Нелинейная реализация

В математической физике, нелинейная реализация из группы Ли G , обладающей подгруппы Картанен H является частным индуцированного представления о G . Фактически, это представление алгебры Ли группы G в окрестности ее начала. Нелинейная реализация, ограниченная подгруппой H, сводится к линейному представлению.${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Техника нелинейной реализации является неотъемлемой частью многих теорий поля со спонтанным нарушением симметрии , например, киральных моделей , нарушения киральной симметрии , теории бозонов Голдстоуна , классической теории поля Хиггса , калибровочной теории гравитации и супергравитации .

Пусть G группа Ли и H ее подгруппа Картана , которая допускает линейное представление в векторном пространстве V . Алгебра Ли из G разлагается в сумму от подалгебры Картана в H и его дополнения , такие , что${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {f}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {f}}}$

${\ displaystyle [{\ mathfrak {f}}, {\ mathfrak {f}}] \ subset {\ mathfrak {h}}, \ qquad [{\ mathfrak {f}}, {\ mathfrak {h}}] \ подмножество {\ mathfrak {f}}.}$

(В физике, например, к векторным генераторам относятся и к осевым.)${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {f}}}$

Существует открытая окрестность U единицы группы G такая, что любой элемент однозначно приводится к виду${\ displaystyle g \ in U}$

${\ displaystyle g = \ exp (F) \ exp (I), \ qquad F \ in {\ mathfrak {f}}, \ qquad I \ in {\ mathfrak {h}}.}$

Пусть - открытая окрестность единицы группы G такая, что , и пусть - открытая окрестность H -инвариантного центра фактор-группы G / H, состоящая из элементов${\ displaystyle U_ {G}}$${\displaystyle U_{G}^{2}\subset U}$${\displaystyle U_{0}}$${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \sigma =g\sigma _{0}=\exp(F)\sigma _{0},\qquad g\in U_{G}.}$

Тогда есть местный раздел из за кадром . ${\displaystyle s(g\sigma _{0})=\exp(F)}$${\displaystyle G\to G/H}$${\displaystyle U_{0}}$

С помощью этого локального сечения можно определить индуцированное представление , называемое нелинейной реализацией , элементов на, заданных выражениями${\displaystyle g\in U_{G}\subset G}$${\displaystyle U_{0}\times V}$

${\displaystyle g\exp(F)=\exp(F')\exp(I'),\qquad g:(\exp(F)\sigma _{0},v)\to (\exp(F')\sigma _{0},\exp(I')v).}$

Соответствующая нелинейная реализация алгебры Ли группы G имеет следующий вид.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Пусть , - базы для и , соответственно, вместе с коммутационными соотношениями${\displaystyle \{F_{\alpha }\}}$${\displaystyle \{I_{a}\}}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle [I_{a},I_{b}]=c_{ab}^{d}I_{d},\qquad [F_{\alpha },F_{\beta }]=c_{\alpha \beta }^{d}I_{d},\qquad [F_{\alpha },I_{b}]=c_{\alpha b}^{\beta }F_{\beta }.}$

Тогда желаемая нелинейная реализация в читает${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}\times V}$

${\displaystyle F_{\alpha }:(\sigma ^{\gamma }F_{\gamma },v)\to (F_{\alpha }(\sigma ^{\gamma })F_{\gamma },F_{\alpha }(v)),\qquad I_{a}:(\sigma ^{\gamma }F_{\gamma },v)\to (I_{a}(\sigma ^{\gamma })F_{\gamma },I_{a}v),}$,

${\displaystyle F_{\alpha }(\sigma ^{\gamma })=\delta _{\alpha }^{\gamma }+{\frac {1}{12}}(c_{\alpha \mu }^{\beta }c_{\beta \nu }^{\gamma }-3c_{\alpha \mu }^{b}c_{\nu b}^{\gamma })\sigma ^{\mu }\sigma ^{\nu },\qquad I_{a}(\sigma ^{\gamma })=c_{a\nu }^{\gamma }\sigma ^{\nu },}$

до второго порядка в . ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$

В физических моделях коэффициенты рассматриваются как поля Голдстоуна . Аналогично рассматриваются нелинейные реализации супералгебр Ли .${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$

См. Также [ править ]

• Индуцированное представительство
• Хиральная модель

Ссылки [ править ]

• Coleman, S .; Wess, J .; Зумино, Бруно (1969-01-25). «Структура феноменологических лагранжианов. I». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 177 (5): 2239–2247. DOI : 10.1103 / Physrev.177.2239 . ISSN  0031-899X .
• Joseph, A .; Соломон, AI (1970). «Глобальные и бесконечно малые нелинейные киральные преобразования». Журнал математической физики . Издательство AIP. 11 (3): 748–761. DOI : 10.1063 / 1.1665205 . ISSN  0022-2488 .
• Джачетта Г., Манджиаротти Л., Сарданашвили Г. , Расширенная классическая теория поля , World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7 .