Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В экономике , невыпуклость относится к нарушениям предположений выпуклости элементарных экономическим . Учебники по базовой экономике сосредоточены на потребителях с выпуклыми предпочтениями (которые не предпочитают крайности промежуточным значениям) и выпуклых бюджетных наборах, а также на производителях с выпуклыми производственными наборами ; для выпуклых моделей прогнозируемое экономическое поведение хорошо понятно. [1] [2] Когда предположения о выпуклости нарушаются, тогда многие из хороших свойств конкурентных рынков не обязательно должны выполняться: таким образом, невыпуклость связана с рыночными сбоями , [3] [4] где спрос и предложениеотличаются или где рыночное равновесие может быть неэффективным . [1] [4] [5] [6] [7] [8] Невыпуклые экономики изучаются с помощью негладкого анализа , который является обобщением выпуклого анализа . [8] [9] [10] [11]

Спрос у многих потребителей [ править ]

Если набор предпочтений невыпуклый , то некоторые цены определяют линию бюджета, которая поддерживает две отдельные оптимальные корзины. Например, мы можем представить, что для зоопарков лев стоит столько же, сколько орел, и, кроме того, бюджета зоопарка хватает на одного орла или одного льва. Мы также можем предположить, что смотритель зоопарка считает любое животное равноценным. В этом случае зоопарк покупал либо одного льва, либо одного орла. Конечно, современный зоотехник не захочет покупать половину орла и половину льва. Таким образом, предпочтения хранителя зоопарка невыпуклые: хранитель зоопарка предпочитает иметь любое животное, а не любую строго выпуклую их комбинацию.

Когда предпочтения потребителей имеют вогнутость, линейные бюджеты не обязательно должны поддерживать равновесие : потребители могут переключаться между двумя отдельными распределениями (равной полезности ).

Когда набор предпочтений потребителя невыпуклый, то (для некоторых цен) потребительский спрос не связан ; Отключенный спрос подразумевает некоторое прерывистое поведение потребителя, как обсуждал Гарольд Хотеллинг :

Если рассматривать кривые безразличия для покупок как имеющие волнистый характер, выпуклые к исходной точке в одних регионах и вогнутые в других, мы вынуждены прийти к выводу, что только части, выпуклые к исходной точке, можно рассматривать как имеющие какое-либо значение. , поскольку остальные по сути ненаблюдаемы. Их можно обнаружить только по разрывам, которые могут возникать в спросе при изменении соотношений цен, что приводит к резкому скачку точки касания через пропасть при повороте прямой линии. Но, хотя такие разрывы могут указывать на существование пропастей, они никогда не могут измерить их глубину. Вогнутые части кривых безразличия и их многомерные обобщения, если они существуют, должны навсегда остаться в неизмеримой безвестности. [12]

Трудности изучения невыпуклых предпочтений подчеркивали Герман Вольд [13] и еще раз Пол Самуэльсон , который писал, что невыпуклости «окутаны вечной тьмой ...» [14], согласно Диверту. [15]

Когда допущения о выпуклости нарушаются, тогда многие из хороших свойств конкурентных рынков не обязательно должны выполняться: таким образом, невыпуклость связана с рыночными сбоями , когда спрос и предложение различаются или когда рыночное равновесие может быть неэффективным . [1] Невыпуклые предпочтения были освещены с 1959 по 1961 год в серии статей в «Журнале политической экономии»  ( JPE ). Основными участниками были Фаррелл , [16] Батор, [17] Купманс , [18] и Ротенберг. [19]В частности, в статье Ротенберга обсуждалась приближенная выпуклость сумм невыпуклых множеств. [20] Эти документы JPE стимулировали публикацию статьи Ллойда Шепли и Мартина Шубика , в которой рассматривались выпуклые предпочтения потребителей и вводилась концепция «приблизительного равновесия». [21] Документы JPE и Шепли-Шубика повлияли на другое понятие «квазиравновесия», созданное Робертом Ауманом . [22] [23]

Невыпуклые множества были включены в теории общего экономического равновесия. [24] Эти результаты описаны в учебниках дипломированный уровня в микроэкономике , [25] общего равновесия теории, [26] теории игр , [27] математическая экономика , [28] и прикладной математики (для экономистов). [29] Шепли-Фолкман лемма устанавливает , что не-выпуклостей совместимы с приближенными равновесий на рынках с большим количеством потребителей; эти результаты также применимы к производственной экономике с большим количеством мелких фирм . [30]

