В математике функции параболического цилиндра - это специальные функции, определенные как решения дифференциального уравнения
d 2 ж d z 2 + ( а ~ z 2 + б ~ z + c ~ ) ж знак равно 0. {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + \ left ({\ tilde {a}} z ^ {2} + {\ tilde {b}} z + {\ tilde) {c}} \ right) f = 0.} ( 1 )
Это уравнение находится, когда метод разделения переменных используется в уравнении Лапласа, выраженном в параболических цилиндрических координатах .
Вышеупомянутое уравнение может быть преобразовано в две различные формы (A) и (B) путем завершения квадрата и изменения масштаба z , которые называются уравнениями Х. Ф. Вебера ( Weber 1869 ) :ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFWeber1869 ( справка )
d 2 f d z 2 − ( 1 4 z 2 + a ) f = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}-\left({\tfrac {1}{4}}z^{2}+a\right)f=0} а также
d 2 f d z 2 + ( 1 4 z 2 − a ) f = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left({\tfrac {1}{4}}z^{2}-a\right)f=0.} Если
f ( a , z ) {\displaystyle f(a,z)\,} это решение, то также
f ( a , − z ) , f ( − a , i z ) and f ( − a , − i z ) . {\displaystyle f(a,-z),f(-a,iz){\text{ and }}f(-a,-iz).\,} Если
f ( a , z ) {\displaystyle f(a,z)\,} является решением уравнения (A), то
f ( − i a , z e ( 1 / 4 ) π i ) {\displaystyle f(-ia,ze^{(1/4)\pi i})\,} является решением (B), и в силу симметрии
f ( − i a , − z e ( 1 / 4 ) π i ) , f ( i a , − z e − ( 1 / 4 ) π i ) and f ( i a , z e − ( 1 / 4 ) π i ) {\displaystyle f(-ia,-ze^{(1/4)\pi i}),f(ia,-ze^{-(1/4)\pi i}){\text{ and }}f(ia,ze^{-(1/4)\pi i})\,} также являются решениями (B).
Существуют независимые четные и нечетные решения вида (A). Они даются (после обозначений Абрамовица и Стегуна (1965)):
y 1 ( a ; z ) = exp ( − z 2 / 4 ) 1 F 1 ( 1 2 a + 1 4 ; 1 2 ; z 2 2 ) ( e v e n ) {\displaystyle y_{1}(a;z)=\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{4}};\;{\tfrac {1}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {even} )} а также
y 2 ( a ; z ) = z exp ( − z 2 / 4 ) 1 F 1 ( 1 2 a + 3 4 ; 3 2 ; z 2 2 ) ( o d d ) {\displaystyle y_{2}(a;z)=z\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {3}{4}};\;{\tfrac {3}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {odd} )} где - конфлюэнтная гипергеометрическая функция . 1 F 1 ( a ; b ; z ) = M ( a ; b ; z ) {\displaystyle \;_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)}
Другие пары независимых решений могут быть образованы из линейных комбинаций вышеуказанных решений (см. Абрамовиц и Стегун). Одна такая пара основана на их поведении на бесконечности:
U ( a , z ) = 1 2 ξ π [ cos ( ξ π ) Γ ( 1 / 2 − ξ ) y 1 ( a , z ) − 2 sin ( ξ π ) Γ ( 1 − ξ ) y 2 ( a , z ) ] {\displaystyle U(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}}}\left[\cos(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)-{\sqrt {2}}\sin(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]} V ( a , z ) = 1 2 ξ π Γ [ 1 / 2 − a ] [ sin ( ξ π ) Γ ( 1 / 2 − ξ ) y 1 ( a , z ) + 2 cos ( ξ π ) Γ ( 1 − ξ ) y 2 ( a , z ) ] {\displaystyle V(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}\Gamma [1/2-a]}}\left[\sin(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)+{\sqrt {2}}\cos(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]} где
ξ = 1 2 a + 1 4 . {\displaystyle \xi ={\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}}.} Функция U ( a , z ) стремится к нулю при больших значениях z и | arg ( z ) | <π / 2, а V ( a , z ) расходится при больших положительных вещественных z .
lim z → ∞ U ( a , z ) / e − z 2 / 4 z − a − 1 / 2 = 1 ( for | arg ( z ) | < π / 2 ) {\displaystyle \lim _{z\rightarrow \infty }U(a,z)/e^{-z^{2}/4}z^{-a-1/2}=1\,\,\,\,({\text{for}}\,|\arg(z)|<\pi /2)} а также
lim z → ∞ V ( a , z ) / 2 π e z 2 / 4 z a − 1 / 2 = 1 ( for arg ( z ) = 0 ) . {\displaystyle \lim _{z\rightarrow \infty }V(a,z)/{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{z^{2}/4}z^{a-1/2}=1\,\,\,\,({\text{for}}\,\arg(z)=0).} Для полуцелых значений a они (то есть U и V ) могут быть повторно выражены через полиномы Эрмита ; в качестве альтернативы они также могут быть выражены через функции Бесселя .
