Множественная дзета-функция

В математике , эти множественные дзета - функции являются обобщением дзета - функции Римана , определяемые

${\ displaystyle \ zeta (s_ {1}, \ ldots, s_ {k}) = \ sum _ {n_ {1}> n_ {2}> \ cdots> n_ {k}> 0} \ {\ frac {1 } {n_ {1} ^ {s_ {1}} \ cdots n_ {k} ^ {s_ {k}}}} = \ sum _ {n_ {1}> n_ {2}> \ cdots> n_ {k} > 0} \ \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {1} {n_ {i} ^ {s_ {i}}}}, \!}$

и сходятся, когда Re ( s ₁ ) + ... + Re ( s _i )>  i для всех  i . Как и дзета-функция Римана, множественные дзета-функции можно аналитически продолжить как мероморфные функции (см., Например, Zhao (1999)). Когда s ₁ , ..., s _k - все положительные целые числа (при s ₁  > 1) эти суммы часто называют множественными дзета-значениями (MZV) или суммами Эйлера . Эти значения также можно рассматривать как особые значения множественных полилогарифмов. ^{[1] [2]}

К в приведенном выше определении назван «длина» в MZV, а также N  =  ев ₁  + ...  ы _к известен как «вес». ^[3]

Стандартное сокращение для написания нескольких дзета-функций состоит в том, чтобы заключить повторяющиеся строки аргумента в фигурные скобки и использовать верхний индекс для указания количества повторений. Например,

${\ Displaystyle \ дзета (2,1,2,1,3) = \ дзета (\ {2,1 \} ^ {2}, 3)}$

Случай двух параметров [ править ]

В частном случае у нас есть только два параметра (s> 1 и n, m целое число): ^[4]

${\ displaystyle \ zeta (s, t) = \ sum _ {n> m \ geq 1} \ {\ frac {1} {n ^ {s} m ^ {t}}} = \ sum _ {n = 2 } ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} \ sum _ {m = 1} ^ {n-1} {\ frac {1} {m ^ {t}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + 1) ^ {s}}} \ sum _ {m = 1} ^ {n} {\ frac {1} {m ^ {t}}}}$

${\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n,t}}{(n+1)^{s}}}}$ где - обобщенные числа гармоник .${\displaystyle H_{n,t}}$

Известно, что множественные дзета-функции удовлетворяют так называемой двойственности MZV, простейшим случаем которой является знаменитое тождество Эйлера :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{(n+1)^{2}}}=\zeta (2,1)=\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}},\!}$

где H _n - номера гармоник .

Специальные значения двойных дзета-функций, с s  > 0 и четным, t  > 1 и нечетным, но s + t = 2N + 1 (принимая, если необходимо, ζ (0) = 0): ^[4]

${\displaystyle \zeta (s,t)=\zeta (s)\zeta (t)+{\tfrac {1}{2}}{\Big [}{\tbinom {s+t}{s}}-1{\Big ]}\zeta (s+t)-\sum _{r=1}^{N-1}{\Big [}{\tbinom {2r}{s-1}}+{\tbinom {2r}{t-1}}{\Big ]}\zeta (2r+1)\zeta (s+t-1-2r)}$

s	т	приблизительное значение	явные формулы	OEIS
2	2	0,811742425283353643637002772406	${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\zeta (4)}$	OEIS :  A197110
3	2	0,228810397603353759768746148942	${\displaystyle 3\zeta (2)\zeta (3)-{\tfrac {11}{2}}\zeta (5)}$	OEIS :  A258983
4	2	0,088483382454368714294327839086	${\displaystyle \left(\zeta (3)\right)^{2}-{\tfrac {4}{3}}\zeta (6)}$	OEIS :  A258984
5	2	0,038575124342753255505925464373	${\displaystyle 5\zeta (2)\zeta (5)+2\zeta (3)\zeta (4)-11\zeta (7)}$	OEIS :  A258985
6	2	0,017819740416835988		OEIS :  A258947
2	3	0,711566197550572432096973806086	${\displaystyle {\tfrac {9}{2}}\zeta (5)-2\zeta (2)\zeta (3)}$	OEIS :  A258986
3	3	0,213798868224592547099583574508	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\left(\zeta (3)\right)^{2}-\zeta (6)\right)}$	A258987
4	3	0,085159822534833651406806018872	${\displaystyle 17\zeta (7)-10\zeta (2)\zeta (5)}$	A258988
5	3	0,037707672984847544011304782294	${\displaystyle 5\zeta (3)\zeta (5)-{\tfrac {147}{24}}\zeta (8)-{\tfrac {5}{2}}\zeta (6,2)}$	A258982
2	4	0,674523914033968140491560608257	${\displaystyle {\tfrac {25}{12}}\zeta (6)-\left(\zeta (3)\right)^{2}}$	A258989
3	4	0.207505014615732095907807605495	${\displaystyle 10\zeta (2)\zeta (5)+\zeta (3)\zeta (4)-18\zeta (7)}$	A258990
4	4	0,083673113016495361614890436542	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\left(\zeta (4)\right)^{2}-\zeta (8)\right)}$	A258991

