Дисперсия (оптика)

В дисперсионной призме материальная дисперсия ( показатель преломления, зависящий от длины волны ) заставляет разные цвета преломляться под разными углами, разделяя белый свет на спектр .

Компактная люминесцентная лампа видно через призму Amici

В оптике , дисперсия представляет собой явление , при котором фазовая скорость волны зависит от его частоты. ^[1] Среды, обладающие этим общим свойством, могут быть названы дисперсионными средами . Иногда термин хроматическая дисперсия используется для обозначения специфики. Хотя этот термин используется в области оптики для описания света и других электромагнитных волн , дисперсия в том же смысле может применяться к любому виду волнового движения, например, к акустической дисперсии в случае звуковых и сейсмических волн, в гравитационных волнах (океанских волнах). ), а также для телекоммуникационных сигналов полинии передачи (например, коаксиальный кабель ) или оптическое волокно . Физически дисперсия выражается в потере кинетической энергии из-за поглощения.

В оптике одним из важных и известных последствий дисперсии является изменение угла преломления света разных цветов ^[2], что видно в спектре, создаваемом рассеивающей призмой, и в хроматической аберрации линз. Конструкция составных ахроматических линз , в которых хроматическая аберрация в значительной степени устранена, использует количественную оценку дисперсии стекла, задаваемую его числом Аббе V , где более низкие числа Аббе соответствуют большей дисперсии в видимом спектре.. В некоторых приложениях, таких как телекоммуникации, часто не важна абсолютная фаза волны, а важна только передача волновых пакетов или «импульсов»; в этом случае нас интересуют только вариации групповой скорости с частотой, так называемая дисперсия групповой скорости .

Примеры [ править ]

Наиболее известным примером дисперсии, вероятно, является радуга , в которой дисперсия вызывает пространственное разделение белого света на компоненты с разными длинами волн (разных цветов ). Однако дисперсия также влияет на многие другие обстоятельства: например, дисперсия групповой скорости вызывает распространение импульсов в оптических волокнах , ухудшая качество сигналов на большие расстояния; Кроме того, сокращение дисперсии групповой скорости и нелинейных эффектов приводит к солитонным волнам.

Материальная и волноводная дисперсия [ править ]

Чаще всего хроматическая дисперсия относится к дисперсии объемного материала, то есть к изменению показателя преломления с оптической частотой. Однако в волноводе также наблюдается явление волноводной дисперсии , и в этом случае фазовая скорость волны в структуре зависит от ее частоты просто из-за геометрии структуры. В более общем смысле «волноводная» дисперсия может возникать для волн, распространяющихся через любую неоднородную структуру (например, фотонный кристалл ), независимо от того, ограничены ли волны какой-либо областью. ^{[ сомнительно - обсудить ]} В волноводе обатипы дисперсии обычно присутствуют, хотя они не являются строго аддитивными. ^{[ необходимая цитата ]} Например, в волоконной оптике дисперсия материала и волновода может эффективно компенсировать друг друга, создавая длину волны с нулевой дисперсией , что важно для быстрой оптоволоконной связи .

Материальная дисперсия в оптике [ править ]

Дисперсия материала может быть желательным или нежелательным эффектом в оптических приложениях. Рассеивание света стеклянными призмами используется для создания спектрометров и спектрорадиометров . Также используются голографические решетки, поскольку они позволяют более точно различать длины волн. Однако в линзах дисперсия вызывает хроматическую аберрацию , нежелательный эффект, который может ухудшать изображения в микроскопах, телескопах и фотографических объективах.

Фазовая скорость , V , волны в данной однородной среде дается

${\displaystyle v={\frac {c}{n}}}$

где c - скорость света в вакууме, а n - показатель преломления среды.

В общем, показатель преломления является некоторой функцией частоты f света, таким образом, n  =  n ( f ), или, альтернативно, по отношению к длине волны n  =  n ( λ ). Зависимость показателя преломления материала от длины волны обычно определяется его числом Аббе или его коэффициентами в эмпирической формуле, такой как уравнения Коши или Селлмейера .

Из-за соотношений Крамерса – Кронига зависимость действительной части показателя преломления от длины волны связана с поглощением материала , которое описывается мнимой частью показателя преломления (также называемой коэффициентом экстинкции ). В частности, для немагнитных материалов ( μ  =  μ 0 ) восприимчивость χ, которая появляется в соотношениях Крамерса – Кронига, представляет собой электрическую восприимчивость χ _e  =  n ²  - 1.

