Взаимно объективные основы

В квантовой информационной теории, взаимно несмещенные основы в гильбертовом пространстве C ^D два ортонормальных основ и таким образом, что квадрат от величины этого скалярного произведения между любыми базисными состояниями и равно обратный в размерности г : ^[1]${\ displaystyle \ {| e_ {1} \ rangle, \ dots, | e_ {d} \ rangle \}}$${\ Displaystyle \ {| е_ {1} \ rangle, \ точки, | е_ {d} \ rangle \}}$${\ displaystyle | e_ {j} \ rangle}$${\ displaystyle | f_ {k} \ rangle}$

${\displaystyle |\langle e_{j}|f_{k}\rangle |^{2}={\frac {1}{d}},\quad \forall j,k\in \{1,\dots ,d\}.}$

Эти базы беспристрастны в следующем смысле: если система подготовлена ​​в состоянии, принадлежащем одной из баз, то все результаты измерения по отношению к другому базису предсказываются с равной вероятностью.

Обзор [ править ]

Понятие взаимно несмещенных базисов было впервые введено Швингером в 1960 году ^[2], и первым, кто рассмотрел применения взаимно несмещенных базисов, был Иванович ^[3] в проблеме определения квантового состояния.

Еще одна область, в которой могут применяться взаимно несмещенные основы, - это квантовое распределение ключей , в частности, безопасный обмен квантовыми ключами. ^[4] Взаимно непредвзятые основы используются во многих протоколах, поскольку результат является случайным, когда измерение выполняется на основе, не имеющей предубеждений относительно той, в которой было подготовлено состояние. Когда две удаленные стороны совместно используют два неортогональных квантовых состояния, попытки перехватчика различить их с помощью измерений будут влиять на систему, и это может быть обнаружено. В то время как многие протоколы квантовой криптографии основаны на 1- кубитных технологиях, использование многомерных состояний, таких как qutrits , обеспечивает лучшую защиту от подслушивания. ^[4] Это мотивирует изучение взаимно несмещенных базисов в многомерных пространствах.

Другое использование взаимно несмещенных основания включает квантовое состояние реконструкцию , ^[5] коррекция ошибок коды квантовых , ^{[6] [7]} обнаружение квантовой запутанности , ^{[8] [9]} , и так называемый «проблема среднемноголетнего короля». ^{[10] [11]}

Проблема существования [ править ]

Обозначим через максимальное количество взаимно несмещенных базисов в d -мерном гильбертовом пространстве C ^d . Это открытый вопрос ^[12], сколько взаимно несмещенных базисов можно найти в C ^d для произвольного d .${\displaystyle {\mathfrak {M}}(d)}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}(d)}$

В общем, если

${\displaystyle d=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}}$

- разложение числа d по степени простого числа , где

${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}<p_{2}^{n_{2}}<\cdots <p_{k}^{n_{k}}}$

тогда максимальное количество взаимно несмещенных базисов, которые могут быть построены, удовлетворяет ^[1]

${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}+1\leq {\mathfrak {M}}(d)\leq d+1.}$

Отсюда следует, что если размерность гильбертова пространства d является целой степенью простого числа, то можно найти d  + 1 взаимно несмещенных базисов. Это можно видеть в предыдущем уравнении, так как разложение простого числа д просто . Следовательно,${\displaystyle d=p^{n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {M}}(p^{n})=p^{n}+1.}$

Таким образом, максимальное количество взаимно несмещенных оснований известно, когда d является целой степенью простого числа, но неизвестно для произвольного d .

Примеры наборов взаимно объективных баз [ править ]

Пример для d = 2 [ править ]

Три базы

${\displaystyle M_{0}=\left\{|0\rangle ,|1\rangle \right\}}$

${\displaystyle M_{1}=\left\{{\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}},{\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}\right\}}$

${\displaystyle M_{2}=\left\{{\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}},{\frac {|0\rangle -i|1\rangle }{\sqrt {2}}}\right\}}$

предоставить простейший пример взаимно несмещенных оснований в C ² . Вышеуказанные основы состоят из собственных векторов этих Паулей спиновых матриц и их продукта , соответственно.${\displaystyle \sigma _{z},\sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{z}}$

Пример для d = 4 [ править ]

Для d  = 4 пример d  + 1 = 5 взаимно несмещенных базисов, где каждый базис обозначается M _j , 0 ≤ j ≤ 4, дается следующим образом: ^[13]

