. Угол MOA в круге единичной площади преобразуется в угол M′OA ′ в эллипсе искажения. Поскольку M′OA ′ ≠ MOA, мы знаем, что существует угловое искажение. Площадь круга ABCD по определению равна 1. Поскольку площадь эллипса A'B 'меньше 1, произошло искажение площади.
При работе с индикатрисой Tissot в игру вступают разные понятия радиуса. Первый - бесконечно малый радиус исходной окружности. Результирующий эллипс искажения также будет иметь бесконечно малый радиус, но по математике дифференциалов отношения этих бесконечно малых значений конечны. Так, например, если результирующий эллипс искажения имеет такой же бесконечно малый размер, что и на сфере, то его радиус считается равным 1. Наконец, размер, который индикаторная матрица рисуется для просмотра человеком на карте, является произвольным. Когда на карте рисуется массив индикатрис, все они масштабируются на одну и ту же произвольную величину, чтобы их размеры были пропорционально правильными.
Как и M на диаграмме, оси от O вдоль параллели и вдоль меридиана могут претерпевать изменение длины и вращение при проецировании. В литературе принято представлять масштаб вдоль меридиана как h и масштаб вдоль параллели как k для данной точки. Точно так же угол между меридианом и параллелью мог измениться с 90 ° на другое значение. В самом деле, если карта не является конформной, все углы, кроме угла между большой и малой полуосями эллипса, могли измениться. Определенный угол изменится больше всего, и величина этого максимального изменения известна как угловая деформация, обозначаемая как θ ' . Как правило, то, какой это угол и как он ориентирован, не играет большой роли при анализе искажений. Важна ценность изменения. Значения h , k и θ ′ можно вычислить следующим образом. [2] : 24
где φ и λ - широта и долгота, x и y - проекционные координаты, а R - радиус земного шара.
В результате a и b представляют максимальный и минимальный масштабные коэффициенты в точке, что совпадает с большой и малой полуосями эллипса Tissot; s представляет собой величину инфляции или дефляции в области (также обозначается a ∙ b ); и ω представляет максимальное угловое искажение в точке.
Для проекции Меркатора и любой другой конформной проекции h = k и θ ′ = 90 °, так что каждый эллипс вырождается в круг с радиусом h = k , равным масштабному коэффициенту в любом направлении в этой точке.
Для синусоидальной проекции и любой другой проекции с равной площадью большая полуось эллипса является обратной величиной малой полуоси, так что каждый эллипс имеет одинаковую площадь, даже если их эксцентриситет меняется.
Для произвольных проекций ни форма, ни площадь эллипсов не связаны друг с другом в целом. [3]
Альтернативный вывод для численного расчета
Другой способ понять и вывести индикатрису Тиссо - использовать дифференциальную геометрию поверхностей. [4] Этот подход хорошо подходит для современных численных методов, поскольку параметры индикатрисы Тиссо могут быть вычислены с использованием сингулярного разложения (SVD) и аппроксимации центральной разности .
Дифференциальное расстояние на эллипсоиде
Пусть трехмерная точка, , на эллипсоиде параметризовать как:
где - долгота и широта соответственно, и является функцией экваториального радиуса, , и эксцентриситет, :
Элемент расстояния на сфере, определяется первой фундаментальной формой :
коэффициенты которого определяются как:
Вычисление необходимых производных дает:
где является функцией экваториального радиуса, , эксцентриситет эллипсоида, :
Подстановка этих значений в первую фундаментальную форму дает формулу для элементарного расстояния на эллипсоиде:
Этот результат связывает меру расстояния на поверхности эллипсоида как функцию сферической системы координат.
Преобразование элемента расстояния
Напомним, что цель индикатрисы Тиссо - показать, как меняются расстояния на сфере при сопоставлении с плоской поверхностью. В частности, желаемое соотношение - это преобразованиекоторый связывает дифференциальное расстояние вдоль оснований сферической системы координат с дифференциальным расстоянием вдоль оснований декартовой системы координат на плоской карте. Это можно выразить соотношением:
где а также представляют собой вычисление по продольной и широтной осям соответственно. Расчет а также может быть выполнено непосредственно из приведенного выше уравнения, что дает:
Для целей этого вычисления полезно выразить эту взаимосвязь как матричную операцию:
Теперь, чтобы связать расстояния на поверхности эллипсоида с расстояниями на плоскости, нам нужно связать системы координат. Из цепного правила мы можем написать:
где J - матрица Якоби :
Подставляя матричное выражение для а также дает определение преобразования в виде индикатрисы:
Это преобразование инкапсулирует отображение поверхности эллипсоида на плоскость. Выраженный в этой форме, SVD может использоваться для разделения важных компонентов локальной трансформации.
Численные вычисления и SVD
Чтобы извлечь желаемую информацию об искажении в любом заданном месте сферической системы координат, значения можно вычислить напрямую. Якобиан,, можно вычислить аналитически из самой функции отображения, но часто проще численно аппроксимировать значения в любом месте на карте, используя центральные разности . Как только эти значения вычислены, SVD может применяться к каждой матрице преобразования для извлечения информации о локальных искажениях. Помните, что, поскольку искажение является локальным, каждое место на карте будет иметь собственное преобразование.
Напомним определение СВД:
Это разложение преобразования, , во вращение в области источника (т.е. поверхности эллипсоида), , масштабирование по основанию, , и последующее второе вращение, . Для понимания искажения первое вращение не имеет значения, поскольку оно вращает оси окружности, но не влияет на окончательную ориентацию эллипса. Следующая операция, представленная диагональной матрицей сингулярных значений, масштабирует круг по его осям, деформируя его в эллипс. Таким образом, сингулярные значения представляют собой масштабные коэффициенты по осям эллипса. Первое сингулярное значение представляет собой большую полуось,, а второй обеспечивает малую полуось, , которые являются коэффициентами масштабирования искажений по направлению. Масштабное искажение можно вычислить как площадь эллипса,, или, что то же самое, определителем . Наконец, ориентация эллипса,, можно извлечь из первого столбца в виде:
Галерея
Поперечная проекция Меркатора с индикатрисами Тиссо
Стереографическая проекция с индикатрисами Тиссо
Синусоидальная проекция с индикатрисами Тиссо
Пирса квинкунциальный проекция с индикатрисами Тиссо
Миллер цилиндрический выступ с индикатрисами Тиссо
Проекция Молот с индикатрисами Тиссо
Азимутальная проекция с индикатрисами Тиссо
Проекция Фуллера с индикатрисами Тиссо
Смотрите также
- Эллипс макадама
Рекомендации
- ^ Голдберг, Дэвид М .; Готт III, Дж. Ричард (2007). «Изгиб и перекос в картографических проекциях Земли» (PDF) . Cartographica . 42 (4): 297–318. arXiv : astro-ph / 0608501 . DOI : 10,3138 / carto.42.4.297 . Проверено 14 ноября 2011 .
- ^ Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции - рабочее руководство . Professional Paper 1395. Денвер: USGS . п. 383. ISBN. 978-1782662228. Проверено 26 ноября 2015 .
- ^ Более общий пример индикатрисы Тиссо: тройная проекция Винкеля .
- ^ Ласковский, Петр (1989). «Традиционный и современный взгляд на индикаторную матрицу Tissot». Американский картограф . 16 (2): 123–133.
Внешние ссылки
- Java-апплет с интерактивными проекциями, показывающими индикатрису Tissot