Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Часть серии по
Экономика
  • История
  • ветви
  • Классификация
  • Концепции
  • Теория
  • Методы
По заявке
Известные экономисты
  • Франсуа Кенэ
  • Адам Смит
  • Давид Рикардо
  • Томас Роберт Мальтус
  • Джон Стюарт Милл
  • Карл Маркс
  • Уильям Стэнли Джевонс
  • Леон Вальрас
  • Альфред Маршалл
  • Ирвинг Фишер
  • Джон Мейнард Кейнс
  • Артур Сесил Пигу
  • Джон Хикс
  • Василий Леонтьев
  • Пол Самуэльсон
  • более
Списки
  • Экономисты
  • Публикации  ( журналы )
Глоссарий
  • Глоссарий экономики
  •  Деловой портал
  •  Денежный портал
  • v
  • т
  • е

Выпуклость - важная тема в экономике . [1] В модели Эрроу-Дебре от общего экономического равновесия , агенты имеют выпуклые множества бюджета и выпуклые предпочтения : В равновесных ценах, бюджет гиперплоскость поддерживает максимально возможный уровень кривое безразличия . [2] функция прибыли является выпуклым конъюгат из функции затрат . [1] [2] Выпуклый анализ - стандартный инструмент для анализа экономики учебников. [1]Невыпуклые явления в экономике изучались с помощью негладкого анализа , который обобщает выпуклый анализ . [3]

Предварительные мероприятия [ править ]

Экономика зависит от следующих определений и результатов выпуклой геометрии .

Реальные векторные пространства [ править ]

Невыпуклое множество не может покрыть точку некоторого отрезка прямой, соединяющего две его точки.
Отрезки линии проверяют выпуклость .

Реальное векторное пространство двух измерений может быть дана декартова система координат , в которой каждая точка идентифицируется список двух действительных чисел, называемых «координаты», которые условно обозначаемых х и у . Две точки в декартовой плоскости могут быть добавлены по координатам.

( x 1 ,  y 1 ) + ( x 2 ,  y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 );

далее балл можно умножить на каждое действительное число λ по координатам

λ ( x , y ) = ( λx , λy ).

В более общем смысле, любое реальное векторное пространство (конечной) размерности D можно рассматривать как набор всех возможных списков вещественных чисел D {( v 1 , v 2 , ..., v D )  } вместе с двумя операциями : сложение векторов и умножение на действительное число . Для конечномерных векторных пространств каждая операция сложения векторов и умножения действительных чисел может быть определена покоординатно, следуя примеру декартовой плоскости.

Выпуклые множества [ править ]

В выпуклой оболочке красного множества каждая синяя точка представляет собой выпуклую комбинацию некоторых красных точек.

В реальном векторном пространстве набор определяется как выпуклый, если для каждой пары его точек каждая точка на линейном сегменте, который их соединяет, покрывается набором. Например, твердый куб выпуклый; однако все, что является полым или помятым, например, в форме полумесяца , не является выпуклым. Тривиально , то пустое множество выпукло.

Более формально множество Q является выпуклым, если для всех точек v 0 и v 1 в Q и для каждого действительного числа λ в единичном интервале [0,1] точка

(1 -  λ )  v 0 + λv 1

является членом из  Q .

По математической индукции , множество Q выпукло тогда и только тогда , когда каждая выпуклая комбинация членов Q также принадлежит Q . По определению, выпуклая комбинация индексированного подмножества { V 0 ,  V 1 ,. . . ,  v D } векторного пространства - это любое средневзвешенное значение  λ 0 v 0 + λ 1 v 1 +. . . + Λ D v D , для некоторого индексированного множества неотрицательных действительных чисел { λ d} удовлетворяющее уравнению λ 0 + λ 1 +. . . + λ D  = 1.

Из определения выпуклого множества следует, что пересечение двух выпуклых множеств является выпуклым множеством. В более общем смысле, пересечение семейства выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Выпуклая оболочка [ править ]

Для каждого подмножества Q вещественного векторного пространства, его выпуклая оболочка Conv ( Q ) является минимальным выпуклым множеством, содержащим Q . Таким образом , ко ( Q ) есть пересечение всех выпуклых множеств , что крышка Q . Выпуклая оболочка множества может быть эквивалентно определяется как множество всех выпуклых комбинаций точек в  Q .

