В математике , то уравнение Пикара-Фукс , названное в честь Émile Picard и Lazarus Fuchs , является линейным обыкновенным дифференциальным уравнением , чьи решения описывают периоды эллиптических кривых .
Определение
Позволять
быть j-инвариантом с а также эти модульные инварианты эллиптической кривой в вейерштрассовой форме :
Обратите внимание , что J -инвариантным является изоморфизмом из римановой поверхности в сферу Римана ; где- верхняя полуплоскость и- модульная группа . Тогда уравнение Пикара – Фукса имеет вид
Написано в Q-форме , есть
Решения
Это уравнение можно представить в виде гипергеометрического дифференциального уравнения . Он имеет два линейно независимых решения, называемых периодами эллиптических функций. Отношение двух периодов равно отношению периодов τ, стандартной координате в верхней полуплоскости. Однако отношение двух решений гипергеометрического уравнения также известно как карта треугольника Шварца .
Уравнение Пикара – Фукса может быть преобразовано в форму дифференциального уравнения Римана , и, таким образом, решения могут быть непосредственно считаны в терминах P-функций Римана . Надо
Можно указать по крайней мере четыре метода, чтобы найти обратную j-функцию .
Дедекинд определяет j- функцию ее производной Шварца в своем письме Борхардту. Как частичная дробь, он показывает геометрию фундаментальной области:
где ( Sƒ ) ( х ) является производной Шварца от ƒ относительно х .
Обобщение
В алгебраической геометрии было показано, что это уравнение является очень частным случаем общего явления, связности Гаусса – Манина .
Рекомендации
Педагогический
- Шнелл, Кристиан, О вычислении уравнений Пикара-Фукса (PDF)
- Дж. Харнад и Дж. Маккей, Модульные решения уравнений обобщенного типа Хальфена , Proc. R. Soc. Лондон. А 456 (2000), 261–294,
Рекомендации
- Дж. Харнад, Уравнения Пикара – Фукса, Хауптмодули и интегрируемые системы , глава 8 (стр. 137–152) интегрируемости: уравнение Зайберга – Виттена и Уитема (ред. Х. У. Брейден и И. М. Кричевер, Гордон и Брич, Амстердам (2000)) ). arXiv: solv-int / 9902013
- Для подробного доказательства уравнения Пикара-Фукса: Милла, Лоренц (2018), Подробное доказательство формулы Чудновского средствами базового комплексного анализа , arXiv : 1809.00533