В геометрии , теорема Наполеона утверждает , что если равносторонние треугольники построены на сторонах любого треугольника , либо все наружу или внутрь все, линии , соединяющие центры этих равносторонних самих треугольников образуют равносторонний треугольник.
Образованный таким образом треугольник называется внутренним или внешним треугольником Наполеона . Разница в площадях внешнего и внутреннего треугольников Наполеона равна площади исходного треугольника.
Эту теорему часто приписывают Наполеону Бонапарту (1769–1821). Некоторые предполагают, что это может быть связано с вопросом У. Резерфорда 1825 года, опубликованным в «Дамском дневнике» , через четыре года после смерти французского императора [1] [2], но результат раскрывается в трех вопросах, заданных на экзамене на получение золотой медали. Медаль в Дублинском университете в октябре 1820 года, тогда как Наполеон умер в мае следующего года.
Доказательства
На рисунке выше ABC - это исходный треугольник. AZB, BXC и CYA - это равносторонние треугольники, построенные на внешней стороне их сторон, а точки L, M и N - центроиды этих треугольников. Теорема для внешних треугольников утверждает, что треугольник LMN ( зеленый ) равносторонний.
Быстрый способ увидеть, что треугольник LMN равносторонний, - это заметить, что MN становится CZ при повороте на 30 ° по часовой стрелке вокруг A и гомотетии отношения √ 3 с тем же центром, и что LN также становится CZ после поворота против часовой стрелки. 30 ° вокруг B и гомотетия отношения √ 3 с тем же центром. Соответствующие спиральные подобия [3] - это A ( √ 3 , -30 °) и B ( √ 3 , 30 °). Это означает, что MN = LN и угол между ними должен составлять 60 °. [4]
Есть на самом деле много доказательств постановки теоремы, включая в синтетическом (бескоординатный) один, [5] с тригонометрическими один, [6] с симметрией -подходом, [7] и доказательства с использованием комплексных чисел . [6]
Задний план
Теорема часто приписывалась Наполеону, но по этому поводу было написано несколько статей [8] [9], которые ставят под сомнение это утверждение (см. ( Grünbaum 2012 )).
Следующая запись появилась на странице 47 женского дневника 1825 года (то есть в конце 1824 года, примерно через год после составления дублинских экзаменационных работ). Это раннее появление теоремы Наполеона в печати, и имя Наполеона не упоминается.
- VII. Квест. (1439); г-на В. Резерфорда, Вудберн.
- «Опишите равносторонние треугольники (все вершины обращены либо наружу, либо все внутрь) на трех сторонах любого треугольника ABC: тогда линии, соединяющие центры тяжести этих трех равносторонних треугольников, образуют равносторонний треугольник. Требуется демонстрация».
Поскольку Уильям Резерфорд был очень способным математиком, его мотивы потребовать доказательства теоремы, которую он определенно мог бы доказать, неизвестен. Может быть, он поставил вопрос перед своими сверстниками, или, возможно, он надеялся, что ответы дадут более элегантное решение. Однако из чтения последовательных выпусков « Женского дневника» 1820-х годов становится ясно , что редактор стремился каждый год включать разнообразный набор вопросов, некоторые из которых подходят для упражнений начинающих.
Совершенно очевидно, что ни в вопросе, ни в опубликованных ответах, появившихся годом позже, в 1826 году, нет упоминания о Наполеоне, хотя редактор, очевидно, пропустил некоторые материалы. Кроме того, сам Резерфорд не фигурирует среди названных решателей после напечатанных решений, хотя из подсчета несколькими страницами ранее очевидно, что он действительно прислал решение, как и несколько его учеников и сотрудников в Вудбернской школе, включая первого. опубликованных решений. Действительно, Группа по решению проблем Вудберна, как ее можно было бы назвать сегодня, к тому времени была достаточно хорошо известна, чтобы ее можно было описать в «Историческом, географическом и описательном обзоре графства Нортумберленд ...» (2-е изд. Vo. II, стр. С. 123–124). Считалось, что первая известная ссылка на этот результат как на теорему Наполеона появляется в 17-м издании Elementi di Geometria Файфофера, опубликованном в 1911 году [10], хотя Файфофер действительно упоминает Наполеона в несколько более ранних изданиях. Но это спорный вопрос, потому что мы находим Наполеона, упомянутого по имени в этом контексте в энциклопедии 1867 года. Что представляет больший исторический интерес в отношении Файфофера, так это проблема, которую он использовал в более ранних изданиях: классическая проблема описания наибольшего равностороннего треугольника вокруг заданный треугольник, который Томас Мосс поставил в женском дневнике в 1754 году, в решении которого Уильямом Бевилом в следующем году мы могли бы легко распознать зародыш теоремы Наполеона - два результата затем соединяются вместе, по крайней мере в течение следующие сто лет на проблемных страницах популярных альманахов: когда Хонсбергер предложил в « Mathematical Gems» в 1973 году то, что он считал новинкой, он фактически суммировал часть этой обширной, хотя и неофициальной литературы.