Обратите внимание, что если у нас есть неприводимые, т.е. эти MZV не могут быть записаны как функции только от. ^[5]${\displaystyle s+t=2p+2}$${\displaystyle p/3}$${\displaystyle \zeta (a)}$

Случай трех параметров [ править ]

В частном случае у нас есть только три параметра (с a> 1 и целым числом n, j, i):

${\displaystyle \zeta (a,b,c)=\sum _{n>j>i\geq 1}\ {\frac {1}{n^{a}j^{b}i^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(j+1)^{b}}}\sum _{i=1}^{j}{\frac {1}{(i)^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {H_{i,c}}{(j+1)^{b}}}}$

Формула отражения Эйлера [ править ]

Вышеупомянутые MZV удовлетворяют формуле Эйлера отражения:

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)}$ за ${\displaystyle a,b>1}$

Используя отношения перемешивания, легко доказать, что: ^[5]

${\displaystyle \zeta (a,b,c)+\zeta (a,c,b)+\zeta (b,a,c)+\zeta (b,c,a)+\zeta (c,a,b)+\zeta (c,b,a)=\zeta (a)\zeta (b)\zeta (c)+2\zeta (a+b+c)-\zeta (a)\zeta (b+c)-\zeta (b)\zeta (a+c)-\zeta (c)\zeta (a+b)}$ за ${\displaystyle a,b,c>1}$

Эту функцию можно рассматривать как обобщение формул отражения.

Симметричные суммы в терминах дзета-функции [ править ]

Пусть , а для разбиения множества пусть . Также, учитывая такой набор показателей и набор из k , определим .${\displaystyle S(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$${\displaystyle \Pi =\{P_{1},P_{2},\dots ,P_{l}\}}$${\displaystyle \{1,2,\dots ,k\}}$${\displaystyle c(\Pi )=(\left|P_{1}\right|-1)!(\left|P_{2}\right|-1)!\cdots (\left|P_{l}\right|-1)!}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle i=\{i_{1},...,i_{k}\}}$${\displaystyle \prod _{s=1}^{l}\zeta (\sum _{j\in P_{s}}i_{j})}$

Отношения между и заключаются в следующем: и${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S(i_{1},i_{2})=\zeta (i_{1},i_{2})+\zeta (i_{1}+i_{2})}$${\displaystyle S(i_{1},i_{2},i_{3})=\zeta (i_{1},i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1},i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3})}$

Теорема 1 (Хоффман) [ править ]

Для любого реального , .${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}>1,}$${\displaystyle \sum _{\sigma \in \sum _{k}}S(i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}c(\Pi )\zeta (i,\Pi )}$

Доказательство. Предположим, что все они разные. (Здесь нет потери общности, поскольку мы можем брать пределы.) Левая часть может быть записана как . Теперь думая о симметричном${\displaystyle i_{j}}$${\displaystyle \sum _{\sigma }\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots \geq n_{k}\geq 1}{\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$

группа как действующая на набор натуральных чисел из k . Данный набор k имеет группу изотропии${\displaystyle \sum _{k}}$${\displaystyle n=(1,\cdots ,k)}$${\displaystyle n=(n_{1},\cdots ,n_{k})}$

