Ньюмен-Пенроуз ( НП ) формализм [1] [2] представляет собой набор обозначений , разработанный Ezra Т. Ньюмен и Роджер Пенроуз для общей теории относительности (ОТО). Их нотация - это попытка трактовать общую теорию относительности в терминах спинорной нотации, которая вводит сложные формы обычных переменных, используемых в ОТО. Формализм НП сам по себе является частным случаем тетрад формализма , [3]где тензоры теории проецируются на полный векторный базис в каждой точке пространства-времени. Обычно этот векторный базис выбирается, чтобы отразить некоторую симметрию пространства-времени, что приводит к упрощенным выражениям для физических наблюдаемых. В случае формализма NP выбранный векторный базис представляет собой нулевую тетраду : набор из четырех нулевых векторов - двух действительных и комплексно-сопряженной пары. Два реальных члена асимптотически направлены радиально внутрь и радиально наружу, и формализм хорошо приспособлен для рассмотрения распространения излучения в искривленном пространстве-времени. В вейлевских скалярах , полученные из тензора Вейля , часто используется. В частности, можно показать, что один из этих скаляров -в соответствующем кадре - кодирует исходящее гравитационное излучение асимптотически плоской системы. [4]
Ньюман и Пенроуз ввели следующие функции в качестве первичных величин, используя эту тетраду: [1] [2]
Двенадцать комплексных спиновых коэффициентов (в трех группах), которые описывают изменение тетрады от точки к точке: .
Пять сложных функций, кодирующих тензоры Вейля в тетрадном базисе: .
Десять функций, кодирующих тензоры Риччи в тетрадном базисе: (настоящий); (сложный).
Во многих ситуациях - особенно в алгебраически особых пространствах-времени или вакуумных пространствах-времени - формализм Ньюмана – Пенроуза резко упрощается, поскольку многие функции стремятся к нулю. Это упрощение позволяет более легко доказывать различные теоремы, чем использование стандартной формы уравнений Эйнштейна.
В этой статье мы будем использовать только в тензорной , а не спинорную версии NP формализма, поскольку бывший легче понять и более популярным в соответствующих документах. Можно сослаться на исх. [5] для единой формулировки этих двух версий.
Нулевая тетрада и знаковое соглашение
Формализм разработан для четырехмерного пространства-времени с метрикой лоренцевой сигнатуры. В каждой точке вводится тетрада (набор из четырех векторов). Первые два вектора, а также являются просто парой стандартных (реальных) нулевых векторов, таких что. Например, мы можем мыслить в терминах сферических координат и брать быть исходящим нулевым вектором, и быть входящим нулевым вектором. Затем создается комплексный нулевой вектор путем объединения пары вещественных ортогональных единичных пространственно-подобных векторов. В случае сферических координат стандартный выбор:
Комплексное сопряжение этого вектора образует четвертый элемент тетрады.
Для формализма NP используются два набора соглашений о сигнатуре и нормализации: а также . Первый является оригинальным, который был принят при разработке NP-формализма [1] [2] и широко использовался [6] [7] в физике черных дыр, гравитационных волнах и различных других областях общей теории относительности. Однако именно последнее соглашение обычно используется в современном исследовании черных дыр с квазилокальных перспектив [8] (таких как изолированные горизонты [9] и динамические горизонты [10] [11] ). В этой статье мы будем использоватьдля систематического обзора формализма NP (см. также ссылки [12] [13] [14] ).
Важно отметить, что при переключении с к , определения спиновых коэффициентов, скаляры Вейля-НП и скаляры Риччи-NP нужно менять свои знаки; таким образом, уравнения Эйнштейна-Максвелла можно оставить без изменений.
В формализме NP комплексная нулевая тетрада содержит два действительных нулевых (со) вектора и два комплексных нулевых (ко) вектора . Будучи нулевым (со) векторами, сами -нормализации естественно исчезает,
,
поэтому следующие две пар поперечных -нормализаций приняты
в то время как сокращения между двумя парами также исчезают,
.
