Экспоненциальный факториал натурального числа n , обозначаемый n $ , представляет собой n , возведенное в степень n - 1, которая, в свою очередь, возведена в степень n - 2, и так далее, и так далее в порядке правой группировки. . То есть,
Первые несколько экспоненциальных факториалов — это 1 , 1 , 2 , 9 , 262144 и т. д . (последовательность A049384 в OEIS ). Например, 262144 является экспоненциальным факториалом, поскольку
Экспоненциальные факториалы растут намного быстрее, чем обычные факториалы или даже гиперфакториалы . Количество цифр в 6$ примерно 5 × 10 .183 230 .
Сумма обратных экспоненциальных факториалов, начиная с 1, представляет собой следующее трансцендентное число :
Подобно тетрации , в настоящее время не существует принятого метода расширения экспоненциальной факториальной функции на действительные и комплексные значения ее аргумента, в отличие от факториальной функции, для которой такое расширение обеспечивается гамма-функцией . Но его можно расширить, если он определен в полосе шириной 1.