${\displaystyle \sum _{k}(n)}$и связанный с ним раздел из : это множество классов эквивалентности отношения дается тогда и только тогда , и . Теперь член стоит в левой части ровно раз. Это происходит в правой части тех терминов, которые соответствуют разделам, которые являются уточнениями : позволяя обозначать уточнение, повторяется раз. Таким образом, вывод будет следовать, если для любого k-кортежа и соответствующего разбиения . Чтобы увидеть это, обратите внимание, что подсчитываются перестановки, имеющие тип цикла, указанный :, так как любые элементы имеют уникальный тип цикла, указанный разделом, который уточняет${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle (1,2,\cdots ,k)}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle i\sim j}$${\displaystyle n_{i}=n_{j}}$${\displaystyle \sum _{k}(n)=\{\sigma \in \sum _{k}:\sigma (i)\sim \forall i\}}$${\displaystyle {\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$${\displaystyle \sum _{\sigma \in \sum _{k}}S(i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}c(\Pi )\zeta (i,\Pi )}$${\displaystyle \left|\sum _{k}(n)\right|}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \succeq }$${\displaystyle {\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$${\displaystyle \sum _{\Pi \succeq \Lambda }(\Pi )}$${\displaystyle \left|\sum _{k}(n)\right|=\sum _{\Pi \succeq \Lambda }c(\Pi )}$${\displaystyle n=\{n_{1},\cdots ,n_{k}\}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle c(\Pi )}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \sum _{k}(n)}$${\displaystyle \Lambda }$, результат следует. ^[6]

Для теорема утверждает , для . Это главный результат. ^[7]${\displaystyle k=3}$${\displaystyle \sum _{\sigma \in \sum _{3}}S(i_{\sigma (1)},i_{\sigma (2)},i_{\sigma (3)})=\zeta (i_{1})\zeta (i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1})\zeta (i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{3})\zeta (i_{2})+2\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3})}$${\displaystyle i_{1},i_{2},i_{3}>1}$

Имея . Чтобы сформулировать аналог теоремы 1 для функции , нам потребуется один бит обозначений. Для перегородки${\displaystyle \zeta (i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$${\displaystyle \zeta 's}$

${\displaystyle \Pi =\{P_{1},\cdots ,P_{l}\}}$или пусть .${\displaystyle \{1,2\cdots ,k\}}$${\displaystyle {\tilde {c}}(\Pi )=(-1)^{k-l}c(\Pi )}$

Теорема 2 (Хоффман) [ править ]

Для любого реального , .${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}>1}$${\displaystyle \sum _{\sigma \in \sum _{k}}\zeta (i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}{\tilde {c}}(\Pi )\zeta (i,\Pi )}$

Доказательство. Мы следуем той же схеме рассуждений, что и в предыдущем доказательстве. Левая часть - это now , а член находится слева, поскольку один раз, если все различны, и совсем не иначе. Таким образом, достаточно показать (1)${\displaystyle \sum _{\sigma }\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}\geq 1}{\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \sum _{\Pi \succeq \Lambda }{\tilde {c}}(\Pi )={\begin{cases}1,{\text{ if }}\left|\Lambda \right|=k\\0,{\text{ otherwise }}.\end{cases}}}$

Чтобы доказать это, сначала заметьте, что знак положительный, если перестановки циклического типа четные, и отрицательный, если они нечетные: таким образом, левая часть (1) представляет собой сумму со знаком числа четных и нечетные перестановки в группе изотропии . Но такая группа изотропии имеет равное количество четных и нечетных перестановок, если только она не является тривиальной, то есть, если соответствующее разбиение не является . ^[6]${\displaystyle {\tilde {c}}(\Pi )}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \sum _{k}(n)}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \{\{1\},\{2\},\cdots ,\{k\}\}}$

Гипотезы о сумме и двойственности ^[6] [ править ]

Сначала сформулируем гипотезу о сумме, принадлежащую К. Моэну. ^[8]

Гипотеза суммы (Хоффман). Для натуральных чисел k и n, где сумма распространяется на наборы натуральных чисел из k .${\displaystyle \sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}\zeta (i_{1},\cdots ,i_{k})=\zeta (n)}$${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}}$${\displaystyle i_{1}>1}$