${\displaystyle M_{0}=\left\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\right\}}$

${\displaystyle M_{1}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,1,1,1),{\frac {1}{2}}(1,1,-1,-1),{\frac {1}{2}}(1,-1,-1,1),{\frac {1}{2}}(1,-1,1,-1)\right\}}$

${\displaystyle M_{2}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-1,-i,-i),{\frac {1}{2}}(1,-1,i,i),{\frac {1}{2}}(1,1,i,-i),{\frac {1}{2}}(1,1,-i,i)\right\}}$

${\displaystyle M_{3}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-i,-i,-1),{\frac {1}{2}}(1,-i,i,1),{\frac {1}{2}}(1,i,i,-1),{\frac {1}{2}}(1,i,-i,1)\right\}}$

${\displaystyle M_{4}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-i,-1,-i),{\frac {1}{2}}(1,-i,1,i),{\frac {1}{2}}(1,i,-1,i),{\frac {1}{2}}(1,i,1,-i)\right\}}$

Методы поиска взаимно объективных оснований [ править ]

Метод группы Вейля ^[1] [ править ]

Пусть и - два унитарных оператора в гильбертовом пространстве C ^d такие, что${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\hat {Z}}}$

${\displaystyle {\hat {Z}}{\hat {X}}=\omega {\hat {X}}{\hat {Z}}}$

для некоторого фазового фактора . Если это примитивный корень из единицы , например , то eigenbases из и взаимно несмещенные.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega \equiv e^{\frac {2\pi i}{d}}}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\hat {Z}}}$

Выбрав собственный базис в качестве стандартного базиса , мы можем сгенерировать другой базис, несмещенный к нему, используя матрицу Фурье. Элементы матрицы Фурье имеют вид${\displaystyle {\hat {Z}}}$

${\displaystyle F_{ab}=\omega ^{ab},0\leq a,b\leq N-1}$

Другие базисы, несмещенные как к стандартному базису, так и к базису, порожденному матрицей Фурье, могут быть сгенерированы с использованием групп Вейля. ^[1] Размерность гильбертова пространства важна при генерации наборов взаимно несмещенных базисов с использованием групп Вейля. Когда d - простое число, то обычные d  + 1 взаимно несмещенные основания могут быть сгенерированы с использованием групп Вейля. Когда d не является простым числом, возможно, что максимальное количество взаимно несмещенных оснований, которые могут быть сгенерированы с помощью этого метода, равно 3.

Метод унитарных операторов с использованием конечных полей [ править ]

При д  =  р является простым , мы определим унитарные операторы и путь${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\hat {Z}}}$

${\displaystyle {\hat {X}}=\sum _{k=0}^{d-1}|k+1\rangle \langle k|}$

${\displaystyle {\hat {Z}}=\sum _{k=0}^{d-1}\omega ^{k}|k\rangle \langle k|}$

где - стандартный базис, а - корень из единицы .${\displaystyle \{|k\rangle |0\leq j\leq d-1\}}$${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}}}$

Тогда собственные базы следующих d  + 1 операторов взаимно несмещены: ^[14]

${\displaystyle {\hat {X}},{\hat {Z}},{\hat {X}}{\hat {Z}},{\hat {X}}{\hat {Z}}^{2}...{\hat {X}}{\hat {Z}}^{d-1}.}$

При нечетном г , то т -й собственный вектор оператора задается в явном виде ^[12]${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {Z}}^{k}}$

${\displaystyle |\psi _{t}^{k}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}\sum _{j=0}^{d-1}\omega ^{-jt}\omega ^{kj(j-1)/2}|j\rangle .}$

Когда - степень простого числа, мы используем конечное поле для построения максимального набора из d  + 1 взаимно несмещенных базисов. Мы маркировать элементы расчетной основы C ^D , используя конечное поле: .${\displaystyle d=p^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{d}}$${\displaystyle \{|a\rangle |a\in \mathbb {F} _{d}\}}$

Определим операторы и следующим образом${\displaystyle {\hat {X_{a}}}}$${\displaystyle {\hat {Z_{b}}}}$

${\displaystyle {\hat {X_{a}}}=\sum _{c\in \mathbb {F} _{d}}|c+a\rangle \langle c|}$

