Пол Коэн

Чтобы узнать о других людях по имени Пол Коэн, см. Пол Коэн (значения) . Не путать с Полом Коном .

Пол Джозеф Коэн (2 апреля 1934 - 23 марта 2007) ^[1] был американским математиком . Он является самым известным за его доказательств того, что гипотеза континуума и аксиома выбора являются независимыми от теории множеств Цермело-Френкеля , за которую он был удостоен медали Филдса . ^[2]

Ранняя жизнь и образование [ править ]

Коэн родился в Лонг-Бранче, штат Нью-Джерси , в еврейской семье, иммигрировавшей в Соединенные Штаты из нынешней Польши ; он вырос в Бруклине . ^{[3] [4]} В 1950 году он окончил среднюю школу Стуйвесант в Нью-Йорке в возрасте 16 лет . ^{[1] [4]}

Затем Коэн учился в Бруклинском колледже с 1950 по 1953 год, но ушел, не получив степени бакалавра, когда узнал, что может начать учебу в Чикагском университете, проучившись всего два года. В Чикаго Коэн получил степень магистра математики в 1954 году и степень доктора философии в 1958 году под руководством Антони Зигмунда . Его докторская диссертация называлась «Вопросы теории единственности тригонометрических рядов» . ^[5]

В 1957 году, перед присуждением докторской степени, Коэн был назначен на год преподавателем математики в Университете Рочестера. Затем он провел 1958–59 учебный год в Массачусетском технологическом институте, а затем провел 1959–61 в качестве научного сотрудника в Институте перспективных исследований в Принстоне. Это были годы, когда Коэн совершил ряд значительных математических открытий. В своей работе « Факторизация в групповых алгебрах» (1959) он показал, что любая интегрируемая функция на локально компактной группе является сверткой двух таких функций, решив проблему, поставленную Вальтером Рудиным . В книге «О гипотезе Литтлвуда и идемпотентных мерах» (1960) Коэн совершил значительный прорыв в решении гипотезы Литтлвуда. ^[6]

2 июня 1995 года Коэн получил звание почетного доктора факультета науки и технологий Упсальского университета , Швеция . ^[7]

Карьера [ править ]

Коэн известен разработкой математической техники, называемой форсированием , которую он использовал для доказательства того, что ни гипотеза континуума (CH), ни аксиома выбора не могут быть доказаны с помощью стандартных аксиом Цермело – Френкеля (ZF) теории множеств . В сочетании с более ранней работой Гёделя это показало, что оба этих утверждения логически независимы от аксиом ZF: эти утверждения нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью этих аксиом. В этом смысле гипотеза континуума неразрешима, и это наиболее широко известный пример естественного утверждения, которое не зависит от стандартных аксиом ZF теории множеств.

За свой результат по гипотезе континуума Коэн получил медаль Филдса по математике в 1966 году, а также Национальную медаль науки в 1967 году. ^[8] Медаль Филдса, которую получил Коэн, продолжает оставаться единственной медалью Филдса, присуждаемой за работу. по математической логике, по состоянию на 2018 год.

Помимо работы в области теории множеств, Коэн также внес ценный вклад в анализ. Он был награжден премией Мемориала Бохера по математическому анализу в 1964 году за свою статью «О гипотезе Литтлвуда и идемпотентных мерах » ^[9] и назвал свое имя теоремой факторизации Коэна – Хьюитта .

Коэн был профессором математики в Стэнфордском университете . Он был приглашенным спикером на ICM в 1962 году в Стокгольме и в 1966 году в Москве.