Двойственность: пересекающиеся полупространства [ править ]

Выпуклое множество (в розовом цвете), опорная плоскость (пунктирная линия), а полупространство ограничена гиперплоскостью , которая содержит (в светло - голубом).

Поддерживающая гиперплоскость - это понятие в геометрии . Гиперплоскость делит пространство на две полупространствами . Гиперплоскость называется поддержка в набор в режиме реального п -пространстве , если она отвечает следующим:

  • целиком содержится в одном из двух замкнутых полупространств, определяемых гиперплоскостью
  • имеет хотя бы одну точку на гиперплоскости.

Здесь замкнутое полупространство - это полупространство, включающее гиперплоскость.

Подтверждающая теорема о гиперплоскости [ править ]

Множество выпукло может иметь более чем одну опорную гиперплоскость в данной точке на ее границе.

Эта теорема утверждает , что если есть замкнутое выпуклое множество в и является точкой на границе в то существует опорную гиперплоскость , содержащую

Гиперплоскость в теореме может быть не уникальной, как показано на втором рисунке справа. Если замкнутое множество не является выпуклым, утверждение теоремы неверно во всех точках на границе, как показано на третьем рисунке справа.

Опорная гиперплоскость, содержащая данную точку на границе, может не существовать, если она не является выпуклой.

Экономика [ править ]

Потребитель предпочитает вектор товаров ( Q x ,  Q y ) другим доступным векторам. При этом оптимальном векторе бюджетная линия поддерживает кривую безразличия  I 2 .

Оптимальная корзина товаров происходит там , где выпукло потребитель множество предпочтений будет поддерживаться с помощью бюджетного ограничения, как показано на рисунке. Если набор предпочтений выпуклый, то набор оптимальных решений потребителя представляет собой выпуклое множество, например, уникальную оптимальную корзину (или даже линейный сегмент оптимальных корзин).

Для простоты будет считать , что предпочтения потребителя могут быть описаны с помощью функции полезности , которая является непрерывной функцией , которая подразумевает , что привилегированные наборы являются закрытыми . (Значение термина «замкнутое множество» объясняется ниже, в подразделе, посвященном приложениям оптимизации.)

Невыпуклость [ править ]

Основная статья: Невыпуклость (экономика)
См. Также: лемма Шепли – Фолкмана.
Когда потребительские предпочтения имеют вогнутость, линейные бюджеты не обязательно поддерживают равновесие: потребители могут переключаться между распределениями.

Если набор предпочтений невыпуклый, то по некоторым ценам получается бюджет, поддерживающий два различных оптимальных решения о потреблении. Например, мы можем представить, что для зоопарков лев стоит столько же, сколько орел, и, кроме того, бюджета зоопарка хватает на одного орла или одного льва. Мы также можем предположить, что смотритель зоопарка считает любое животное равноценным. В этом случае зоопарк покупал либо одного льва, либо одного орла. Конечно, современный зоотехник не захочет покупать пол-орла, пол-льва (или грифона )! Таким образом, предпочтения современного зоотехника невыпуклые: хранитель зоопарка предпочитает иметь любое животное, чем иметь какую-либо строго выпуклую комбинацию обоих.

Non-выпуклые множества, были включены в теории общего экономического равновесия, [4] из провалов рынка , [5] и государственной экономики . [6] Эти результаты описаны в учебниках дипломированного уровня в микроэкономике , [7] общее равновесие теории, [8] теории игр , [9] математическая экономика , [10] и прикладная математики (для экономистов). [11] Результаты леммы Шепли – Фолкмана устанавливают, что невыпуклости совместимы с приближенным равновесием на рынках с большим количеством потребителей; эти результаты также применимы кпроизводственная экономика с множеством мелких фирм . [12]