Поставки у нескольких производителей [ править ]

Невыпуклость важна при олигополиях и особенно при монополиях . [8] Озабоченность крупные производители эксплуатируют рыночную власть инициировала литературу о неприменении выпуклых множеств, когда Сраффа писал о на фирмах с увеличением отдачи от масштаба в 1926 году, [31] , после чего Хотеллинг писал о предельной стоимости ценах в 1938 году [ 32] И Сраффа, и Хотеллинг осветили рыночную власть производителей без конкурентов, явно стимулируя литературу о предложениях в экономике. [33]

Современная экономика [ править ]

Недавние исследования в области экономики признали невыпуклость в новых областях экономики. В этих областях невыпуклость связана с рыночными сбоями , когда равновесие не обязательно должно быть эффективным или где не существует конкурентного равновесия, потому что спрос и предложение различаются. [1] [4] [5] [6] [7] [8] Невыпуклые множества возникают также с экологическими благами (и другими внешними факторами ), [6] [7] и с рыночными сбоями [3] и государственной экономикой . [5] [34] Невыпуклость возникает также приинформационная экономика , [35] и с фондовыми рынками [8] (и другими неполными рынками ). [36] [37] Такие приложения продолжают мотивировать экономистов изучать невыпуклые множества. [1] В некоторых случаях нелинейное ценообразование или переговоры могут преодолеть неудачи рынков с помощью конкурентоспособных цен; в других случаях регулирование может быть оправдано.

Оптимизация с течением времени [ править ]

См. Также: уравнение Беллмана , оптимальное управление и динамическое программирование.

Ранее упомянутые приложения касаются невыпуклостей в конечномерных векторных пространствах , где точки представляют собой товарные пучки. Однако экономисты также рассматривают динамические проблемы оптимизации во времени, используя теории дифференциальных уравнений , динамических систем , случайных процессов и функционального анализа : экономисты используют следующие методы оптимизации:

  • вариационное исчисление по Фрэнку П. Рэмси [38] и Гарольду Хотеллингу ; [39]
  • динамическое программирование после Ричарда Беллмана и Рональда Ховарда; [40] [41] и
  • теория управления . [42]

В этих теориях регулярные задачи включают выпуклые функции, определенные на выпуклых областях, и эта выпуклость позволяет упростить методы и экономически значимую интерпретацию результатов. [43] [44] [45] В экономике, динамическое программирование использовалось Мартин Бекман и Ричард Ф. Мут для работы по теории запасов и теории потребления . [46] Роберт С. Мертон использовал динамическое программирование в своей статье 1973 года о модели межвременного ценообразования капитальных активов . [47] (См. Также задачу о портфеле Мертона.). В модели Мертона инвесторы выбирают между доходом сегодня и будущим доходом или приростом капитала, и их решение находится с помощью динамического программирования. Стоки, Лукас и Прескотт используют динамическое программирование для решения проблем экономической теории, связанных со случайными процессами. [48] Динамическое программирование использовалось для оптимального экономического роста , добычи ресурсов , задач принципала-агента , государственных финансов , инвестиций в бизнес , ценообразования на активы , предложения факторов производства и организации производства . Юнгквист и Сарджент применяют динамическое программирование для изучения множества теоретических вопросов денежно-кредитной политики., фискальная политика , налогообложение , экономический рост, теория поиска и экономика труда . [49] Dixit & Pindyck использовали динамическое программирование для составления бюджета капиталовложений . [50] Для динамических задач невыпуклость также связана с провалами рынка [51], как и для задач с фиксированным временем. [52]

Негладкий анализ [ править ]