Было бы также хорошо вспомнить, что популярный вариант предложения Пифагора, где квадраты размещаются по краям треугольников, заключался в размещении равносторонних треугольников по краям треугольников: не могли бы вы сделать с равносторонними треугольниками то же, что вы могли бы сделать с квадратами? например, в случае прямоугольных треугольников, разрезать треугольник на гипотенузе на треугольники на ногах? Подобно тому, как авторы неоднократно возвращались, чтобы рассмотреть другие свойства ветряной мельницы Евклида или кресла невесты, эквивалентная фигура с равносторонними треугольниками, заменяющими квадраты, привлекла - и получила - внимание. Пожалуй, самой грандиозной попыткой в этом отношении является «Вопрос-приз» Уильяма Мейсона в «Дневнике леди и джентльмена» за 1864 год, решения и комментарии для которого в следующем году занимают около пятнадцати страниц. К тому времени это почтенное место - начиная с 1704 г. для Дамского дневника и в 1741 г. для Дневника джентльмена - было на последнем издыхании, но проблемы такого рода продолжались в Educational Times вплоть до начала 1900-х годов.
Дублинские проблемы, октябрь 1820 г.
В статье по геометрии, подготовленной на второе утро после подачи документов для кандидатов на золотую медаль на общем экзамене Дублинского университета в октябре 1820 года, возникают следующие три проблемы.
- Вопрос 10. Таким образом, на сторонах данного треугольника построены три равносторонних треугольника A, B, D, а прямые, соединяющие их центры, C, C ', C "образуют равносторонний треугольник. [На прилагаемой диаграмме показаны размещенные равносторонние треугольники внешне.]
- Вопрос 11. Если три равносторонних треугольника построены, как на последнем рисунке, линии, соединяющие их центры, также образуют равносторонний треугольник. [На прилагаемой диаграмме равносторонние треугольники показаны внутрь.]
- Вопрос 12. Исследовать связь между площадью данного треугольника и площадями этих двух равносторонних треугольников.
Эти проблемы записаны в
- Дублинские задачи: сборник вопросов, предлагаемых кандидатам на золотую медаль на общих экзаменах с 1816 по 1822 год включительно. За ним следует отчет о экзамене на стипендию в 1823 г. (G. and WB Whittaker, Лондон, 1823 г.) [11]
Вопрос 1249 в Дневнике Джентльмена; или «Математический репозиторий за 1829 год» (появившийся в конце 1828 года) поднимает эту тему, а решения появляются в выпуске на следующий год. Один из решателей, Т.С. Дэвис, затем обобщил результат вопроса 1265 в том же году, представив свое собственное решение в следующем году, опираясь на статью, которую он уже опубликовал в Philosophical Magazine в 1826 году. В этом материале нет перекрестных ссылок на то, что описано выше. Однако на проблемных страницах популярных альманахов есть несколько элементов, представляющих родственный интерес, как начиная с середины 1750-х годов (Мосс), так и до середины 1860-х годов (Мейсон), как упоминалось выше.
Так случилось, что имя Наполеона упоминается в связи с этим результатом не в меньшей степени, чем в энциклопедии Чемберса в 1867 году (том IX, ближе к концу статьи о треугольниках).
- Еще одно замечательное свойство треугольников, известное как проблема Наполеона, заключается в следующем: если в каком-либо треугольнике описаны три равносторонних треугольника и центры тяжести этих трех соединены, образованный таким образом треугольник будет равносторонним, а его центр тяжести совпадает с что из исходного треугольника.