В « олигополиях » (на рынках, на которых доминирует несколько производителей), особенно в « монополиях » (на рынках, где доминирует один производитель), неравномерность остается важной. [13] Обеспокоенность по поводу того, что крупные производители используют рыночную власть, фактически положила начало литературе о невыпуклых множествах, когда Пьеро Сраффа писал о фирмах с растущей отдачей от масштаба в 1926 году [14], после чего Гарольд Хотеллинг писал о ценообразовании по предельным издержкам в 1938 году. . [15] Оба Срафф и Hotelling освещали рыночную власть производителей без конкурентов, очевидно , стимулируя литературу на стороне предложения экономики.[16] Non-выпуклые множества возникают также с экологическими товарами (и другими внешними факторами ), [17] [18] с информационной экономикой , [19] и с фондовыми рынками [13] (и другими неполными рынками ). [20] [21] Такие приложения продолжают мотивировать экономистов к изучению невыпуклых множеств. [22]

Негладкий анализ [ править ]

Экономисты все чаще изучают невыпуклые множества с помощью негладкого анализа , который обобщает выпуклый анализ . «Невыпуклости в [как] производстве, так и в потреблении ... требовали математических инструментов, выходящих за рамки выпуклости, и дальнейшее развитие должно было ждать изобретения негладкого исчисления» (например, локально липшицевского исчисления Фрэнсиса Кларка ), как описано Rockafellar & Wets (1998) [23] и Мордухович (2006) , [24] согласно Хану (2008) . [3] Браун (1995 , стр. 1967–1968).писал, что «основным методологическим новшеством в анализе общего равновесия фирм с правилами ценообразования» было «введение методов негладкого анализа как [синтеза] глобального анализа (дифференциальная топология) и [из] выпуклого анализа. " Согласно Брауну (1995 , стр. 1966) , «негладкий анализ расширяет локальную аппроксимацию многообразий касательными плоскостями [и расширяет] аналогичное приближение выпуклых множеств касательными конусами к множествам», которые могут быть негладкими или негладкими. выпуклый .. [25] Экономисты также использовали алгебраическую топологию . [26]

См. Также [ править ]

  • Выпуклая двойственность

Заметки [ править ]

