Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Проблема складывания салфетки - это проблема геометрии и математики складывания бумаги, которая исследует, может ли складывание квадратной или прямоугольной салфетки увеличить ее периметр . Проблема известна под несколькими названиями, в том числе проблема салфетки Маргулиса , предполагающая, что она вызвана Григорием Маргулисом , и проблема с рублем Арнольда, относящаяся к Владимиру Арнольду и складыванию банкноты в российских рублях . Некоторые версии задачи были решены Робертом Дж. Лэнгом , Светланой Крат ,Алексей Сергеевич Тарасов и Иван Ященко . Одна форма проблемы остается открытой.

Составы [ править ]

Есть несколько способов дать определение понятию сворачивания , давая разные толкования. По условию салфетка всегда представляет собой единичный квадрат .

Складывание по прямой [ править ]

Если рассматривать складку как отражение вдоль линии, отражающей все слои салфетки, периметр всегда не увеличивается и, таким образом, никогда не превышает 4. [1] [2]

При рассмотрении более общих складок, которые, возможно, отражают только один слой салфетки (в этом случае каждая складка является отражением связанного компонента сложенной салфетки на одной стороне прямой линии), она все равно открывается, если последовательность этих складок можно увеличить периметр. [3] Другими словами, до сих пор неизвестно, существует ли решение, которое можно сложить с помощью некоторой комбинации горных складок, складок долин, обратных складок и / или провальных складок (при этом все складки в последних двух случаях формируются вдоль одной линия). Также, конечно, неизвестно, возможно ли такое сгибание при использовании более ограниченного оригами в чистом виде .

Складывание без растяжения [ править ]

Можно попросить реализовать конструкцию в рамках жесткого оригами, где салфетка никогда не растягивается во время складывания. В 2004 году А. Тарасов показал, что такие конструкции действительно могут быть получены. Это можно считать полным решением исходной проблемы. [4]

Где имеет значение только результат [ править ]

Можно спросить, существует ли сложенная плоская салфетка (независимо от того, как она была сложена в эту форму).

Роберт Дж. Лэнг показал в 1997 году [2], что несколько классических конструкций оригами дают простое решение. [5] Фактически, Лэнг показал, что периметр можно сделать сколь угодно большим, усложнив конструкцию, но при этом получится плоское сложенное решение. Однако его конструкции не обязательно являются жестким оригами из-за использования складок раковины и связанных форм. Несмотря на то, что растягивание не требуется при складках с опусканием и отстегивании, часто (хотя и не всегда) необходимо непрерывно изгибать грани и / или сгибать одну или несколько складок через бумагу на промежуточных этапах до получения плоского результата. Существует ли общее жестко складывающееся решение на основе складок раковины - открытый вопрос.[ необходима цитата ]

В 1998 году И. Ященко построил трехмерную складку с проекцией на плоскость, имеющую больший периметр. [6] Это указывало математикам на то, что, вероятно, существует плоское сложенное решение проблемы. [ необходима цитата ]

К такому же выводу пришла Светлана Крат. [7] Ее подход отличается, она дает очень простую конструкцию «смятия», которая увеличивает периметр, а затем доказывает, что любое «смятие» может быть произвольно хорошо аппроксимировано «складыванием». По сути, она показывает, что точные детали того, как делать складки, не имеют большого значения, если растяжение разрешено на промежуточных этапах. [ необходима цитата ]

Решения [ править ]

Решения Ланга [ править ]

Схема складок для раствора, подобного морскому ежу Лэнга, с N  = 5

Ланг разработал два разных решения. [5] [8] Оба имели опускающиеся закрылки и поэтому не обязательно жестко складывались. Самый простой был основан на основе птицы оригами и дал решение с периметром около 4,12 по сравнению с исходным периметром 4.

Из второго решения можно сделать фигуру с желаемым периметром. Он делит квадрат на большое количество меньших квадратов и использует конструкцию оригами типа « морской еж », описанную в его книге « Морская жизнь оригами» 1990 года . [8] Показанный шаблон складок относится к  случаю n = 5 и может использоваться для создания плоской фигуры с 25 закрылками, по одному на каждый из больших кругов, а утонение используется для их утончения. Когда они очень тонкие, 25 рукавов образуют 25-конечную звезду с маленьким центром и периметром, приближающимся к N 2 / ( N  - 1). В случае N  = 5 это примерно 6,25, а общая длина идет вверх примерно как  N .

История [ править ]

Арнольд заявляет в своей книге, что он сформулировал проблему в 1956 году, но формулировку оставили намеренно расплывчатой. [1] [9] Он назвал это «проблемой помятого рубля», и это была первая из многих интересных задач, которые он поставил на семинарах в Москве более 40 лет. На Западе он стал известен как Маргулис проблемы салфетки после того, как Джим Пропп «s телеконференции размещения в 1996 году [2] Несмотря на внимание, он получил фольклорный статус и его происхождение часто называют как„неизвестный“. [6]

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Арнольд, Владимир Игоревич (2005). Проблемы Арнольда . Берлин: Springer. ISBN 3-540-20748-1.
  2. ^ a b c "Проблема салфетки Маргулиса, обсуждение в группе новостей 1996 года" . Геометрия Свалка .
  3. ↑ Петрунин, Антон (2008). «Задача Арнольда о складывании бумаги». Задачи Санкт-Петербургской математической олимпиады Школьников по математике . arXiv : 1004.0545 . Bibcode : 2010arXiv1004.0545P .
  4. ↑ Тарасов, А.С. (2004). "Решение проблемы Арнольда" свернутого рубля " . Чебышевский сборник . 5 (1): 174–187. Архивировано из оригинала на 2007-08-25.
  5. ^ a b Лэнг, Роберт Дж. (2003). Секреты дизайна оригами: математические методы для древнего искусства . А.К. Петерс . стр.  315 -319.
  6. ^ а б Ященко И. (1998). «Сделай свой доллар больше сейчас !!!». Математика. Интеллигенсер . 20 (2): 38–40. DOI : 10.1007 / BF03025296 . S2CID 124667472 . 
  7. ^ С. Крат, Задачи аппроксимации в длине геометрии, Ph.D. дипломная работа, Государственный университет Пенсильвании, 2005 г.
  8. ^ a b Монтролл, Джон и Роберт Дж. Лэнг (1990). Оригами Морская Жизнь . Dover Publications . С. 195–201.
  9. ↑ Табачников, Сергей (2007). «Рецензия на книгу« Проблемы Арнольда » » (PDF) . Математика. Интеллигенсер . 29 (1): 49–52. DOI : 10.1007 / BF02984760 . S2CID 120833539 .  

Внешние ссылки [ править ]

  • Эрик Демейн и Джозеф О'Рурк , Геометрические алгоритмы складывания: связи, оригами, многогранники
  • Игорь Пак , Лекции по дискретной и многогранной геометрии , секция 40.