Сделаем три замечания по поводу этой гипотезы. Во-первых, это подразумевает . Во-вторых, в случае, если он говорит, что , или используя связь между и и теоремой 1,${\displaystyle \sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}S(i_{1},\cdots ,i_{k})={n-1 \choose k-1}\zeta (n)}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle \zeta (n-1,1)+\zeta (n-2,2)+\cdots +\zeta (2,n-2)=\zeta (n)}$${\displaystyle \zeta 's}$${\displaystyle S's}$${\displaystyle 2S(n-1,1)=(n+1)\zeta (n)-\sum _{k=2}^{n-2}\zeta (k)\zeta (n-k).}$

Это было доказано Эйлером ^[9] и неоднократно переоткрывалось, в частности, Уильямсом. ^[10] Наконец, К. Моэн ^[8] доказал ту же гипотезу для k = 3 с помощью длинных, но элементарных аргументов. Для гипотезы двойственности мы сначала определяем инволюцию на множестве конечных последовательностей натуральных чисел, первый элемент которых больше 1. Позвольте быть набором строго возрастающих конечных последовательностей положительных целых чисел, и пусть будет функцией, которая отправляет последовательность в к его последовательности частичных сумм. Если - множество последовательностей, в которых последний элемент не больше , у нас есть две коммутирующие инволюции и на${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Im }$${\displaystyle \mathrm {T} }$${\displaystyle \Sigma :\Im \rightarrow \mathrm {T} }$${\displaystyle \Im }$${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {T} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$определяется и = дополнение в расположенных в порядке возрастания. Наше определение является для с .${\displaystyle R_{n}(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{l})=(n+1-a_{l},n+1-a_{l-1},\cdots ,n+1-a_{1})}$${\displaystyle C_{n}(a_{1},\cdots ,a_{l})}$${\displaystyle \{a_{1},\cdots ,a_{l}\}}$${\displaystyle \{1,2,\cdots ,n\}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau (I)=\Sigma ^{-1}R_{n}C_{n}\Sigma (I)=\Sigma ^{-1}C_{n}R_{n}\Sigma (I)}$${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})\in \Im }$${\displaystyle i_{1}+\cdots +i_{k}=n}$

Например, мы будем говорить, что последовательности и двойственны друг другу, а последовательность, фиксируемую с помощью, называть самодвойственной. ^[6]${\displaystyle \tau (3,4,1)=\Sigma ^{-1}C_{8}R_{8}(3,7,8)=\Sigma ^{-1}(3,4,5,7,8)=(3,1,1,2,1).}$${\displaystyle (i_{1},\cdots ,i_{k})}$${\displaystyle \tau (i_{1},\cdots ,i_{k})}$${\displaystyle \tau }$

Гипотеза двойственности (Хоффман). Если двойственно к , то .${\displaystyle (h_{1},\cdots ,h_{n-k})}$${\displaystyle (i_{1},\cdots ,i_{k})}$${\displaystyle \zeta (h_{1},\cdots ,h_{n-k})=\zeta (i_{1},\cdots ,i_{k})}$

Эта гипотеза суммы также известна как Sum теорема , и это может быть выраженно следующим образом : дзета значения Римана целого числа п  ≥ 2, равен суммой все действительных (т.е. с S ₁  > 1) MZVs этих перегородок из длина k и вес n , где 1 ≤  k  ≤ n  - 1. В формуле: ^[3]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {s_{1}+\cdots +s_{k}=n}{s_{1}>1}}\zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\zeta (n)}$

Например, с длиной k = 2 и весом n = 7:

${\displaystyle \zeta (6,1)+\zeta (5,2)+\zeta (4,3)+\zeta (3,4)+\zeta (2,5)=\zeta (7)}$

Сумма Эйлера со всеми возможными сменами знака [ править ]

Сумма Эйлера с чередованием знака появляется в исследованиях непеременной суммы Эйлера. ^[5]

Обозначение [ править ]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(b)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta ({\bar {a}},b)}$ с - обобщенные гармонические числа .${\displaystyle H_{n}^{(b)}=+1+{\frac {1}{2^{b}}}+{\frac {1}{3^{b}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(b)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta (a,{\bar {b}})}$ с ${\displaystyle {\bar {H}}_{n}^{(b)}=-1+{\frac {1}{2^{b}}}-{\frac {1}{3^{b}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(b)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})}$ с ${\displaystyle {\bar {H}}_{n}^{(c)}=-1+{\frac {1}{2^{c}}}-{\frac {1}{3^{c}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta ({\bar {a}},b,c)}$ с ${\displaystyle H_{n}^{(c)}=+1+{\frac {1}{2^{c}}}+{\frac {1}{3^{c}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta (a,{\bar {b}},c)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta (a,b,{\bar {c}})}$