Здесь индексы можно поднимать и опускать по глобальной метрике которые, в свою очередь, могут быть получены через
Величины НП и тетрадные уравнения
Четыре ковариантных производных оператора
В соответствии с практикой формализма использования различных неиндексированных символов для каждого компонента объекта, оператор ковариантной производной выражается четырьмя отдельными символами () , Которые называют направленный ковариантную производной оператора для каждого направления тетрады. Учитывая линейную комбинацию тетрадных векторов,, оператор ковариантной производной в направление .
Операторы определены как
которые сводятся к при действии на скалярные функции.
Двенадцать спиновых коэффициентов
В формализме NP вместо использования индексных обозначений, как в ортогональных тетрадах , каждый коэффициент вращения Риччив нулевой тетраде присваивается строчная греческая буква, которая составляет 12 комплексных спиновых коэффициентов (в трех группах),
Коэффициенты спина являются основными величинами в формализме NP, с помощью которых все другие величины NP (как определено ниже) могут быть вычислены косвенно с использованием уравнений поля NP. Таким образом, NP-формализм иногда также называют формализмом спиновых коэффициентов .
Шестнадцать направленные общековариантные производные тетрады векторов иногда называют уравнение транспорта / распространения, [ править ] , возможно потому , что производные равны нуль , когда вектор тетрады параллельно размножает или транспортироваться в направлении производной оператора.
Эти результаты в этих точных обозначениях даны О.Доннеллом: [5] : 57–58 (3.220)
Толкование из а также
Два уравнения для ковариантной производной реального вектора нулевой тетрады в его собственном направлении указывают, касается ли вектор геодезической, и если да, то имеет ли геодезическая аффинный параметр.
Нулевой касательный вектор касается аффинно параметризованной нулевой геодезической, если , то есть если вектор не изменяется при параллельном распространении или транспортировке в его собственном направлении. [15] : 41 (3.3.1)
показывает, что касается геодезической тогда и только тогда, когда , и касается аффинно параметризованной геодезической, если дополнительно . По аналогии, показывает, что является геодезическим тогда и только тогда, когда , и имеет аффинную параметризацию, когда .
(Комплексные нулевые тетрадные векторы а также пришлось бы разделить на пространственноподобные базисные векторы а также прежде чем спросить, касаются ли один или оба из них пространственноподобных геодезических.)
Примечание: (i) Приведенные выше уравнения можно рассматривать либо как следствия коммутаторов, либо как комбинации уравнений переноса; (ii) В этих подразумеваемых уравнениях векторы можно заменить ковекторами, и уравнения остаются в силе.
В комплексе нулевой тетрады, Риччи тождества приводят к следующим уравнениям поля NP связывающих коэффициенты спиновые, Вейль-NP и Риччи-NP скаляры (напомним , что в ортогональной тетрады, коэффициенты вращения Риччи будут соблюдать первую и вторую структурные уравнения Картана ), [ 5] [13]
Эти уравнения в различных обозначениях можно найти в нескольких текстах. [3] : 46–47 (310 (a) - (r)) [13] : 671–672 (E.12) Обозначения у Фролова и Новикова [13] идентичны и набор совпадает попиксельно. (Похоже, что Springer использует аналогичный пакет LaTex).
Кроме того, скаляры Вейля-НП и скаляры Риччи-NP могут быть вычислены косвенно из приведенных выше уравнений поля NP после получения спиновых коэффициентов, а не напрямую с использованием их определений.
Скаляры Максвелла – НП, уравнения Максвелла в формализме НП
Шесть независимых компонентов 2-формы Фарадея-Максвелла (т. Е. Тензора напряженности электромагнитного поля )может быть закодирован в три комплексных скаляра Максвелла-NP [12]
и, следовательно, восемь реальных уравнений Максвелла а также (в виде ) можно преобразовать в четыре сложных уравнения:
со скалярами Ricci-NP связанные со скалярами Максвелла [12]
Следует отметить, что дополнительное уравнение действительно только для электромагнитных полей; например, в случае полей Янга-Миллса будет где являются скалярами Янга-Миллса-НП. [16]
Подводя итог, вышеупомянутые уравнения переноса, уравнения поля NP и уравнения Максвелла-NP вместе составляют уравнения Эйнштейна-Максвелла в формализме Ньюмана-Пенроуза.