Экономисты все чаще изучают невыпуклые множества с помощью негладкого анализа , который обобщает выпуклый анализ . Выпуклый анализ сосредотачивается на выпуклых множествах и выпуклых функциях, для которых он дает сильные идеи и ясные результаты, но он не подходит для анализа невыпуклостей, таких как возрастающая отдача от масштаба. [53] «Non-выпуклости в [как] производство и потребление ... требуются математические инструменты , которые выходят за рамками выпуклости, и дальнейшее развитию пришлось ждать изобретение негладкого исчисления»: К примеру, Кларк «s дифференциальное исчисления для Липшицы непрерывные функции , использующие теорему Радемахера и описываемые формулойRockafellar & Wets (1998) [54] и Мордухович (2006) , [9] согласно Хану (2008) . [10] Браун (1995 , стр. 1967–1968) писал, что «основным методологическим нововведением в анализе общего равновесия фирм с правилами ценообразования» было «введение методов негладкого анализа как [синтеза] глобальный анализ (дифференциальная топология) и выпуклый анализ ». Согласно Брауну (1995 , стр. 1966) , «негладкий анализ расширяет локальную аппроксимацию многообразий касательными плоскостями [и расширяет] аналогичное приближение выпуклых множеств касательными конусами к множествам», которые могут быть негладкими или негладкими. выпуклый.[11] [55]

См. Также [ править ]

  • Выпуклость в экономике
  • Лемма Шепли – Фолкмана.

Заметки [ править ]

  1. ^ а б в г е Мас-Колелл, А. (1987). «Невыпуклость» (PDF) . В Итуэлле, Джон; Милгейт, Мюррей; Ньюман, Питер (ред.). Новый Палгрейв: экономический словарь (первое издание). Пэлгрейв Макмиллан. С. 653–661. DOI : 10.1057 / 9780230226203.3173 . ISBN 9780333786765.
  2. ^ Грин, Джерри; Хеллер, Уолтер П. (1981). «1 Математический анализ и выпуклость с приложениями к экономике». In Arrow, Кеннет Джозеф ; Интрилигатор, Майкл Д. (ред.). Справочник по математической экономике, Том  I. Справочники по экономике. 1 . Амстердам: Издательство Северной Голландии, стр. 15–52. DOI : 10.1016 / S1573-4382 (81) 01005-9 . ISBN 0-444-86126-2. Руководство по ремонту  0634800 .
  3. ^ a b Салани, Бернар (2000). «7 невыпуклостей». Микроэкономика сбоев рынка (английский перевод французской Microéconomie (1998) : Les défaillances du marché (Economica, Paris) ed.). Кембридж, Массачусетс: MIT Press. С. 107–125. ISBN 0-262-19443-0.
  4. ^ a b c Salanié (2000 , с. 36)
  5. ^ a b c Страницы 63–65: Лаффон, Жан-Жак (1988). «3 невыпуклости». Fondements de L'economie Publique [ Основы государственной экономики ]. Массачусетский технологический институт. ISBN 0-262-12127-1.
  6. ^ a b c Старрет, Дэвид А. (1972). «Фундаментальные невыпуклости в теории экстерналий». Журнал экономической теории . 4 (2). С. 180–199. DOI : 10.1016 / 0022-0531 (72) 90148-2 . Руководство по ремонту 0449575 . 
  7. ^ a b c Страницы 106, 110–137, 172 и 248: Baumol, William J .; Oates, Wallace E .; при участии В. С. Бавы и Дэвида Ф. Брэдфорда (1988). «8 Вредных экстерналий и невыпуклостей в постановке». Теория экологической политики (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. с. x + 299. DOI : 10.2277 / 0521311128 . ISBN 978-0-521-31112-0.
  8. ^ a b c d e Страница 1: Гезнери, Роджер (1975). «Оптимальность по Парето в невыпуклых экономиках». Econometrica . 43 . С. 1–29. DOI : 10.2307 / 1913410 . JSTOR 19134 10 . Руководство по ремонту 0443877 .  ( "Опечатка". Эконометрика . 43 (5-6) 1975. р 1010... DOI : 10,2307 / 1911353 . JSTOR 1911353 . MR 0443878 .  )
  9. ^ a b Глава 8 «Приложения к экономике», особенно Раздел 8.5.3 «Ввод невыпуклости» (и оставшаяся часть главы), особенно страница 495:

    Мордухович, Борис С. (2006). Вариационный анализ и обобщенное дифференцирование  II : Приложения . Серия Grundlehren (Основные принципы математических наук). 331 . Springer. стр. i – xxii и 1–610. Руководство по ремонту  2191745 .