В качестве варианта эта-функции Дирихле определим

${\displaystyle \phi (s)={\frac {1-2^{(s-1)}}{2^{(s-1)}}}\zeta (s)}$ с ${\displaystyle s>1}$

${\displaystyle \phi (1)=-\ln 2}$

Формула отражения [ править ]

Формулу отражения можно обобщить следующим образом:${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)}$

${\displaystyle \zeta (a,{\bar {b}})+\zeta ({\bar {b}},a)=\zeta (a)\phi (b)-\phi (a+b)}$

${\displaystyle \zeta ({\bar {a}},b)+\zeta (b,{\bar {a}})=\zeta (b)\phi (a)-\phi (a+b)}$

${\displaystyle \zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})+\zeta ({\bar {b}},{\bar {a}})=\phi (a)\phi (b)-\zeta (a+b)}$

если у нас есть${\displaystyle a=b}$${\displaystyle \zeta ({\bar {a}},{\bar {a}})={\tfrac {1}{2}}{\Big [}\phi ^{2}(a)-\zeta (2a){\Big ]}}$

Другие отношения [ править ]

Используя определение ряда, легко доказать:

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (a,{\bar {b}})+\zeta ({\bar {a}},b)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})={\frac {\zeta (a,b)}{2^{(a+b-2)}}}}$ с ${\displaystyle a>1}$

${\displaystyle \zeta (a,b,c)+\zeta (a,b,{\bar {c}})+\zeta (a,{\bar {b}},c)+\zeta ({\bar {a}},b,c)+\zeta (a,{\bar {b}},{\bar {c}})+\zeta ({\bar {a}},b,{\bar {c}})+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},c)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})={\frac {\zeta (a,b,c)}{2^{(a+b+c-3)}}}}$ с ${\displaystyle a>1}$

Еще одно полезное соотношение: ^[5]

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})=\sum _{s>0}(a+b-s-1)!{\Big [}{\frac {Z_{a}(a+b-s,s)}{(a-s)!(b-1)!}}+{\frac {Z_{b}(a+b-s,s)}{(b-s)!(a-1)!}}{\Big ]}}$

где и${\displaystyle Z_{a}(s,t)=\zeta (s,t)+\zeta ({\bar {s}},t)-{\frac {{\Big [}\zeta (s,t)+\zeta (s+t){\Big ]}}{2^{(s-1)}}}}$${\displaystyle Z_{b}(s,t)={\frac {\zeta (s,t)}{2^{(s-1)}}}}$

Обратите внимание, что это должно использоваться для всех значений, для которых аргумент факториалов равен${\displaystyle s}$${\displaystyle >1}$${\displaystyle \geqslant 0}$

Другие результаты [ править ]

Для любого положительного целого числа ::${\displaystyle a,b,\dots ,k}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,k)=\zeta (k+1)}$ или в более общем плане:

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,a,b,\dots ,k)=\zeta (a+1,b,\dots ,k)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {k}})=-\phi (k+1)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {a}},b)=\zeta ({\overline {a+1}},b)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,a,{\bar {b}})=\zeta (a+1,{\bar {b}})}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {a}},{\bar {b}})=\zeta ({\overline {a+1}},{\bar {b}})}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\zeta (n,k)=\zeta (n)-1}$

${\displaystyle 1-\zeta (2)+\zeta (3)-\zeta (4)+\cdots =|{\frac {1}{2}}|}$

${\displaystyle \zeta (a,a)={\tfrac {1}{2}}{\Big [}(\zeta (a))^{2}-\zeta (2a){\Big ]}}$

${\displaystyle \zeta (a,a,a)={\tfrac {1}{6}}(\zeta (a))^{3}+{\tfrac {1}{3}}\zeta (3a)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (a)\zeta (2a)}$

Дзета-значения Морделла-Торнхейма [ править ]

Дзета-функция Морделла – Торнхейма, введенная Мацумото (2003), который был мотивирован статьями Морделла (1958) и Торнхейма (1950) , определяется следующим образом:

${\displaystyle \zeta _{MT,r}(s_{1},\dots ,s_{r};s_{r+1})=\sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}{\frac {1}{m_{1}^{s_{1}}\cdots m_{r}^{s_{r}}(m_{1}+\dots +m_{r})^{s_{r+1}}}}}$

Это частный случай дзета-функции Шинтани .