  1. ^ a b c Ньюман (1987c)
  2. ^ a b Ньюман (1987d)
  3. ^ а б Хан, М. Али (2008). «Идеальная конкуренция» . В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э., изд. (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 354–365. DOI : 10.1057 / 9780230226203.1267 . ISBN 978-0-333-78676-5.
  4. ^ Страницы 392–399 и стр. 188: Arrow, Kenneth J .; Хан, Фрэнк Х. (1971). «Приложение B: Выпуклые и родственные множества» . Общий конкурентный анализ . Тексты по математике [Учебники по экономике]. Сан-Франциско: Holden-Day, Inc. [Северная Голландия]. С.  375–401 . ISBN 978-0-444-85497-1. Руководство по ремонту  0439057 .
    Страницы 52–55 с приложениями на страницах 145–146, 152–153 и 274–275: Mas-Colell, Andreu (1985). «1.L Средние наборы». Теория общего экономического равновесия: дифференцируемый подход . Монографии эконометрического общества. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-26514-0. Руководство по ремонту  1113262 .
    Теорема C (6) на странице 37 и приложения на страницах 115–116, 122 и 168: Hildenbrand, Werner (1974). Ядро и равновесие большой экономики . Принстонские исследования в области математической экономики. Издательство Принстонского университета. С. viii + 251. ISBN 978-0-691-04189-6. Руководство по ремонту  0389160 .
  5. ^ Страницы 112–113 в разделе 7.2 «Выпуклость по числам» (и в более общем плане стр. 107–115): Salanié, Bernard (2000). «7 невыпуклостей». Микроэкономика сбоев рынка (английский перевод французской Microéconomie (1998) : Les défaillances du marché (Economica, Paris) ed.). MIT Press. С. 107–125. ISBN 978-0-262-19443-3.
  6. ^ Страницы 63–65: Лаффон, Жан-Жак (1988). «3 невыпуклости» . Основы общественной экономики . Массачусетский технологический институт. ISBN 978-0-262-12127-9.
  7. ^ Вариан, Хэл Р. (1992). «21.2 Выпуклость и размер» . Микроэкономический анализ (3-е изд.). W. W. Norton & Company. С.  393–394 . ISBN 978-0-393-95735-8. Руководство по ремонту  1036734 .
    Страница 628: Мас – Колелл, Андреу ; Whinston, Michael D .; Грин, Джерри Р. (1995). «17.1 Крупные экономики и невыпуклости». Микроэкономическая теория . Издательство Оксфордского университета. С. 627–630. ISBN 978-0-19-507340-9.
  8. ^ Страница 169 в первом издании: Старр, Росс М. (2011). «8 выпуклых множеств, теорем об отделении и невыпуклых множеств в  R N ». Теория общего равновесия: введение (второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. DOI : 10.1017 / CBO9781139174749 . ISBN 978-0-521-53386-7. Руководство по ремонту  1462618 .
    У Элликсона, страница xviii, и особенно глава 7 «Вальрас встречает Нэша» (особенно раздел 7.4 «Невыпуклость», страницы 306–310 и 312, а также 328–329) и главу 8 «Что такое конкуренция?» (страницы 347 и 352): Элликсон, Брайан (1994). Конкурентное равновесие: теория и приложения . Издательство Кембриджского университета. п. 420. DOI : 10,2277 / 0521319889 . ISBN 978-0-521-31988-1.
  9. ^ Теорема 1.6.5 на страницах 24-25: Ichiishi, Tatsuro (1983). Теория игр для экономического анализа . Экономическая теория, эконометрика и математическая экономика. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. с. x + 164. ISBN 978-0-12-370180-0. Руководство по ремонту  0700688 .
  10. ^ Страницы 127 и 33–34: Cassels, J. W. S. (1981). «Приложение А Выпуклые множества». Экономика для математиков . Серия лекций Лондонского математического общества. 62 . Кембридж, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. xi + 145. ISBN 978-0-521-28614-5. Руководство по ремонту  0657578 .
  11. ^ Страницы 93–94 (особенно пример 1.92), 143, 318–319, 375–377 и 416: Картер, Майкл (2001). Основы математической экономики . MIT Press. С. xx + 649. ISBN 978-0-262-53192-4. Руководство по ремонту  1865841 .
    Страница 309: Мур, Джеймс К. (1999). Математические методы экономической теории: Том  I. Исследования по экономической теории. 9 . Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 414. DOI : 10.1007 / 978-3-662-08544-8 . ISBN 978-3-540-66235-8. MR  1727000 .
    Страницы 47–48: Флоренцано, Моник; Ле Ван, Куонг (2001). Конечномерная выпуклость и оптимизация . Исследования по экономической теории. 13 . в сотрудничестве с Паскалем Гурделем. Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 154. DOI : 10.1007 / 978-3-642-56522-9 . ISBN 978-3-540-41516-9. Руководство по ремонту  1878374 . S2CID  117240618 .