  10. ^ а б Хан, М. Али (2008). «Идеальная конкуренция» . В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э., изд. (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 354–365. DOI : 10.1057 / 9780230226203.1267 . ISBN 978-0-333-78676-5.
  11. ^ а б Браун, Дональд Дж. (1991). «36 Анализ равновесия с невыпуклыми технологиями». В Хильденбранде, Вернер ; Sonnenschein, Hugo (ред.). Справочник по математической экономике, Том  IV. Справочники по экономике. 1 . Амстердам: Издательство Северной Голландии, стр. 1963–1995 [1966]. DOI : 10.1016 / S1573-4382 (05) 80011-6 . ISBN 0-444-87461-5. Руководство по ремонту  1207195 .
  12. ^ Hotelling (1935 , стр 74): Hotelling, Гарольд (январь 1935). «Спрос функционирует с ограниченным бюджетом». Econometrica . 3 (1): 66–78. DOI : 10.2307 / 1907346 . JSTOR 1907346 . 
  13. ^ Страницы 231 и 239 (рис. 10 a – b: иллюстрация леммы 5 [стр. 240]): Wold, Herman (1943b). «Синтез чистого анализа спроса  II ». Скандинависк Актуариетидскрифт [Скандинавский актуарный журнал] . 26 . С. 220–263. Руководство по ремонту 0011939 . 

    Упражнение 45, стр. 146: Уолд, Герман ; Юрин, Ларс (совместно с Уолдом) (1953). «8 Некоторые дальнейшие применения полей предпочтений (стр. 129–148)». Анализ спроса: исследование по эконометрике . Публикации Wiley по статистике. Нью-Йорк: John Wiley and Sons, Inc. Стокгольм: Альмквист и Викселл. С. xvi + 358. Руководство по ремонту 0064385 . 

  14. ↑ Самуэльсон (1950 , стр. 359–360):

    Следует отметить, что любая точка, в которой кривые безразличия являются скорее выпуклыми, чем вогнутыми, не может наблюдаться на конкурентном рынке. Такие точки окутаны вечной тьмой - если только мы не сделаем нашего потребителя монопсонистом и не позволим ему выбирать между товарами, лежащими на очень выпуклой «кривой бюджета» (по которой он влияет на цену того, что он покупает). В этом случае монопсонии мы все еще могли вывести наклон кривой безразличия человека из наклона наблюдаемого ограничения в точке равновесия.

    Самуэльсон, Пол А. (1950). «Проблема интегрируемости в теории полезности». Economica . Новая серия. 17 . С. 355–385. DOI : 10.2307 / 2549499 . JSTOR  2549499 . Руководство по ремонту  0043436 .Для эпиграфа к своей седьмой главе, «Рынки с невыпуклым предпочтением и производством» , представляющих Starr (1969) , Arrow & Hahn (1971 , стр. 169) процитировать Джон Мильтон описание «х года (невыпуклого) безвыходное положение в Потерянный рай ( Книга II, строки 592–594 ):

    Глубокая пропасть, как сербонское болото.

    Betwixt Damiata и гора Casius старый,

    Где целые армии утонули.

  15. ^ Дайуэрт (1982 , стр 552-553.): Дайуэрт, W. E. (1982). «12 двойственных подходов к микроэкономической теории». In Arrow, Кеннет Джозеф ; Интрилигатор, Майкл Д. (ред.). Справочник по математической экономике, Том  II. Справочники по экономике. 1 . Амстердам: Издательство Северной Голландии, стр. 535–599. DOI : 10.1016 / S1573-4382 (82) 02007-4 . ISBN 978-0-444-86127-6. Руководство по ремонту  0648778 .
  16. ↑ Фаррелл, М. Дж. (Август 1959 г.). «Предположение о выпуклости в теории конкурентных рынков». Журнал политической экономии . 67 (4): 371–391. DOI : 10.1086 / 258197 . JSTOR 1825163 . S2CID 153653926 .  Фаррелл, М. Дж. (Октябрь 1961 г.). «О выпуклости, эффективности и рынках: ответ». Журнал политической экономии . 69 (5): 484–489. DOI : 10.1086 / 258541 . JSTOR  1828538 . S2CID  154398283 . Фаррелл, М. Дж. (Октябрь 1961b). «Предположение о выпуклости в теории конкурентных рынков: возражение». Журнал политической экономии . 69 (5): 493. DOI : 10.1086 / 258544 . JSTOR  1828541 . S2CID  154200859 .
  17. ^ Батор, Фрэнсис М. (октябрь 1961а). «О выпуклости, эффективности и рынках». Журнал политической экономии . 69 (5): 480–483. DOI : 10.1086 / 258540 . JSTOR 1828537 . S2CID 153979194 .   Батор, Фрэнсис М. (октябрь 1961b). «О выпуклости, эффективности и рынках: ответ». Журнал политической экономии . 69 (5): 489. DOI : 10,1086 / 258542 . JSTOR  1828539 . S2CID  154255876 .
  18. ^ Купманс, Тьяллинг С. (октябрь 1961). «Допущения выпуклости, эффективность распределения и конкурентное равновесие». Журнал политической экономии . 69 (5): 478–479. DOI : 10.1086 / 258539 . JSTOR 1828536 . S2CID 154831335 .  