Но затем результат с доказательством появился в учебнике по крайней мере к 1834 году ( Евклид Джеймса Томсона , стр. 255–256 [12] ). В примечании (стр. 372) Томасон добавляет:
- Я не встречал этого любопытного предложения, за исключением Дублинских проблем, опубликованных в 1823 году, где оно вставлено без демонстрации.
Во втором издании (1837 г.) Томсон расширил примечание, предоставив доказательство от бывшего студента из Белфаста:
- Ниже приводится набросок очень простого и точного доказательства, сделанного мистером Адамом Д. Глазго из Белфаста, моим бывшим учеником с большим вкусом и талантом к математическим занятиям:
Таким образом, Томсон, похоже, не осведомлен о появлении проблемы в Дневнике леди за 1825 год или Дневнике джентльмена за 1829 год (точно так же, как Дж. С. Маккей должен был оставаться в неведении о последнем появлении, цитируя Дублинские проблемы, отмечая при этом бывший; у читателей American Mathematical Monthly есть указатель на вопрос 1249 в "Дневнике джентльмена" от Р. К. Арчибальда в номере за январь 1920 г., стр. 41, сл. 7, хотя первое опубликованное решение в Ladies Diary за 1826 г. показывает, что даже Арчибальд не был всеведущ в вопросах приоритета).
Общий центр
Центры как внутреннего, так и внешнего треугольника Наполеона совпадают с центром тяжести исходного треугольника. Это совпадение было отмечено в энциклопедии Чемберса в 1867 году, как цитировалось выше. Запись там без подписи. П.Г. Тейт , в то время профессор естественной философии в Эдинбургском университете, указан среди авторов, но Дж. Ю Хиллхаус, преподаватель математики также в Эдинбургском университете, появляется среди других литературных джентльменов, связанных более или менее продолжительное время с штатным персоналом Эдинбургского университета. Энциклопедия. Однако, в разделе 189 (е) Элементарный Трактат о кватернионах , [13] и в 1867 году, Тейт рассматривает проблему (по сути, повторив замечания Дэвиса в Дневнике Джентльмена в 1831 году по отношению к вопросу 1265, но теперь в установка кватернионов):
- Если перпендикуляры возводятся наружу в средних точках сторон треугольника, каждый из которых пропорционален соответствующей стороне, средняя точка их концов совпадает с точкой исходного треугольника. Найдите отношение каждого перпендикуляра к половине соответствующей стороны старого треугольника, при которой новый треугольник может быть равносторонним.
Тейт заключает, что средние точки равносторонних треугольников, воздвигнутых снаружи на сторонах любого треугольника, образуют равносторонний треугольник. Обсуждение сохраняется в последующих изданиях 1873 и 1890 годов, а также в его дальнейшем « Введении в кватернионы» [14], сделанном совместно с Филиппом Келландом в 1873 году.
Площади и стороны внутреннего и внешнего треугольников Наполеона
Площадь внутреннего треугольника Наполеона треугольника площадью является
где a , b и c - длины сторон исходного треугольника, с равенством только в том случае, когда исходный треугольник является равносторонним, по неравенству Вайтценбека . Однако с алгебраической точки зрения [15] внутренний треугольник является «ретроградным», и его алгебраическая площадь является отрицательной для этого выражения. [16]
Площадь внешнего треугольника Наполеона составляет [17]
Аналитически можно показать [6], что каждая из трех сторон внешнего треугольника Наполеона имеет длину
Связь между двумя последними уравнениями заключается в том, что площадь равностороннего треугольника равна квадрату стороны, умноженной на
Обобщения
Теорема Петра – Дугласа – Неймана.
- Если равнобедренные треугольники с углами при вершинах 2kπ / n воздвигнуты по сторонам произвольного n-угольника A 0 , и если этот процесс повторяется с n-угольником, образованным свободными вершинами треугольников, но с другим значением k , и так далее, пока не будут использованы все значения 1 ≤ k ≤ n - 2 (в произвольном порядке), тогда образуется правильный n-угольник A n − 2 , центроид которого совпадает с центроидом A 0 . [18]
Теорема Наполеона-Барлотти
Центры правильных n-угольников, построенные по сторонам n-угольника P, образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда P является аффинным образом правильного n-угольника. [19] [20]
Смотрите также
- Наполеон очки
- Проблема Лемуана
- Проблема Наполеона
Заметки
- ^ Грюнбаум 2012
- ^ "Теорема Наполеона - от Wolfram MathWorld" . Mathworld.wolfram.com. 2013-08-29 . Проверено 6 сентября 2013 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Спиральное подобие» . MathWorld .
