Поликуб представляет собой твердый фигура , образованная путем присоединения одного или более равные кубы лицом к лицу. Поликубы - это трехмерные аналоги плоских полимино . Сома куб , то куб Бедлам , то Дьявольский куб , то головоломка Slothouber-Graatsma и головоломки Conway являются примерами упаковки проблемы , основанной на polycubes. [1]
Подобно полиимино , поликубы можно пронумеровать двумя способами, в зависимости от того, считаются ли хиральные пары поликубов одним или двумя поликубами. Например, 6 тетракубов имеют зеркальную симметрию , а один - хиральный , что дает 7 или 8 тетракубов соответственно. [2] В отличие от полимино, поликубы обычно считаются с выделенными парами зеркал, потому что нельзя перевернуть поликуб, чтобы отразить его, как можно полимино с учетом трех измерений. В частности, куб Сома использует обе формы хирального тетракуба.
Поликубы классифицируются по количеству кубических ячеек в них: [3]
п | Имя n -polycube | Количество односторонних n -поликубов (отражения считаются отдельными) (последовательность A000162 в OEIS ) | Количество свободных n -поликубов (отражения учитываются вместе) (последовательность A038119 в OEIS ) |
---|---|---|---|
1 | монокуб | 1 | 1 |
2 | dicube | 1 | 1 |
3 | трикуб | 2 | 2 |
4 | тетракуб | 8 | 7 |
5 | пентакуб | 29 | 23 |
6 | шестигранник | 166 | 112 |
7 | гептакуб | 1023 | 607 |
8 | октакуб | 6922 | 3811 |
Поликубы были пронумерованы до n = 16. [4] Совсем недавно были исследованы определенные семейства поликубов. [5] [6]
Как и в случае с полиимино, поликубы можно классифицировать в зависимости от того, сколько у них симметрий. Симметрии поликуба (классы сопряженности подгрупп ахиральной октаэдрической группы ) были впервые перечислены У. Ф. Ланноном в 1972 году. Большинство поликубов асимметричны, но многие из них имеют более сложные группы симметрии, вплоть до полной группы симметрии куба с 48 элементами. . Возможны многие другие симметрии; например, существует семь возможных форм 8-кратной симметрии [2]
12 пентакубов плоские и соответствуют пентамино . 5 из остальных 17 имеют зеркальную симметрию, а остальные 12 образуют 6 хиральных пар.
Ограничивающие прямоугольники пентакубов имеют размеры 5 × 1 × 1, 4 × 2 × 1, 3 × 3 × 1, 3 × 2 × 1, 4 × 2 × 2, 3 × 2 × 2 и 2 × 2 × 2. . [7]
Поликуб может иметь до 24 ориентаций в кубической решетке или 48, если допускается отражение. Из пентакубов две плоскости (5-1-1 и крест) имеют зеркальную симметрию по всем трем осям; у них есть только три ориентации. 10 имеют одну зеркальную симметрию; у них есть 12 ориентаций. Каждый из оставшихся 17 пентакубов имеет 24 ориентации.
Тессеракт (четырехмерный гиперкуб ) имеет восемь кубов , как его грани , а так же , как куб может быть разворачивались в гексамин , тессеракт может быть развернут в octacube. Одно развертывание, в частности, имитирует хорошо известное развертывание куба в латинский крест : оно состоит из четырех кубов, уложенных друг на друга, а еще четыре куба прикреплены к открытым квадратным граням второго сверху. куб из стека, чтобы сформировать трехмерную форму двойного креста . Сальвадор Дали использовал эту форму в своей картине « Распятие» (Corpus Hypercubus) 1954 года [8], и она описана вРассказ Роберта А. Хайнлайна 1940 года « И он построил кривой дом ». [9] В честь Дали этот октакуб был назван крестом Дали . [10] [11] Это может мозаичное пространство . [10]
В более общем плане (отвечая на вопрос, заданный Мартином Гарднером в 1966 году), из всех 3811 различных свободных октакубов 261 являются развёртыванием тессеракта. [10] [12]
Хотя кубы поликуба должны быть соединены квадрат с квадратом, квадраты его границы не обязательно должны быть соединены ребром к краю. Например, 26-куб, сформированный путем создания сетки кубов 3 × 3 × 3 и последующего удаления центрального куба, является действительным поликубом, в котором граница внутренней пустоты не соединена с внешней границей. Также не требуется, чтобы граница поликуба образовывала многообразие . Например, у одного из пентакубов есть два куба, которые пересекаются друг с другом, так что ребро между ними является стороной четырех граничных квадратов.
Если поликуб имеет дополнительное свойство, состоящее в том, что его дополнение (набор целочисленных кубов, не принадлежащих поликубу) соединяется путями из кубов, пересекающихся квадратом с квадратом, то граничные квадраты поликуба обязательно также соединяются путями. квадратов, пересекающихся от края до края. [13] То есть в данном случае граница образует полииминоид .
Можно ли каждый поликуб со связной границей развернуть в полимино? Если да, то может ли каждый такой поликуб быть развернутым до полимино, покрывающего плоскость?
Каждый k -куб с k <7 , а также крест Дали (с k = 8 ) можно развернуть до полимино, мозаичного на плоскости. Остается открытым вопрос , можно ли развернуть каждый поликуб со связной границей в полимино, или это всегда можно сделать с дополнительным условием, что полимино разбивает плоскость. [11]
Структуру поликуба можно визуализировать с помощью «двойного графа», у которого есть вершина для каждого куба и ребро для каждых двух кубов, которые имеют общий квадрат. [14] Это отличается от одноименных понятий двойственного многогранника и двойственного графа графа, вложенного в поверхность.
Двойственные графы также использовались для определения и изучения специальных подклассов поликубов, таких как те, чей двойственный граф является деревом. [15]
Роберт Хайнлайн «И он построил кривый дом», опубликованный в 1940 году. и книга Мартина Гарднера «Беспристрастный профессор», опубликованная в 1946 году, являются одними из первых в научной фантастике, знакомящих читателей с лентой Мебиуса, бутылкой Клейна и гиперкубом (тессеракт)..