  12. ^ Экономисты изучали невыпуклые множества с помощью продвинутой математики, в частности, дифференциальной геометрии и топологии , категории Бэра , теории меры и интегрирования и эргодической теории : Trockel, Walter (1984). Рыночный спрос: анализ крупных экономик с невыпуклыми предпочтениями . Конспект лекций по экономике и математическим системам. 223 . Берлин: Springer-Verlag. С. viii + 205. DOI : 10.1007 / 978-3-642-46488-1 . ISBN 978-3-540-12881-6. Руководство по ремонту  0737006 .
  13. ^ a b Страница 1: Гезнери, Роджер (1975). «Оптимальность по Парето в невыпуклой экономике». Econometrica . 43 (1): 1-29. DOI : 10.2307 / 1913410 . JSTOR 19134 10 . Руководство по ремонту 0443877 .  ( Guesnerie, Роджер (1975) "Опечатка".. Эконометрика . 43 (5-6): 1010. DOI : 10,2307 / 1911353 . JSTOR 1911353 . MR 0443878 .  )
  14. ^ Сраффа, Пьеро (1926). «Законы отдачи в условиях конкуренции». Экономический журнал . 36 (144): 535–550. DOI : 10.2307 / 2959866 . JSTOR 2959866 . S2CID 6458099 .  
  15. ^ Hotelling, Гарольд (июль 1938). «Общее благосостояние в связи с проблемами налогообложения, железнодорожных и коммунальных тарифов». Econometrica . 6 (3): 242–269. DOI : 10.2307 / 1907054 . JSTOR 1907054 . 
  16. ^ Страницы 5-7: Quinzii, Martine (1992). Повышение отдачи и эффективности (Пересмотренный перевод (1988) Rendements croissants et efficacitéconomique . Париж: Издания национального центра научных исследований под ред.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. viii + 165. ISBN 978-0-19-506553-4.
  17. ^ Страницы 106, 110–137, 172 и 248: Baumol, William J .; Оутс, Уоллес Э. (1988). «8 Вредоносных экстерналий и невыпуклостей в постановке». Теория экологической политики . при участии В. С. Бавы и Дэвида Ф. Брэдфорда (второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. с. x + 299. DOI : 10.2277 / 0521311128 . ISBN 978-0-521-31112-0.
  18. ^ Старретт, Дэвид А. (1972). «Фундаментальные невыпуклости в теории экстерналий». Журнал экономической теории . 4 (2): 180–199. DOI : 10.1016 / 0022-0531 (72) 90148-2 . Руководство по ремонту 0449575 . 
    Старрет обсуждает невыпуклость в своем учебнике по общественной экономике (страницы 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, 147 и 234–236): Starrett, David A. (1988). Основы общественной экономики . Кембриджские экономические справочники. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521348010. невыпуклые ИЛИ невыпуклости.
  19. ^ Раднер, Рой (1968). «Конкурентное равновесие в условиях неопределенности». Econometrica . 36 (1): 31–53. DOI : 10.2307 / 1909602 . JSTOR 1909602 . 
  20. ↑ Страница 270: Дрез, Жак Х. (1987). «14 Инвестиции в частной собственности: оптимальность, равновесие и стабильность». В Drèze, J.H. (ред.). Очерки экономических решений в условиях неопределенности . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 261–297. DOI : 10.1017 / CBO9780511559464 . ISBN 978-0-521-26484-6. Руководство по ремонту  0926685 .(Первоначально опубликовано как Drèze, Jacques H. (1974). «Инвестиции в частной собственности: оптимальность, равновесие и стабильность». In Drèze, J.H. (ed.). Allocation under Uncertainty: Equilibrium and Optimality . New York: Wiley. Pp. 129–165.)
  21. ↑ Стр. 371: Мэджилл, Майкл; Quinzii, Мартина (1996). «6 Производство в финансовой экономике, Раздел 31 Партнерства». Теория неполных рынков . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. С. 329–425.
  22. ^ Mas-Colell, A. (1987). «Невыпуклость» (PDF) . В Итуэлле, Джон; Милгейт, Мюррей; Ньюман, Питер (ред.). Новый Палгрейв: экономический словарь (первое издание). Пэлгрейв Макмиллан. С. 653–661. DOI : 10.1057 / 9780230226203.3173 . ISBN  9780333786765.
  23. ^ Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Мокрый, Роджер JB (1998). Вариационный анализ . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. 317 . Берлин: Springer-Verlag. С. xiv + 733. DOI : 10.1007 / 978-3-642-02431-3 . ISBN 978-3-540-62772-2. Руководство по ремонту  1491362 . S2CID  198120391 .
  24. ^ Глава 8 «Приложения к экономике», особенно Раздел 8.5.3 «Ввод невыпуклости» (и оставшаяся часть главы), в частности, страница 495: Мордухович, Борис С. (2006). Вариационный анализ и обобщенное дифференцирование  II : Приложения . Серия Grundlehren (Основные принципы математических наук). 331 . Springer. стр. i – xxii и 1–610. Руководство по ремонту 2191745 .
     