Наиболее часто наблюдаемое следствие дисперсии в оптике - разделение белого света на цветовой спектр с помощью призмы . Из закона Снеллиуса видно, что угол преломления света в призме зависит от показателя преломления материала призмы. Поскольку этот показатель преломления изменяется в зависимости от длины волны, из этого следует, что угол, под которым преломляется свет, также будет изменяться с длиной волны, вызывая угловое разделение цветов, известное как угловая дисперсия .

Для видимого света показатели преломления n большинства прозрачных материалов (например, воздуха, стекла) уменьшаются с увеличением длины волны λ :

${\displaystyle 1<n(\lambda _{\rm {red}})<n(\lambda _{\rm {yellow}})<n(\lambda _{\rm {blue}})\ ,}$

или альтернативно:

${\displaystyle {\frac {dn}{d\lambda }}<0.}$

В этом случае говорят, что среда имеет нормальную дисперсию . Принимая во внимание, что если индекс увеличивается с увеличением длины волны (что обычно имеет место в ультрафиолете ^[4] ), считается, что среда имеет аномальную дисперсию .

На границе такого материала с воздухом или вакуумом (индекс ~ 1) закон Снеллиуса предсказывает, что свет, падающий под углом θ к нормали, будет преломляться под углом arcsin (грех θ/п). Таким образом, синий свет с более высоким показателем преломления будет изгибаться сильнее, чем красный свет, что приведет к хорошо известному радужному узору.

Дисперсия групповой скорости [ править ]

Помимо простого описания изменения фазовой скорости по длине волны, более серьезное последствие дисперсии во многих приложениях называется дисперсией групповой скорости (ДГС). В то время как фазовая скорость v определяется как v =c/п, это описывает только одну частотную составляющую. Когда различные частотные компоненты объединяются вместе, как при рассмотрении сигнала или импульса, часто больше интересует групповая скорость, которая описывает скорость, с которой распространяется импульс или информация, наложенная на волну (модуляция). В сопровождающей анимации видно, что сама волна (оранжево-коричневая) движется с фазовой скоростью, которая намного превышает скорость огибающей (черная), которая соответствует групповой скорости. Этот импульс может быть, например, сигналом связи, и его информация распространяется только с групповой скоростью, даже если он состоит из волновых фронтов, продвигающихся с большей скоростью (фазовая скорость).

Групповую скорость можно вычислить по кривой показателя преломления n (ω) или более непосредственно по волновому числу k = ωn / c, где ω - радианная частота ω = 2πf . В то время как одно выражение для фазовой скорости v _p = ω / k , групповая скорость может быть выражена с помощью производной : v _g = dω / dk . Или в терминах фазовой скорости v _p ,

${\displaystyle {v_{g}}={\frac {v_{p}}{1-{\frac {\omega }{v_{p}}}{\frac {dv_{p}}{d\omega }}}}.}$

Когда присутствует дисперсия, групповая скорость не только не будет равна фазовой скорости, но, как правило, сама будет изменяться в зависимости от длины волны. Это известно как дисперсия групповой скорости и вызывает уширение короткого светового импульса, поскольку различные частотные компоненты в пределах импульса перемещаются с разными скоростями. Дисперсия групповой скорости количественно определяется как производная обратной величины групповой скорости относительно радианной частоты, что приводит к дисперсии групповой скорости = d ² k / dω ² .

Если световой импульс распространяется через материал с положительной дисперсией групповой скорости, то компоненты с более короткой длиной волны распространяются медленнее, чем компоненты с большей длиной волны. Таким образом, импульс становится положительно чирпированным или повышающим , частота которого увеличивается со временем. С другой стороны, если импульс проходит через материал с отрицательной дисперсией групповой скорости, компоненты с более короткой длиной волны распространяются быстрее, чем более длинные, и импульс становится отрицательно чирпированным или чирпированным с понижением частоты, уменьшаясь по частоте со временем.

Параметр дисперсии групповой скорости :

${\displaystyle D=-{\frac {\lambda }{c}}\,{\frac {d^{2}n}{d\lambda ^{2}}}.}$

часто используется для количественной оценки GVD, которая пропорциональна D через отрицательный фактор:

${\displaystyle D=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}\,{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}.}$

According to some authors a medium is said to have normal dispersion/anomalous dispersion for a certain vacuum wavelength λ₀ if the second derivative of the refraction index calculated in λ₀ is positive/negative or, equivalently, if D(λ₀) is negative/positive.^[5] This definition concerns group velocity dispersion and should not be confused with the one given in previous section. The two definitions do not coincide in general, so the reader has to understand the context.

Dispersion control[edit]

The result of GVD, whether negative or positive, is ultimately temporal spreading of the pulse. This makes dispersion management extremely important in optical communications systems based on optical fiber, since if dispersion is too high, a group of pulses representing a bit-stream will spread in time and merge, rendering the bit-stream unintelligible. This limits the length of fiber that a signal can be sent down without regeneration. One possible answer to this problem is to send signals down the optical fibre at a wavelength where the GVD is zero (e.g., around 1.3–1.5 μm in silica fibres), so pulses at this wavelength suffer minimal spreading from dispersion. In practice, however, this approach causes more problems than it solves because zero GVD unacceptably amplifies other nonlinear effects (such as four wave mixing). Another possible option is to use soliton pulses in the regime of negative dispersion, a form of optical pulse which uses a nonlinear optical effect to self-maintain its shape. Solitons have the practical problem, however, that they require a certain power level to be maintained in the pulse for the nonlinear effect to be of the correct strength. Instead, the solution that is currently used in practice is to perform dispersion compensation, typically by matching the fiber with another fiber of opposite-sign dispersion so that the dispersion effects cancel; such compensation is ultimately limited by nonlinear effects such as self-phase modulation, which interact with dispersion to make it very difficult to undo.

Dispersion control is also important in lasers that produce short pulses. The overall dispersion of the optical resonator is a major factor in determining the duration of the pulses emitted by the laser. A pair of prisms can be arranged to produce net negative dispersion, which can be used to balance the usually positive dispersion of the laser medium. Diffraction gratings can also be used to produce dispersive effects; these are often used in high-power laser amplifier systems. Recently, an alternative to prisms and gratings has been developed: chirped mirrors. These dielectric mirrors are coated so that different wavelengths have different penetration lengths, and therefore different group delays. The coating layers can be tailored to achieve a net negative dispersion.

In waveguides[edit]

Waveguides are highly dispersive due to their geometry (rather than just to their material composition). Optical fibers are a sort of waveguide for optical frequencies (light) widely used in modern telecommunications systems. The rate at which data can be transported on a single fiber is limited by pulse broadening due to chromatic dispersion among other phenomena.

In general, for a waveguide mode with an angular frequency ω(β) at a propagation constant β (so that the electromagnetic fields in the propagation direction z oscillate proportional to e^i(βz−ωt)), the group-velocity dispersion parameter D is defined as:^[6]

${\displaystyle D=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}{\frac {d^{2}\beta }{d\omega ^{2}}}={\frac {2\pi c}{v_{g}^{2}\lambda ^{2}}}{\frac {dv_{g}}{d\omega }}}$

where λ = 2πc/ω is the vacuum wavelength and v_g = dω/dβ is the group velocity. This formula generalizes the one in the previous section for homogeneous media, and includes both waveguide dispersion and material dispersion. The reason for defining the dispersion in this way is that |D| is the (asymptotic) temporal pulse spreading Δt per unit bandwidth Δλ per unit distance travelled, commonly reported in ps/nm/km for optical fibers.

In the case of multi-mode optical fibers, so-called modal dispersion will also lead to pulse broadening. Even in single-mode fibers, pulse broadening can occur as a result of polarization mode dispersion (since there are still two polarization modes). These are not examples of chromatic dispersion as they are not dependent on the wavelength or bandwidth of the pulses propagated.

Higher-order dispersion over broad bandwidths[edit]

When a broad range of frequencies (a broad bandwidth) is present in a single wavepacket, such as in an ultrashort pulse or a chirped pulse or other forms of spread spectrum transmission, it may not be accurate to approximate the dispersion by a constant over the entire bandwidth, and more complex calculations are required to compute effects such as pulse spreading.

In particular, the dispersion parameter D defined above is obtained from only one derivative of the group velocity. Higher derivatives are known as higher-order dispersion.^{[7] [8]}These terms are simply a Taylor series expansion of the dispersion relation β(ω) of the medium or waveguide around some particular frequency. Their effects can be computed via numerical evaluation of Fourier transforms of the waveform, via integration of higher-order slowly varying envelope approximations, by a split-step method (which can use the exact dispersion relation rather than a Taylor series), or by direct simulation of the full Maxwell's equations rather than an approximate envelope equation.