${\displaystyle {\hat {Z_{b}}}=\sum _{c\in \mathbb {F} _{d}}\chi (bc)|c\rangle \langle c|}$

куда

${\displaystyle \chi (\theta )=\exp \left[{\frac {2\pi i}{p}}\left(\theta +\theta ^{p}+\theta ^{p^{2}}+\cdots +\theta ^{p^{r-1}}\right)\right],}$

является аддитивным символом над полем, а также сложением и умножением в кетах и является символом .${\displaystyle \chi (\cdot )}$${\displaystyle \mathbb {F} _{d}}$

Затем формируем d  + 1 набор коммутирующих унитарных операторов:

${\displaystyle \{{\hat {Z_{s}}}|s\in \mathbb {F} _{d}\}}$и для каждого${\displaystyle \{{\hat {X_{s}}}{\hat {Z_{sr}}}|s\in \mathbb {F} _{d}\}}$${\displaystyle r\in \mathbb {F} _{d}}$

Совместные собственные базы операторов в одном наборе взаимно несмещены по отношению к базам любого другого набора. ^[14] Таким образом, мы имеем d  + 1 взаимно несмещенных базисов.

Метод матрицы Адамара ^[1] [ править ]

Учитывая, что один базис в гильбертовом пространстве является стандартным базисом, тогда все базисы, несмещенные относительно этого базиса, могут быть представлены столбцами комплексной матрицы Адамара, умноженными на коэффициент нормализации. При d  = 3 эти матрицы имели бы вид

${\displaystyle U={\frac {1}{\sqrt {d}}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\e^{i\phi _{10}}&e^{i\phi _{11}}&e^{i\phi _{12}}\\e^{i\phi _{20}}&e^{i\phi _{21}}&e^{i\phi _{22}}\end{bmatrix}}}$

Таким образом, задача поиска набора из k + 1 взаимно несмещенных базисов соответствует поиску k взаимно несмещенных комплексных матриц Адамара.

Примером однопараметрического семейства матриц Адамара в 4-мерном гильбертовом пространстве является

${\displaystyle H_{4}(\phi )={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&e^{i\phi }&-1&-e^{i\phi }\\1&-1&1&-1\\1&-e^{i\phi }&-1&e^{i\phi }\end{bmatrix}}}$

Проблема поиска максимального набора MUB при d = 6 [ править ]

Наименьшее измерение, которое не является целой степенью простого числа, равно d  = 6. Это также наименьшее измерение, для которого количество взаимно несмещенных оснований неизвестно. В этом случае нельзя использовать методы, используемые для определения количества взаимно несмещенных оснований, когда d является целой степенью простого числа. Поиски набора из четырех взаимно несмещенных базисов при d  = 6, как с использованием матриц Адамара ^{[1], так} и численных методов ^{[15] [16]} , не увенчались успехом. Общее мнение таково, что максимальное количество взаимно несмещенных оснований для d  = 6 равно . ^[1]${\displaystyle {\mathfrak {M}}(6)=3}$

Отношения энтропийной неопределенности и MUBs [ править ]

Существует альтернативная характеристика взаимно беспристрастных оснований, которая рассматривает их с точки зрения отношений неопределенности . ^[17]

Соотношения энтропийной неопределенности аналогичны принципу неопределенности Гейзенберга , и Маассен и Уффинк ^[18] обнаружили, что для любых двух оснований и :${\displaystyle B_{1}=\{|a_{i}\rangle _{i=1}^{d}\}}$${\displaystyle B_{2}=\{|b_{j}\rangle _{j=1}^{d}\}}$

${\displaystyle H_{B_{1}}+H_{B_{2}}\geq -2\log c.}$

где и и - соответствующая энтропия оснований и при измерении данного состояния.${\displaystyle c=\max |\langle a_{j}|b_{k}\rangle |}$${\displaystyle H_{B_{1}}}$${\displaystyle H_{B_{2}}}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B_{2}}$

Отношения энтропийной неопределенности часто предпочтительнее ^[19], чем принцип неопределенности Гейзенберга , поскольку они формулируются не в терминах состояния, которое нужно измерить, а в терминах с .

В таких сценариях, как квантовое распределение ключей , мы стремимся к таким базам измерения, чтобы полное знание состояния по отношению к одному базису предполагало минимальное знание состояния по отношению к другим базам. Это подразумевает высокую энтропию результатов измерения, и поэтому мы называем эти сильные отношения энтропийной неопределенности.