  25. ^ Браун, Дональд Дж. (1991). «36 Анализ равновесия с невыпуклыми технологиями». В Хильденбранде, Вернер ; Sonnenschein, Hugo (ред.). Справочник по математической экономике, Том  IV. Справочники по экономике. 1 . Амстердам: Издательство Северной Голландии, стр. 1963–1995 [1966]. DOI : 10.1016 / S1573-4382 (05) 80011-6 . ISBN 0-444-87461-5. Руководство по ремонту  1207195 .
  26. ^ Chichilnisky, G. (1993). «Пересекающиеся семейства множеств и топология конусов в экономике» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 29 (2): 189–207. arXiv : math / 9310228 . Bibcode : 1993math ..... 10228C . CiteSeerX 10.1.1.234.3909 . DOI : 10.1090 / S0273-0979-1993-00439-7 . Руководство по ремонту 1218037 .   

Ссылки [ править ]

  • Блюм, Лоуренс Э. (2008a). «Выпуклость» . В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 225–226. DOI : 10.1057 / 9780230226203.0315 . ISBN 978-0-333-78676-5.
  • Блюм, Лоуренс Э. (2008b). «Выпуклое программирование» . В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 220–225. DOI : 10.1057 / 9780230226203.0314 . ISBN 978-0-333-78676-5.
  • Блюм, Лоуренс Э. (2008c). «Двойственность» . В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 551–555. DOI : 10.1057 / 9780230226203.0411 . ISBN 978-0-333-78676-5.
  • Крузе, Ж.-П. (2008). «Квазивогнутость» . В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 815–816. DOI : 10.1057 / 9780230226203.1375 . ISBN 978-0-333-78676-5.
  • Диверт, У. Э. (1982). «12 двойственных подходов к микроэкономической теории». In Arrow, Кеннет Джозеф ; Интрилигатор, Майкл Д. (ред.). Справочник по математической экономике, Том  II. Справочники по экономике. 1 . Амстердам: Издательство Северной Голландии, стр. 535–599. DOI : 10.1016 / S1573-4382 (82) 02007-4 . ISBN 978-0-444-86127-6. Руководство по ремонту  0648778 .
  • Грин, Джерри; Хеллер, Уолтер П. (1981). «1 Математический анализ и выпуклость с приложениями к экономике». In Arrow, Кеннет Джозеф ; Интрилигатор, Майкл Д. (ред.). Справочник по математической экономике, Том  I. Справочники по экономике. 1 . Амстердам: Издательство Северной Голландии, стр. 15–52. DOI : 10.1016 / S1573-4382 (81) 01005-9 . ISBN 978-0-444-86126-9. Руководство по ремонту  0634800 .
  • Люенбергер, Дэвид Г. Микроэкономическая теория , McGraw-Hill, Inc., Нью-Йорк, 1995.
  • Мас-Колелл, А. (1987). «Невыпуклость» (PDF) . В Итуэлле, Джон; Милгейт, Мюррей; Ньюман, Питер (ред.). Новый Палгрейв: экономический словарь (первое издание). Пэлгрейв Макмиллан. С. 653–661. DOI : 10.1057 / 9780230226203.3173 . ISBN 9780333786765.
  • Ньюман, Питер (1987c). «Выпуклость» . В Итуэлле, Джон; Милгейт, Мюррей; Ньюман, Питер (ред.). Новый Палгрейв: экономический словарь (первое издание). Пэлгрейв Макмиллан. п. 1. DOI : 10.1057 / 9780230226203.2282 . ISBN 9780333786765.
  • Ньюман, Питер (1987d). «Двойственность» . В Итуэлле, Джон; Милгейт, Мюррей; Ньюман, Питер (ред.). Новый Палгрейв: экономический словарь (первое издание). Пэлгрейв Макмиллан. п. 1. DOI : 10.1057 / 9780230226203.2412 . ISBN 9780333786765.
  • Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997). Выпуклый анализ . Вехи Принстона в математике (Перепечатка Принстонской математической серии 1979 г.,  28  изд.) Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-01586-6. Руководство по ремонту  0274683 ..
  • Шнайдер, Рольф (1993). Выпуклые тела: теория Брунна – Минковского . Энциклопедия математики и ее приложений. 44 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. xiv + 490. DOI : 10.1017 / CBO9780511526282 . ISBN 978-0-521-35220-8. Руководство по ремонту  1216521 .