Применение формализма NP к полю гравитационного излучения
Скаляр Вейля был определен Ньюманом и Пенроузом как
(обратите внимание, однако, что общий знак произвольный , и что Ньюман и Пенроуз работали с метрической сигнатурой, подобной времени). В пустом пространстве уравнения поля Эйнштейна сводятся к. Из определения тензора Вейля мы видим, что это означает, что он равен тензору Римана ,. Мы можем сделать стандартный выбор для тетрады на бесконечности:
В калибровке без поперечных следов простой расчет показывает, что линеаризованные гравитационные волны связаны с компонентами тензора Римана следующим образом:
предполагая распространение в направление. Комбинируя их и используя определение выше мы можем написать
Вдали от источника, в почти плоском пространстве, поля а также кодируют все о гравитационном излучении, распространяющемся в заданном направлении. Таким образом, мы видим, что кодирует в едином сложном поле все, что касается (исходящих) гравитационных волн.
Излучение от конечного источника
Используя формализм генерации волн, резюмированный Торном [17], мы можем довольно компактно записать поле излучения в терминах массового мультиполя , токового мультиполя и сферических гармоник, взвешенных по спину :
Здесь верхние индексы с префиксом указывают производные по времени. То есть мы определяем
Компоненты а также - массовый и текущий мультиполь соответственно. - сферическая гармоника спин-веса -2.
Смотрите также
Координаты светового конуса
Формализм GHP
Тетрадный формализм
Теорема Гольдберга – Сакса.
Заметки
Рекомендации
^ a b c Эзра Т. Ньюман и Роджер Пенроуз (1962). «Подход к гравитационному излучению методом спиновых коэффициентов». Журнал математической физики . 3 (3): 566–768. Bibcode : 1962JMP ..... 3..566N . DOI : 10.1063 / 1.1724257 . Оригинальная статья Ньюмана и Пенроуза, в которой вводится формализм и используется его для вывода примеров результатов.
^ a b c Эзра Т. Ньюман, Роджер Пенроуз. Исправления: подход к гравитационному излучению методом спиновых коэффициентов . Журнал математической физики, 1963, 4 (7): 998.
^ а бЧандрасекхар, С. (1998). Математическая теория черных дыр (изд. Oxford Classics Series). Издательство Оксфордского университета. п. 40. ISBN 0-19850370-9. Проверено 31 мая 2019 . Формализм Ньюмена – Пенроуза представляет собой тетрадный формализм со специальным выбором базисных векторов.
^ Абхай Аштекар, Бадри Кришнан. Динамические горизонты и их свойства . Physical Review D, 2003, 68 (10): 104030. [arxiv.org/abs/gr-qc/0308033 arXiv: gr-qc / 0308033v4]
^ a b c Джереми Брансом Гриффитс, Иржи Подольски. Точное пространство-время в общей теории относительности Эйнштейна . Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2009. Глава 2.
^ a b c d e Валерий П. Фролов, Игорь Д Новиков. Физика черной дыры: основные концепции и новые разработки . Берлин: Springer, 1998. Приложение E.
^ Аштекар, Стивен Fairhurst, Бадри Кришнан. Изолированные горизонты: гамильтонова эволюция и первый закон . Physical Review D, 2000, 62 (10): 104025. Приложение B. gr-qc / 0005083
^Роберт М. Уолд (1984). Общая теория относительности .
^ ET Newman, KP Tod. Асимптотически плоское пространство-время , Приложение A.2. In A Held (редактор): Общая теория относительности и гравитации: сто лет спустя после рождения Альберта Эйнштейна . Том (2), стр. 27. Нью-Йорк и Лондон: Plenum Press, 1980.
^Торн, Кип С. (апрель 1980 г.). «Мультипольные разложения гравитационного излучения» (PDF) . Ред. Мод. Phys . 52 (2): 299–339. Bibcode : 1980RvMP ... 52..299T . DOI : 10.1103 / RevModPhys.52.299 . Краткое изложение математического аппарата, используемого в литературе по гравитационному излучению.
Уолд, Роберт (1984). Общая теория относительности . Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-87033-2. Уолд трактует более сжатую версию формализма Ньюмана – Пенроуза в терминах более современных спинорных обозначений.
С.В. Хокинг и Г.Ф.Р. Эллис (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-226-87033-2. Хокинг и Эллис используют формализм при обсуждении конечного состояния коллапсирующей звезды.