    Купманс (1961 , стр. 478) и другие - например, Фаррелл (1959 , стр. 390–391) и Фаррелл (1961a , стр. 484), Батор (1961 , стр. 482–483) , Ротенберг (1960 , стр. 438), и Старр (1969 , стр. 26) - прокомментировал Koopmans (1957 , стр. 1–126, особенно 9–16 [1.3 Суммирование множеств возможностей], 23–35 [1.6 Выпуклые множества и ценовые последствия оптимальность] и 35–37 [1.7 Роль предположений о выпуклости в анализе]) :

    Тьяллинг К., Купманс (1957). «Размещение ресурсов и система цен». В Koopmans, Tjalling C (ред.). Три очерка о состоянии экономической науки . Нью-Йорк: Книжная компания Макгроу-Хилла. С. 1–126. ISBN 0-07-035337-9.

  19. ↑ Ротенберг (1960 , стр. 447): Ротенберг, Джером (октябрь 1960). «Невыпуклость, агрегирование и оптимальность по Парето». Журнал политической экономии . 68 (5): 435–468. DOI : 10.1086 / 258363 . JSTOR 1830308 . S2CID 154192326 .  ( Ротенберг, Джером (октябрь 1961) "Комментарии невыпуклости".. Журнал политической экономии . 69 (5): 490-492. DOI : 10,1086 / 258543 . JSTOR 1828540 . S2CID 154070123 .  )
  20. ↑ Эрроу и Хан (1980 , стр.182)
  21. ^ Шепли и Шубик (1966 , стр. 806): Шепли, Л. С .; Шубик М. (октябрь 1966 г.). «Квазиядра в монетарной экономике с невыпуклыми предпочтениями» . Econometrica . 34 (4): 805–827. DOI : 10.2307 / 1910101 . JSTOR 1910101 . S2CID 46271184 . Zbl 0154.45303 .   
  22. ^ Aumann (1966 , стр 1-2.): Aumann, Роберт Дж (январь 1966). «Существование конкурентного равновесия на рынках с континуумом трейдеров». Econometrica . 34 (1): 1–17. DOI : 10.2307 / 1909854 . JSTOR 1909854 . Руководство по ремонту 0191623 .   Ауманн (1966) основывается на двух статьях: Ауманн ( 1964 , 1965 )

    Ауманн, Роберт Дж. (Январь – апрель 1964 г.). «Рынки с континуумом трейдеров». Econometrica . 32 (1-2): 39-50. DOI : 10.2307 / 1913732 . JSTOR  1913732 . Руководство по ремонту  0172689 .

    Ауманн, Роберт Дж. (Август 1965 г.). «Интегралы от многозначных функций». Журнал математического анализа и приложений . 12 (1): 1–12. DOI : 10.1016 / 0022-247X (65) 90049-1 . Руководство по ремонту  0185073 .

  23. ^ Принятие выпуклой оболочки невыпуклых предпочтений ранее обсуждалось Уолдом (1943b , стр. 243) и Уолдом и Юрином (1953 , стр. 146), согласно Диверту (1982 , стр. 552).

  24. ^ Страницы 392–399 и стр. 188: Arrow, Kenneth J .; Хан, Фрэнк Х. (1971). «Приложение B: Выпуклые и родственные множества» . Общий конкурентный анализ . Тексты по математике [Учебники по экономике]. Сан-Франциско, Калифорния: Holden-Day, Inc. [Северная Голландия]. С.  375–401 . ISBN 0-444-85497-5. Руководство по ремонту  0439057 .

    Страницы 52–55 с приложениями на страницах 145–146, 152–153 и 274–275: Mas-Colell, Andreu (1985). «1.L Средние наборы». Теория общего экономического равновесия: дифференцируемый подход . Монографии эконометрического общества. Кембридж UP. ISBN 0-521-26514-2. Руководство по ремонту  1113262 .

