Неравенство Нётер

---

В математике неравенство Нётер , названное в честь Макса Нётера , — это свойство компактных минимальных комплексных поверхностей , которое ограничивает топологический тип лежащего в основе топологического 4-многообразия . В более общем смысле это справедливо для минимальных проективных поверхностей общего типа над алгебраически замкнутым полем.

Пусть X — гладкая минимальная проективная поверхность общего типа , определенная над алгебраически замкнутым полем (или гладкая минимальная компактная комплексная поверхность общего типа) с каноническим дивизором K = − c ₁ ( X ), и пусть p _g = h ⁰ ( K ) — размерность пространства двух голоморфных форм, тогда

Для комплексных поверхностей альтернативная формулировка выражает это неравенство через топологические инварианты лежащего в основе вещественно-ориентированного четырехмерного многообразия. Поскольку поверхность общего типа является кэлеровой поверхностью, размерность максимального положительного подпространства в форме пересечения на вторых когомологиях равна b ₊ = 1 + 2 p _g . Более того, по сигнатурной теореме Хирцебруха c ₁ ² ( X ) = 2 e  + 3 σ , где e = c ₂ ( X ) — топологическая эйлерова характеристика , а σ = b ₊  −  b ₋ сигнатура формы пересечения . Следовательно, неравенство Нётер также можно выразить как

где q — неровность поверхности , что приводит к несколько более слабому неравенству, которое также часто называют неравенством Нётер:

Из условия минимальности общего типа следует, что K ² > 0. Таким образом, мы можем предположить, что p _g > 1, поскольку в противном случае неравенство является автоматическим. В частности, мы можем предположить, что существует эффективный дивизор D, представляющий K . Тогда мы имеем точную последовательность

так${\displaystyle p_{g}-1\leq h^{0}(K|_{D}).}$

---