Функции U и V также могут быть связаны с функциями D p ( x ) (обозначение, восходящее к Уиттекеру (1902 г.)), которые сами иногда называются функциями параболического цилиндра (см. Abramowitz and Stegun (1965)):
U ( a , x ) = D − a − 1 2 ( x ) , {\displaystyle U(a,x)=D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x),} V ( a , x ) = Γ ( 1 2 + a ) π [ sin ( π a ) D − a − 1 2 ( x ) + D − a − 1 2 ( − x ) ] . {\displaystyle V(a,x)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+a)}{\pi }}[\sin(\pi a)D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x)+D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(-x)].} Функция D a (z) была введена Уиттакером и Ватсоном как решение уравнения ~ ( 1 a ~ = − 1 4 , b ~ = 0 , c ~ = a + 1 2 {\displaystyle {\tilde {a}}=-{\frac {1}{4}},{\tilde {b}}=0,{\tilde {c}}=a+{\frac {1}{2}}} + ∞ {\displaystyle +\infty }
D a ( z ) = 1 π 2 a / 2 e − z 2 4 ( cos ( π a 2 ) Γ ( a + 1 2 ) 1 F 1 ( − a 2 ; 1 2 ; z 2 2 ) + 2 z sin ( π a 2 ) Γ ( a 2 + 1 ) 1 F 1 ( 1 2 − a 2 ; 3 2 ; z 2 2 ) ) . {\displaystyle D_{a}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{2^{a/2}e^{-{\frac {z^{2}}{4}}}\left(\cos \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {a}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)+{\sqrt {2}}z\sin \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a}{2}}+1\right)\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)\right)}.} Эта статья включает в себя
список литературы , связанной литературы или
внешних ссылок ,
но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты .
Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Декабрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 19» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 686. ISBN. 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .Розов, Н.Х. (2001) [1994], "Уравнение Вебера" , Энциклопедия математики EMS Press Темме, Н.М. (2010), «Функция параболического цилиндра» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST Вебер, HF (1869) "Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung ". Математика. Аня. , 1, 1–36 ∂ 2 u / ∂ x 2 + ∂ 2 u / ∂ y 2 + k 2 u = 0 {\displaystyle \partial ^{2}u/\partial x^{2}+\partial ^{2}u/\partial y^{2}+k^{2}u=0} Whittaker, ET (1902) "О функциях, связанных с параболическим цилиндром в гармоническом анализе" Proc. Лондонская математика. Soc. 35, 417–427. Уиттакер, Е.Т. и Уотсон, Г.Н. «Функция параболического цилиндра». §16.5 в курсе современного анализа, 4-е изд. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, стр. 347-348, 1990. 
![U (a, z) = {\ frac {1} {2 ^ {\ xi} {\ sqrt {\ pi}}}} \ left [\ cos (\ xi \ pi) \ Gamma (1 / 2- \ xi ) \, y_ {1} (a, z) - {\ sqrt {2}} \ sin (\ xi \ pi) \ Gamma (1- \ xi) \, y_ {2} (a, z) \ right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f23625c2c6830ba58f8fa8a65769115cf44cbfd8)
![V (a, z) = {\ frac {1} {2 ^ {\ xi} {\ sqrt {\ pi}} \ Gamma [1/2-a]}} \ left [\ sin (\ xi \ pi) \ Gamma (1/2- \ xi) \, y_ {1} (a, z) + {\ sqrt {2}} \ cos (\ xi \ pi) \ Gamma (1- \ xi) \, y_ {2 } (a, z) \ right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71265ff3675d05ec58aa4da0391d9130c22d27b)
![V (a, x) = {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac 12} + a)} {\ pi}} [\ sin (\ pi a) D _ {{- a - {\ tfrac 12}}} ( x) + D _ {{- a - {\ tfrac 12}}} (- x)].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986fdc7a57024b172e3f9304db50fbf569973e95)