    Теорема C (6) на странице 37 и приложения на страницах 115-116, 122 и 168: Hildenbrand, Werner (1974). Ядро и равновесие большой экономики . Принстонские исследования в области математической экономики. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. viii + 251. ISBN 978-0-691-04189-6. Руководство по ремонту  0389160 .

  25. ^ Вариан, Хэл Р. (1992). «21.2 Выпуклость и размер» . Микроэкономический анализ (3-е изд.). W. W. Norton & Company. С.  393–394 . ISBN 978-0-393-95735-8. Руководство по ремонту  1036734 .

    Страница 628: Мас – Колелл, Андреу ; Whinston, Michael D .; Грин, Джерри Р. (1995). «17.1 Крупные экономики и невыпуклости». Микроэкономическая теория . Издательство Оксфордского университета. С. 627–630. ISBN 978-0-19-507340-9.

  26. ^ Страница 169 в первом издании: Старр, Росс М. (2011). «8 Выпуклых множеств, теорем об отделении и невыпуклых множеств в  R N ». Теория общего равновесия: введение (второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. DOI : 10.1017 / CBO9781139174749 . ISBN 978-0-521-53386-7. Руководство по ремонту  1462618 .

    У Элликсона, страница xviii, и особенно глава 7 «Вальрас встречает Нэша» (особенно раздел 7.4 «Невыпуклость», страницы 306–310 и 312, а также 328–329) и главу 8 «Что такое конкуренция?» (страницы 347 и 352): Элликсон, Брайан (1994). Конкурентное равновесие: теория и приложения . Издательство Кембриджского университета. п. 420. DOI : 10,2277 / 0521319889 . ISBN 978-0-521-31988-1.

  27. ^ Теорема 1.6.5 на страницах 24-25: Ichiishi, Tatsuro (1983). Теория игр для экономического анализа . Экономическая теория, эконометрика и математическая экономика. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. с. x + 164. ISBN 0-12-370180-5. Руководство по ремонту  0700688 .
  28. ^ Страницы 127 и 33–34: Cassels, J. W. S. (1981). «Приложение А Выпуклые множества». Экономика для математиков . Серия лекций Лондонского математического общества. 62 . Кембридж, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. xi + 145. ISBN 0-521-28614-X. Руководство по ремонту  0657578 .
  29. ^ Страницы 93–94 (особенно пример 1.92), 143, 318–319, 375–377 и 416: Картер, Майкл (2001). Основы математической экономики . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. С. xx + 649. ISBN 0-262-53192-5. Руководство по ремонту  1865841 .

    Страница 309: Мур, Джеймс К. (1999). Математические методы экономической теории: Том  I. Исследования по экономической теории. 9 . Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 414. DOI : 10.1007 / 978-3-662-08544-8 . ISBN 3-540-66235-9. MR  1727000 .

    Страницы 47–48: Флоренцано, Моник; Ле Ван, Куонг (2001). Конечномерная выпуклость и оптимизация . Исследования по экономической теории. 13 . в сотрудничестве с Паскалем Гурделем. Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 154. DOI : 10.1007 / 978-3-642-56522-9 . ISBN 3-540-41516-5. Руководство по ремонту  1878374 . S2CID  117240618 .

  30. ^ Экономисты изучали невыпуклые множества с использованием продвинутой математики, в частности, дифференциальной геометрии и  топологии , категории Бэра , теории меры  и  интегрирования и эргодической теории : Trockel, Walter (1984). Рыночный спрос: анализ крупных экономик с невыпуклыми предпочтениями . Конспект лекций по экономике и математическим системам. 223 . Берлин: Springer-Verlag. С. viii + 205. DOI : 10.1007 / 978-3-642-46488-1 . ISBN 3-540-12881-6. Руководство по ремонту  0737006 .
  31. ^ Сраффа, Пьеро (1926). «Законы отдачи в условиях конкуренции». Экономический журнал . 36 (144). С. 535–550. JSTOR 2959866 . 
  32. ^ Hotelling, Гарольд (июль 1938). «Общее благосостояние в связи с проблемами налогообложения, железнодорожных и коммунальных тарифов». Econometrica . 6 (3): 242–269. DOI : 10.2307 / 1907054 . JSTOR 1907054 . 
  33. ^ Страницы 5-7: Quinzii, Martine (1992). Повышение отдачи и эффективности (Пересмотренный перевод (1988) Rendements croissants et efficacitéconomique . Париж: Издания национального центра научных исследований под ред.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. viii + 165. ISBN 0-19-506553-0.
  34. ^ Starrett обсуждает невыпуклость в своем учебнике по общественной экономике (страницы 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, 147 и 234–236): Starrett, David A. (1988). Основы общественной экономики . Кембриджские экономические справочники. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521348010.
  35. ^ Раднер, Рой (1968). «Конкурентное равновесие в условиях неопределенности». Econometrica . 36 . С. 31–53. DOI : 10.2307 / 1909602 . JSTOR 1909602 . 
  36. ↑ Страница 270: Дрез, Жак Х. (1987). «14 Инвестиции в частной собственности: оптимальность, равновесие и стабильность». В Drèze, J.H. Расположение = Кембридж (ред.). Очерки экономических решений в условиях неопределенности . Издательство Кембриджского университета. С. 261–297. DOI : 10.1017 / CBO9780511559464 . ISBN 0-521-26484-7. Руководство по ремонту  0926685 .(Первоначально опубликовано как Drèze, Jacques H. (1974). «Инвестиции в частной собственности: оптимальность, равновесие и стабильность». In Drèze, J.H. (ed.). Allocation under Uncertainty: Equilibrium and Optimality . New York: Wiley. Pp. 129–165.)
  37. ^ Magille & Quinzii , раздел 31 "Партнерства", стр. 371): Магилл, Майкл; Quinzii, Мартина (1996). «6 Производство в финансовой экономике». Теория неполных рынков . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. С. 329–425.
  38. Перейти ↑ Ramsey, FP (1928). «Математическая теория сбережений» . Экономический журнал . 38 (152): 543–559. DOI : 10.2307 / 2224098 . JSTOR 2224098 . S2CID 154223797 .  
  39. ^ Hotelling, Гарольд (1931). «Экономика неиссякаемых ресурсов» . JPE . 39 (2): 137–175. DOI : 10.1086 / 254195 . JSTOR 1822328 . S2CID 222432341 .  
  40. ^ Адда, Джером; Купер, Рассел (2003), Dynamic Economics , MIT Press
  41. ^ Ховард, Рональд А. (1960). Динамическое программирование и марковские процессы . MIT Press.
  42. ^ Sethi, SP; Томпсон, Г.Л. (2000). Теория оптимального управления: приложения к менеджменту и экономике (2-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 0-387-28092-8.Слайды доступны по адресу http://www.utdallas.edu/~sethi/OPRE7320presentation.html.
  43. ^ Трутмен, Джон Л. (1996). С помощью Уильяма Хруса (ред.). Вариационное исчисление и оптимальное управление: Оптимизация с элементарной выпуклостью . Тексты для бакалавриата по математике (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. xvi + 461. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0737-5 . ISBN 0-387-94511-3. Руководство по ремонту  1363262 .
  44. Перейти ↑ Craven, BD (1995). Контроль и оптимизация . Математика Чепмена и Холла. Лондон: Chapman and Hall, Ltd., стр. X + 193. DOI : 10.1007 / 978-1-4899-7226-2 . ISBN 0-412-55890-4. Руководство по ремонту  1349574 .
  45. ^ Винтер, Ричард (2000). Оптимальный контроль . Системы и управление: основы и приложения. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., стр. Xviii + 507. ISBN 0-8176-4075-4. Руководство по ремонту  1756410 .
  46. ^ Бекманн, Мартин; Мут, Ричард Ф. (1954). «О решении основного уравнения теории запасов». Документ для обсуждения Комиссии Коулза . 2116 .
  47. ^ Мертон, Роберт С. (1973). «Модель межвременного ценообразования капитальных активов» . Econometrica . 41 (5): 867–887. DOI : 10.2307 / 1913811 . JSTOR 1913811 . S2CID 1504746 .  
  48. ^ Стоки, Нэнси ; Лукас, Роберт Э .; Прескотт, Эдвард (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике . Harvard Univ. Нажмите. ISBN 0-674-75096-9.
  49. ^ Юнгквист, Ларс ; Сарджент, Томас (2004). Рекурсивная макроэкономическая теория . MIT Press. ISBN 0-262-12274-X.
  50. ^ Диксит, Авинаш ; Пиндик, Роберт (1994). Инвестиции в условиях неопределенности . Princeton Univ. Нажмите. ISBN 0-691-03410-9.
  51. ↑ Dasgupta & Heal (1979 , стр. 96–97, 285, 404, 420, 422 и 429)
  52. ↑ Dasgupta & Heal (1979 , стр. 51, 64–65, 87 и 91–92)
  53. ↑ Heal (1999 , стр. 4 в препринте): Heal, GM (1999). «Введение» (PDF) . Экономика увеличения отдачи . Международная библиотека критических работ по экономике. Эдвард Элгар. п. 640. ISBN  978-1-85898-160-4. Проверено 5 марта 2011 года .
  54. ^ Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Мокрый, Роджер JB (1998). Вариационный анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. 317 . Берлин: Springer-Verlag. С. xiv + 733. DOI : 10.1007 / 978-3-642-02431-3 . ISBN 3-540-62772-3. Руководство по ремонту  1491362 . S2CID  198120391 .
  55. ^ Алгебраическая топология также использовалась для изучения выпуклых и невыпуклых множеств в экономике: Chichilnisky, G. (1993). «Пересекающиеся семейства множеств и топология конусов в экономике» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 29 (2). С. 189–207. DOI : 10.1090 / S0273-0979-1993-00439-7 . Руководство по ремонту 1218037 .  