- ^ Для наглядной демонстрации см . Теорему Наполеона о двух поворотах в узле .
- ^ Косетер, ИМП и Greitzer, Сэмюэл Л. 1967. Геометрия Ревиситед , страницы 60-63.
- ^ а б в «Теорема Наполеона» . MathPages.com .
- ^ Александр Богомольный . «Доказательство №2 (аргумент симметризацией)» . Cut-the-knot.org . Проверено 6 сентября 2013 .
- ^ Кавалларо, В.Г. (1949), «По историческим данным, относящимся к Наполеоне Буонапарту и Фрэнку Морли», Archimede , 1 : 286–287
- ^ Скриба, Кристоф Дж (1981). "Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen?" . Historia Mathematica . 8 (4): 458–459. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (81) 90054-9 .
- ^ Файфофер (1911), Elementi di Geometria (17-е изд.), Венеция, стр. 186, но историческая справка цитирует разные издания в разные годы. Это ссылка из ( Wetzel 1992 ).
- ^ http://solo.bodleian.ox.ac.uk/primo_library/libweb/action/dlDisplay.do?vid=OXVU1&docId=oxfaleph014134656 http://dbooks.bodleian.ox.ac.uk/books/PDFs/590315941. pdf [22,8 МБ]
- ↑ Первые шесть, одиннадцатая и двенадцатая книги Элементов Евклида; с примечаниями и иллюстрациями, а также приложение в пяти книгах (Адам и Чарльз Бэк, Эдинбург; Лонгман, Рис и компания, Лондон; Джон Камминг, Дублин; Симмс и Макинтайр, Белфаст; Джеймс Браш и компания, Глазго, 1834) https : //books.google.com/books? id = dQBfAAAAcAAJ
- ^ Clarendon Press, Oxford, 1867, стр. 133--135
- ^ Macmillan, London, 1873, стр. 42--43
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Внутренний треугольник Наполеона». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/InnerNapoleonTriangle.html
- ^ Косетер, ИМП и Greitzer, Сэмюэл Л. 1967. Геометрия Revisited , стр 64.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Внешний треугольник Наполеона». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/OuterNapoleonTriangle.html
- ^ «Изогональные призматоиды» . Дискретная и вычислительная геометрия . 18 : 13–52. DOI : 10.1007 / PL00009307 .
- ^ A. Barlotti, Intorno ad una generalizzazione di un noto teorema relativo al triangolo, Boll. ООН. Мат. Ital. 7 нет. 3 (1952) 182–185.
- ^ Una proprietà degli n-agoni che si ottengono transformando in una affinità un n-agono regolare, Boll. ООН. Мат. Ital. 10 шт. 3 (1955) 96–98.
Рекомендации
- Кокстер, HSM ; Грейцер, SL (1967). Возвращение к геометрии . Новая математическая библиотека . 19 . Вашингтон, округ Колумбия : Математическая ассоциация Америки . С. 60–65. ISBN 978-0-88385-619-2. Zbl 0166.16402 .
- Грюнбаум, Бранко (2012), «Теорема Наполеона - это действительно теорема Наполеона?», American Mathematical Monthly , 119 (6): 495–501, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.119.06.495 , Zbl 1264.01010
- Ветцель, Джон Э. (апрель 1992 г.). "Обращения теоремы Наполеона" (PDF) . Американский математический ежемесячник . 99 (4): 339–351. DOI : 10.2307 / 2324901 . Zbl 1264.01010 . Архивировано из оригинального (PDF) 29 апреля 2014 года.
Внешние ссылки
- Теорема Наполеона и обобщения в разорванном узле
- Чтобы увидеть строительство , в инструменпоче
- Теорема Наполеона Джея Варендорфа, Демонстрационный проект Вольфрама .
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Наполеона» . MathWorld .
- Теорема Наполеона и некоторые обобщения, вариации и обращения в Dynamic Geometry Sketches
- Теорема Наполеона, два простых доказательства
- Бесконечные шестиугольник последовательностях на треугольнике (обобщение теоремы Наполеона) по Alvy Рэй Смит .
Эта статья включает материал из теоремы Наполеона о PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .