В математической области теории порядка , порядок изоморфизм является особым видом монотонной функции , что представляет собой подходящее понятие изоморфизма для частично упорядоченных множеств (Posets). Когда два множества изоморфны по порядку, они могут считаться «по существу одинаковыми» в том смысле, что любой из порядков может быть получен из другого просто путем переименования элементов. Два строго более слабых понятия, относящихся к изоморфизму порядка, - это вложения порядка и связности Галуа . [1]
Определение [ править ]
Формально, учитывая два множества и , изоморфизм порядка от до является биективной функцией от до со свойством, что для каждого и в , если и только если . То есть это биективное вложение порядка . [2]
Также возможно определить изоморфизм порядка как сюръективное вложение порядка. Двух предположений, охватывающих все элементы и сохраняющих порядок, достаточно, чтобы гарантировать, что это также взаимно однозначно, поскольку если бы тогда (по предположению, которое сохраняет порядок), это следовало бы, и , исходя из определения частичного порядка, что .
Еще одна характеристика изоморфизмов порядка состоит в том, что они являются в точности монотонными биекциями , имеющими монотонный обратный. [3]
Порядковый изоморфизм частично упорядоченного множества в себя называется порядковым автоморфизмом . [4]
Когда на множества и накладывается дополнительная алгебраическая структура , функция от до должна удовлетворять дополнительным свойствам, чтобы ее можно было рассматривать как изоморфизм. Например, если две частично упорядоченные группы (РО-группы) и , An изоморфизм PO-групп из , чтобы на порядок изоморфизм, также изоморфизм групп , а не только взаимно однозначное соответствие, что это заказ вложение . [5]
Примеры [ править ]
- Функция идентичности на любом частично упорядоченном множестве всегда является порядковым автоморфизмом.
- Отрицание - это изоморфизм порядка от до (где - множество действительных чисел и обозначает обычное числовое сравнение), поскольку - x ≥ - y тогда и только тогда, когда x ≤ y . [6]
- Открытый интервал (опять же , упорядоченный численно) не имеет изоморфизм порядка или из замкнутого интервала : замкнутый интервал имеет наименьший элемент, но открытый интервал не делает, и изоморфизмы порядка должны сохранить существование наименьших элементов. [7]
Типы заказов [ править ]
Если - изоморфизм порядка, то и обратная ему функция - тоже . Кроме того , если есть порядок изоморфизм , чтобы и на порядке изоморфизм к , то функции композиция из и самого по себе является порядковым изоморфизм, от до . [8]
Два частично упорядоченных множества называются изоморфными по порядку, если существует изоморфизм по порядку от одного к другому. [9] Функции тождества, обратные функции и композиции функций соответствуют трем определяющим характеристикам отношения эквивалентности : рефлексивности , симметрии и транзитивности . Следовательно, изоморфизм порядка является отношением эквивалентности. Класс частично упорядоченных множеств может быть разделен им на классы эквивалентности , семейства частично упорядоченных множеств, которые все изоморфны друг другу. Эти классы эквивалентности называются типами заказов .
См. Также [ править ]
- Шаблон перестановки, перестановка, изоморфная по порядку подпоследовательности другой перестановки
Заметки [ править ]
- ^ Блох (2011) ; Цесельский (1997) .
- ^ Это определение используется Ciesielski (1997) . Для Блоха (2011) и Шредера (2003) это следствие другого определения.
- ^ Это определение использовали Блох (2011) и Шредер (2003) .
- ^ Шредер (2003) , стр. 13.
- ^ Это определение эквивалентно определению, данному Фуксом (1963) .
- ^ См. Пример 4 Ciesielski (1997) , стр. 39., для аналогичного примера с целыми числами вместо действительных чисел.
- ^ Ciesielski (1997) , пример 1, стр. 39.
- ^ Ciesielski (1997) ; Шредер (2003) .
- ^ Ciesielski (1997) .
Ссылки [ править ]
- Блох, Итан Д. (2011), Доказательства и основы: первый курс абстрактной математики , тексты для бакалавриата по математике (2-е изд.), Springer, стр. 276–277, ISBN 9781441971265.
- Чесельски, Кшиштоф (1997), Теория множеств для работающего математика , Тексты студентов Лондонского математического общества, 39 , Cambridge University Press, стр. 38–39, ISBN 9780521594653.
- Шредер, Бернд Зигфрид Вальтер (2003), Упорядоченные множества: Введение , Springer, стр. 11, ISBN 9780817641283.
- Fuchs, Laszlo (1963), частично упорядоченные алгебраические системы , Dover Publications; Репринтное издание (5 марта 2014 г.), стр. 2–3, ISBN 0486483878.