Ссылки [ править ]

• Торнхейм, Леонард (1950). «Гармонический двойной ряд». Американский журнал математики . 72 (2): 303–314. DOI : 10.2307 / 2372034 . ISSN  0002-9327 . JSTOR  2372034 . Руководство по ремонту  0034860 .
• Морделл, Луи Дж. (1958). «Об оценке нескольких серий». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 33 (3): 368–371. DOI : 10,1112 / jlms / s1-33.3.368 . ISSN  0024-6107 . Руководство по ремонту  0100181 .
• Апостол, Том М .; Ву, Тьенну Х. (1984), «Ряд Дирихле, связанный с дзета-функцией Римана», Журнал теории чисел , 19 (1): 85–102, DOI : 10.1016 / 0022-314X (84) 90094-5 , ISSN  0022 -314X , Руководство по эксплуатации  0751166
• Crandall, Ричард Э .; Бюлер, Джо П. (1994). «Об оценке сумм Эйлера» . Экспериментальная математика . 3 (4): 275. DOI : 10,1080 / 10586458.1994.10504297 . Руководство по ремонту  1341720 .
• Borwein, Jonathan M .; Гиргенсон, Роланд (1996). «Оценка тройных сумм Эйлера» . Эл. J. Combinat . 3 (1): # R23. Руководство по ремонту  1401442 .
• Флажолет, Филипп; Салви, Бруно (1998). «Суммы Эйлера и контурные интегральные представления» . Exp. Математика . 7 : 15–35. CiteSeerX  10.1.1.37.652 . DOI : 10.1080 / 10586458.1998.10504356 .
• Чжао, Цзяньцян (1999). «Аналитическое продолжение множественных дзета-функций» . Труды Американского математического общества . 128 (5): 1275–1283. DOI : 10.1090 / S0002-9939-99-05398-8 . Руководство по ремонту  1670846 .
• Мацумото, Коджи (2003), «О Морделле – Торнхейме и других множественных дзета-функциях», Труды сессии по аналитической теории чисел и диофантовым уравнениям , Bonner Math. Schriften, 360 , Бонн: Univ. Бонн, MR  2075634
• Эспиноза, Оливье; Молл, Виктор Х. (2008). «Оценка двойных сумм Торнхейма». arXiv : math / 0505647 .
• Эспиноза, Оливье; Молл, Виктор Х. (2010). «Оценка двойных сумм Торнхейма II». Рамануджан Дж . 22 : 55–99. arXiv : 0811.0557 . DOI : 10.1007 / s11139-009-9181-1 . Руководство по ремонту  2610609 .
• Borwein, JM ; Чан, штат Ой. (2010). «Двойственность в хвостах множества дзета-значений». Int. J. Теория чисел . 6 (3): 501–514. CiteSeerX  10.1.1.157.9158 . DOI : 10.1142 / S1793042110003058 . Руководство по ремонту  2652893 .
• Басу, Анкур (2011). «Об оценке сумм Торнхейма и смежных двойных сумм». Рамануджан Дж . 26 (2): 193–207. DOI : 10.1007 / s11139-011-9302-5 . Руководство по ремонту  2853480 .

Примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Борвейн, Джонатан; Зудилин, Вадим. «Конспект лекций по множественной дзета-функции» .
• Хоффман, Майкл (2012). «Множественные дзета-значения» .
• Чжао, Цзяньцян (2016). Множественные дзета-функции, множественные полилогарифмы и их особые значения . Серия по теории чисел и ее приложениям. 12 . Мировое научное издательство. DOI : 10,1142 / 9634 . ISBN 978-981-4689-39-7.
• Бургос Хиль, Хосе Игнасио; Фресан, Хавьер. «Множественные дзета-значения: от чисел к мотивам» (PDF) .