Для двух баз нижняя граница отношения неопределенности максимизируется, когда базы измерения взаимно несмещены, поскольку взаимно несмещенные базы максимально несовместимы : результат измерения, выполненного на основе, несмещенной по сравнению с базисом, в котором подготовлено состояние, полностью случайный. Фактически, для d -мерного пространства мы имеем: ^[20]

${\displaystyle H_{B_{1}}+H_{B_{2}}\geq \log(d)}$

для любой пары взаимно несмещенных баз и . Эта оценка является оптимальной : ^[21] Если мы измеряем состояние по одному из баз, то результат будет иметь энтропию 0 в этом базисе и энтропию в другом.${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B_{2}}$${\displaystyle \log(d)}$

Если размерность пространства является степенью простых  чисел, мы можем построить d + 1 MUB, и тогда было обнаружено, что ^[22]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{d+1}H_{B_{k}}\geq (d+1)\log \left({\frac {d+1}{2}}\right)}$

что сильнее, чем соотношение, которое мы получили бы при объединении наборов в пары и последующем использовании уравнения Маассена и Уффинка. Таким образом, у нас есть характеристика d  + 1 взаимно несмещенных базисов как базисов, для которых отношения неопределенности наиболее сильны.

Хотя случай для двух оснований и для d  + 1 оснований хорошо изучен, очень мало известно о соотношениях неопределенностей для взаимно несмещенных оснований в других обстоятельствах. ^{[22] [23]}

При рассмотрении более двух и менее оснований известно, что существуют большие наборы взаимно несмещенных оснований, которые демонстрируют очень небольшую неопределенность. ^[24] Это означает, что простая взаимная непредвзятость не приводит к высокой неопределенности, за исключением случаев, когда учитываются измерения только в двух базах. Однако существуют и другие измерения, которые очень неопределенны. ^{[22] [25]}${\displaystyle d+1}$

Взаимно несмещенные базисы в бесконечномерных гильбертовых пространствах [ править ]

Несмотря на то, что проводились исследования взаимно несмещенных базисов в бесконечномерном гильбертовом пространстве, их существование остается открытым вопросом. Предполагается, что в непрерывном гильбертовом пространстве два ортонормированных базиса и называются взаимно несмещенными, если ^[26]${\displaystyle |\psi _{s}^{b}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{s'}^{b'}\rangle }$

${\displaystyle |\langle \psi _{s}^{b}|\psi _{s'}^{b'}\rangle |^{2}=k>0,s,s'\in \mathbb {R} }$

Для обобщенной координаты и импульса собственных состояний и величина K является${\displaystyle |q\rangle ,q\in \mathbb {R} }$${\displaystyle |p\rangle ,p\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle |\langle q|p\rangle |^{2}={\frac {1}{2\pi \hbar }}}$

Существование взаимно несмещенных базисов в непрерывном гильбертовом пространстве остается открытым для дискуссий, поскольку необходимы дальнейшие исследования их существования, прежде чем можно будет сделать какие-либо выводы.

Состояния положения и состояния импульса являются собственными векторами эрмитовых операторов и соответственно. Вейгерт и Уилкинсон ^[26] первыми заметили, что линейная комбинация этих операторов также имеет собственные базы, которые имеют некоторые особенности, типичные для взаимно несмещенных базисов. Оператор имеет собственные функции, пропорциональные с, и соответствующие собственные значения . Если мы параметризуем и как и , перекрытие между любым собственным состоянием линейной комбинации и любым собственным состоянием оператора положения (оба состояния нормализованы к дельте Дирака) будет постоянным, но зависит от :${\displaystyle |q\rangle }$${\displaystyle |p\rangle }$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle -i{\frac {\partial }{\partial x}}}$${\displaystyle \alpha {\hat {x}}-i\beta {\frac {\partial }{\partial x}}}$${\displaystyle \exp(i(ax^{2}+bx))\,}$${\displaystyle \alpha +2\beta a=0}$${\displaystyle b\beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle \sin \theta }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle |\langle x_{\theta }|x\rangle |^{2}={\frac {1}{2\pi |\sin \theta |}},}$

где и - собственные функции и .${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle |x_{\theta }\rangle }$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle \cos \theta {\hat {x}}-i\sin \theta {\frac {\partial }{\partial x}}}$

Ссылки [ править ]