Многомерный дисперсионный анализ

В статистике , многомерный дисперсионный анализ ( MANOVA ) представляет собой процедура для сравнения многомерных средств выборки. В многомерной процедуре, она используется , когда есть два или более зависимые переменные , ^[1] и часто сопровождается тестами значимости с участием отдельных зависимыми переменных по отдельности. ^[2]

Связь с ANOVA [ править ]

MANOVA - это обобщенная форма одномерного дисперсионного анализа (ANOVA) ^[1], хотя, в отличие от одномерного ANOVA , он использует ковариацию между исходными переменными при проверке статистической значимости средних различий.

Там, где суммы квадратов появляются в одномерном дисперсионном анализе, в многомерном дисперсионном анализе появляются определенные положительно определенные матрицы . Диагональные элементы представляют собой суммы квадратов того же типа, что и в одномерном дисперсионном анализе. Недиагональные записи - это соответствующие суммы произведений. При предположениях о нормальности распределений ошибок эквивалент суммы квадратов из-за ошибки имеет распределение Уишарта .

MANOVA основан на произведении матрицы дисперсии модели и обратной матрицы дисперсии ошибок, или . Гипотеза, подразумевающая, что товар . ^[3] соображение инвариантности подразумевает MANOVA статистика должна быть мерой величины от сингулярного разложения этого матричного продукта, но не существует уникальный выбора благодаря много- мерной природе альтернативной гипотезы.${\ displaystyle \ Sigma _ {\ text {модель}}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {\ text {res}} ^ {- 1}}$${\ displaystyle A = \ Sigma _ {\ text {модель}} \ times \ Sigma _ {\ text {res}} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ text {модель}} = \ Sigma _ {\ text {остаток}}}$${\ displaystyle A \ sim I}$

Наиболее распространенный ^{[4] [5]} статистические сводки на основе корней (или собственных значений ) в матрице:${\ displaystyle \ lambda _ {p}}$${\displaystyle A}$

• Самюэль Стэнли Уилкс " , распространяемый в виде лямбды (Λ)${\displaystyle \Lambda _{\text{Wilks}}=\prod _{1,\ldots ,p}(1/(1+\lambda _{p}))=\det(I+A)^{-1}=\det(\Sigma _{\text{res}})/\det(\Sigma _{\text{res}}+\Sigma _{\text{model}})}$
• KC Sreedharan Пиллаи - МС Бартлетта след , ^[6]${\displaystyle \Lambda _{\text{Pillai}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p}/(1+\lambda _{p}))=\operatorname {tr} (A(I+A)^{-1})}$
• след Лоули- Хотеллинга ,${\displaystyle \Lambda _{\text{LH}}=\sum _{1,\ldots ,p}(\lambda _{p})=\operatorname {tr} (A)}$
• Самый большой корень Роя (также называемый самым большим корнем Роя ),${\displaystyle \Lambda _{\text{Roy}}=\max _{p}(\lambda _{p})=\|A\|_{\infty }}$

Обсуждение достоинств каждого из них продолжается ^[1], хотя наибольший корень приводит только к пределу значимости, который обычно не представляет практического интереса. Еще одна сложность состоит в том, что, за исключением наибольшего корня Роя, распределение этих статистических данных при нулевой гипотезе не является прямым и может быть только приближено, за исключением нескольких малоразмерных случаев. ^[7] Алгоритм распределения наибольшего корня Роя при нулевой гипотезе был выведен в ^[8], а распределение при альтернативе изучено в ^[9].

Наиболее известное приближение лямбды Уилкса было получено Р. Р. Рао .

В случае двух групп все статистические данные эквивалентны, и тест сводится к Т-квадрату Хотеллинга .

Корреляция зависимых переменных [ править ]

На мощность MANOVA влияют корреляции зависимых переменных и величины эффекта, связанные с этими переменными. Например, когда есть две группы и две зависимые переменные, мощность MANOVA будет наименьшей, когда корреляция равна отношению меньшего стандартизованного размера эффекта к большему. ^[10]

См. Также [ править ]

• Анализ дискриминантной функции
• Дизайн повторных мероприятий
• Канонический корреляционный анализ

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

В Викиверситете есть учебные ресурсы о многомерном дисперсионном анализе.

• Многомерный дисперсионный анализ (MANOVA) Аарона Френча, Марсело Маседо, Джона Поулсена, Тайлера Уотерсона и Анджелы Ю, Государственный университет Сан-Франциско