Spatial dispersion[edit]

In electromagnetics and optics, the term dispersion generally refers to aforementioned temporal or frequency dispersion. Spatial dispersion refers to the non-local response of the medium to the space; this can be reworded as the wavevector dependence of the permittivity. For an exemplary anisotropic medium, the spatial relation between electric and electric displacement field can be expressed as a convolution:^[9]

${\displaystyle D_{i}(t,r)=E_{i}(t,r)+\int _{0}^{\infty }\int f_{ik}(\tau ;r,r')E_{k}(t-\tau ,r')dV'd\tau ,}$

where the kernel ${\displaystyle f_{ik}}$ is dielectric response (susceptibility); its indices make it in general a tensor to account for the anisotropy of the medium. Spatial dispersion is negligible in most macroscopic cases, where the scale of variation of ${\displaystyle E_{k}(t-\tau ,r')}$ is much larger than atomic dimensions, because the dielectric kernel dies out at macroscopic distances. Nevertheless, it can result in non-negligible macroscopic effects, particularly in conducting media such as metals, electrolytes and plasmas. Spatial dispersion also plays role in optical activity and Doppler broadening,^[9] as well as in the theory of metamaterials.^[10]

In gemology[edit]

In the technical terminology of gemology, dispersion is the difference in the refractive index of a material at the B and G (686.7 nm and 430.8 nm) or C and F (656.3 nm and 486.1 nm) Fraunhofer wavelengths, and is meant to express the degree to which a prism cut from the gemstone demonstrates "fire". Fire is a colloquial term used by gemologists to describe a gemstone's dispersive nature or lack thereof. Dispersion is a material property. The amount of fire demonstrated by a given gemstone is a function of the gemstone's facet angles, the polish quality, the lighting environment, the material's refractive index, the saturation of color, and the orientation of the viewer relative to the gemstone.^[11][12]

In imaging[edit]

In photographic and microscopic lenses, dispersion causes chromatic aberration, which causes the different colors in the image not to overlap properly. Various techniques have been developed to counteract this, such as the use of achromats, multielement lenses with glasses of different dispersion. They are constructed in such a way that the chromatic aberrations of the different parts cancel out.

Pulsar emissions[edit]

It has been suggested that this section be split out into another article titled Dispersion measure. (Discuss) (November 2015)

Pulsars are spinning neutron stars that emit pulses at very regular intervals ranging from milliseconds to seconds. Astronomers believe that the pulses are emitted simultaneously over a wide range of frequencies. However, as observed on Earth, the components of each pulse emitted at higher radio frequencies arrive before those emitted at lower frequencies. This dispersion occurs because of the ionized component of the interstellar medium, mainly the free electrons, which make the group velocity frequency dependent. The extra delay added at a frequency ν is

${\displaystyle t=k_{\mathrm {DM} }\cdot \left({\frac {\mathrm {DM} }{\nu ^{2}}}\right)}$

where the dispersion constant k_DM is given by

${\displaystyle k_{\mathrm {DM} }={\frac {e^{2}}{2\pi m_{\mathrm {e} }c}}\simeq 4.149\,\mathrm {GHz} ^{2}\,\mathrm {pc} ^{-1}\,\mathrm {cm} ^{3}\,\mathrm {ms} ,}$^[13]

and the dispersion measure (DM) is the column density of free electrons (total electron content) — i.e. the number density of electrons n_e (electrons/cm³) integrated along the path traveled by the photon from the pulsar to the Earth — and is given by

${\displaystyle \mathrm {DM} =\int _{0}^{d}{n_{e}\;dl}}$

with units of parsecs per cubic centimetre (1 pc/cm³ = 30.857 × 10²¹ m⁻²).^[14]

Typically for astronomical observations, this delay cannot be measured directly, since the emission time is unknown. What can be measured is the difference in arrival times at two different frequencies. The delay Δt between a high frequency ν_hi and a low frequency ν_lo component of a pulse will be

${\displaystyle \Delta t=k_{\mathrm {DM} }\cdot \mathrm {DM} \cdot \left({\frac {1}{\nu _{\mathrm {lo} }^{2}}}-{\frac {1}{\nu _{\mathrm {hi} }^{2}}}\right)}$

Rewriting the above equation in terms of Δt allows one to determine the DM by measuring pulse arrival times at multiple frequencies. This in turn can be used to study the interstellar medium, as well as allow for observations of pulsars at different frequencies to be combined.

See also[edit]

References[edit]

External links[edit]

Wikimedia Commons has media related to Dispersion (optics).

• Dispersive Wiki – discussing the mathematical aspects of dispersion.
• Dispersion – Encyclopedia of Laser Physics and Technology
• Animations demonstrating optical dispersion by QED
• Interactive webdemo for chromatic dispersion Institute of Telecommunications, University of Stuttgart