В математической общей теории относительности , то Пенроуза неравенство , первым высказал предположение , сэр Роджер Пенроуз , оценивает массу пространства - времени с точки зрения общей площади ее черных дыр и является обобщением теоремы положительной массой . Неравенство риманова Пенроуза является важным частным случаем. В частности, если ( M , g ) - асимптотически плоское риманово трехмерное многообразие с неотрицательной скалярной кривизной и массой m ADM , а A - площадь самого внешнегоминимальной поверхности (возможно, с кратными компонентами связности ), то риманово неравенство Пенроуза утверждает
Это чисто геометрический факт, и это соответствует случаю полного трехмерного, пространства-как , вполне геодезического подмногообразия а (3 + 1) -мерном пространстве - времени. Такое подмногообразие часто называют симметричным по времени исходным набором данных для пространства-времени. Условие наличия неотрицательной скалярной кривизны ( M , g ) эквивалентно пространству-времени, подчиняющемуся доминирующему энергетическому условию .
Это неравенство было впервые доказано Герхардом Хьюскеном и Томом Ильманеном в 1997 году в случае, когда A - площадь наибольшего компонента самой внешней минимальной поверхности. Их доказательство опиралось на разработанный ими механизм слабо определенного потока обратной средней кривизны . В 1999 году Хьюберт Брей дал первое полное доказательство указанного неравенства, используя конформный поток метрик. Обе статьи были опубликованы в 2001 году.
Физическая мотивация [ править ]
Первоначальный физический аргумент, который привел Пенроуза к гипотезе о таком неравенстве, основывался на теореме об области Хокинга и гипотезе космической цензуры .
Случай равенства [ править ]
Доказательства Брея и Хьюскена – Ильманена риманова неравенства Пенроуза утверждают, что согласно гипотезам, если
тогда рассматриваемое многообразие изометрично срезу пространства-времени Шварцшильда за пределами самой внешней минимальной поверхности.
Гипотеза Пенроуза [ править ]
В более общем смысле, Пенроуз предположил, что неравенство, указанное выше, должно выполняться для пространственноподобных подмногообразий пространств-времени, которые не обязательно являются симметричными по времени. В этом случае неотрицательная скалярная кривизна заменяется доминирующим энергетическим условием , и одна из возможностей заключается в замене минимального состояния поверхности условием видимого горизонта . Доказательство такого неравенства остается открытой проблемой в общей теории относительности, называемой гипотезой Пенроуза.
В популярной культуре [ править ]
- В 6-й серии 8-го сезона телесериала « Теория большого взрыва» доктор Шелдон Купер утверждает, что находится в процессе решения гипотезы Пенроуза, в то же время сочиняя свою речь о вручении Нобелевской премии.
Ссылки [ править ]
- Брей, Х. (2001). «Доказательство риманова неравенства Пенроуза с помощью теоремы о положительной массе» . Журнал дифференциальной геометрии . 59 (2): 177–267. Bibcode : 2001JDGeo..59..177B . DOI : 10.4310 / JDG / 1090349428 . MR 1908823 .
- Bray, H .; Chruściel, П. (2003). «Неравенство Пенроуза». arXiv : gr-qc / 0312047 .
- Huisken, G .; Ильманен, Т. (1997). «Риманово неравенство Пенроуза». Уведомления о международных математических исследованиях . 1997 (20): 1045–1058. DOI : 10.1155 / S1073792897000664 . ISSN 1073-7928 . Руководство по ремонту 1486695 .
- Huisken, G .; Ильманен, Т. (2001). «Обратный поток средней кривизны и риманово неравенство Пенроуза» . Журнал дифференциальной геометрии . 59 (3): 353–437. DOI : 10.4310 / JDG / 1090349447 . MR 1916951 .