Ссылки [ править ]

  • Блюм, Лоуренс Э. (2008). «Выпуклость» . В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 225–226. DOI : 10.1057 / 9780230226203.0315 . ISBN 978-0-333-78676-5.
  • Крузе, Ж.-П. (2008). «Квазивогнутость» . В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 815–816. DOI : 10.1057 / 9780230226203.1375 . ISBN 978-0-333-78676-5.
  • Дасгупта, PS ; Исцеление, GM (1979). Экономическая теория и неиссякаемые ресурсы . Издательство Кембриджского университета.
  • Диверт, У. Э. (1982). «12 двойственных подходов к микроэкономической теории». In Arrow, Кеннет Джозеф ; Интрилигатор, Майкл Д. (ред.). Справочник по математической экономике, Том  II. Справочники по экономике. 1 . Амстердам: Издательство Северной Голландии, стр. 535–599. DOI : 10.1016 / S1573-4382 (82) 02007-4 . ISBN 978-0-444-86127-6. Руководство по ремонту  0648778 .
  • Грин, Джерри; Хеллер, Уолтер П. (1981). «1 Математический анализ и выпуклость с приложениями к экономике». In Arrow, Кеннет Джозеф ; Интрилигатор, Майкл Д. (ред.). Справочник по математической экономике, Том  I. Справочники по экономике. 1 . Амстердам: Издательство Северной Голландии, стр. 15–52. DOI : 10.1016 / S1573-4382 (81) 01005-9 . ISBN 0-444-86126-2. Руководство по ремонту  0634800 .
  • Мас-Колелл, А. (1987). «Невыпуклость» (PDF) . В Итуэлле, Джон; Милгейт, Мюррей; Ньюман, Питер (ред.). Новый Палгрейв: экономический словарь (первое издание). Пэлгрейв Макмиллан. С. 653–661. DOI : 10.1057 / 9780230226203.3173 . ISBN 9780333786765.
  • Ньюман, Питер (1987). «Выпуклость» . В Итуэлле, Джон; Милгейт, Мюррей; Ньюман, Питер (ред.). Новый Палгрейв: экономический словарь (первое издание). Пэлгрейв Макмиллан. п. 1. DOI : 10.1057 / 9780230226203.2282 . ISBN 9780333786765.
  • Ньюман, Питер (1987). «Двойственность» . В Итуэлле, Джон; Милгейт, Мюррей; Ньюман, Питер (ред.). Новый Палгрейв: экономический словарь (первое издание). Пэлгрейв Макмиллан. п. 1. DOI : 10.1057 / 9780230226203.2412 . ISBN 9780333786765.

Внешние ссылки [ править ]

Heal, GM (апрель 1998 г.). Экономика увеличения прибыли (PDF) . Серия рабочих документов PaineWebber по деньгам, экономике и финансам. PW-97-20. Колумбийская школа бизнеса. Архивировано из оригинального (PDF) 15 сентября 2015 года . Проверено 5 марта 2011 года .