Ангус Макинтайр из Лондонского университета королевы Марии сказал о Коэне: «Он был устрашающе умен, и нужно было быть наивным или исключительно альтруистичным, чтобы поставить свою« сложнейшую проблему »перед Полом, которого я знал в 60-е». Далее он сравнил Коэна с Куртом Геделем , сказав: «Ничего более драматичного, чем их работа, не произошло в истории предмета». ^[10]Сам Гёдель написал письмо Коэну в 1963 году, в черновике которого говорилось: «Позвольте мне повторить, что мне действительно приятно читать ваше доказательство [независимости] конт [иннуума] гип [остезы]. Я думаю, что во всех существенных отношениях вы предоставили наилучшее возможное доказательство, и это случается нечасто. Чтение вашего доказательства оказало на меня такое же приятное впечатление, как и просмотр действительно хорошей пьесы ». ^[11]

Гипотеза континуума [ править ]

При изучении гипотезы континуума Коэн, как цитируют, сказал в 1985 году, что у него «было ощущение, что люди думали, что проблема безнадежна, поскольку не было нового способа построения моделей теории множеств. сумасшедший даже думать о проблеме ». ^[12]

«Точка зрения, которую, по мнению автора [Коэна], в конечном итоге может принять, заключается в том, что CH явно ложна. Основная причина, по которой кто-то принимает аксиому бесконечности , вероятно, состоит в том, что мы считаем абсурдным думать, что процесс добавления только одного набор за один раз может исчерпать всю вселенную. Точно так же с высшими аксиомами бесконечности. Теперь это мощность множества счетных ординалов, и это просто особый и простейший способ создания высшего кардинала. Множество [континуум ], напротив, порождается совершенно новым и более мощным принципом, а именно аксиомой множества степеней . Неразумно ожидать, что любое описание большего кардинала, которое пытается построить это кардинал из идей, происходящих из${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle C}$аксиома замены может когда-нибудь дойти .${\ displaystyle C}$

Таким образом , больше, чем , где и т. Д. Эта точка зрения рассматривается как невероятно богатый набор, данный нам одной смелой новой аксиомой, к которой никогда нельзя приблизиться с помощью какого-либо фрагментарного процесса построения. Возможно, последующие поколения яснее увидят проблему и выразятся более красноречиво » ^[13].${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ aleph _ {n}, \ aleph _ {\ omega}, \ aleph _ {a}}$${\ displaystyle a = \ aleph _ {\ omega}}$${\ displaystyle C}$

«Непреходящий и мощный продукт» работы Коэна по гипотезе континуума, который использовался «бесчисленным количеством математиков» ^[12] , известен как «принуждение» , и он используется для построения математических моделей для проверки данной гипотезы на предмет правда или ложь.

Незадолго до своей смерти Коэн прочитал лекцию, в которой описал свое решение проблемы гипотезы континуума на конференции, посвященной столетию Гёделя в 2006 году в Вене . ^[14]

Смерть [ править ]

У Коэна и его жены Кристины (урожденной Карлс) было трое сыновей. Коэн умер 23 марта 2007 года в Стэнфорде, штат Калифорния, от заболевания легких . ^[15]

Избранные публикации [ править ]

• Коэн, Пол Дж. (Декабрь 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. Bibcode : 1963PNAS ... 50.1143C . DOI : 10.1073 / pnas.50.6.1143 . PMC  221287 . PMID  16578557 .
• Коэн, Пол Дж. (Январь 1964 г.). «Независимость гипотезы континуума, II» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 51 (1): 105–110. Bibcode : 1964PNAS ... 51..105C . DOI : 10.1073 / pnas.51.1.105 . PMC  300611 . PMID  16591132 .

См. Также [ править ]

• Коэновская алгебра

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Акихиро Канамори , « Коэн и теория множеств », Бюллетень символической логики , том 14, номер 3, сентябрь 2008 г.
• Сарнак, Питер (декабрь 2007 г.). «Вспоминая Пола Коэна» (PDF) . MAA Focus . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. 27 (9): 21–22. ISSN  0731-2040 . Проверено 31 мая 2009 .

Внешние ссылки [ править ]

В Wikiquote есть цитаты, связанные с: Полом Коэном

• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Пол Джозеф Коэн" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
• Пол Джозеф Коэн в проекте « Математическая генеалогия»
• paulcohen.org - памятный веб-сайт, посвященный жизни Пола Коэна
• Стэнфордский некролог