В математике дифференциальное уравнение Римана , названное в честь Бернхарда Римана , представляет собой обобщение гипергеометрического дифференциального уравнения , позволяющее регулярным особым точкам встречаться где угодно на сфере Римана , а не только в точках 0, 1 и . Уравнение также известно как уравнение Папперица . [1] ∞ {\ Displaystyle \ infty}
Гипергеометрическое дифференциальное уравнение представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка, которое имеет три регулярные особые точки, 0, 1 и . Это уравнение допускает два линейно независимых решения; вблизи особенности решения принимают вид , где – локальная переменная, и локально голоморфно с . Вещественное число называется показателем степени решения при . Пусть α , β и γ будут показателями одного решения в 0, 1 и соответственно; и пусть α' , β' и γ' будут таковыми у другого. затем ∞ {\ Displaystyle \ infty} г с {\ displaystyle z_ {s}} Икс с ф ( Икс ) {\ Displaystyle х ^ {s} е (х)} Икс знак равно г − г с {\ Displaystyle х = z-z_ {s}} ф {\ Displaystyle е} ф ( 0 ) ≠ 0 {\ Displaystyle е (0) \ neq 0} с {\displaystyle s} z s {\displaystyle z_{s}} ∞ {\displaystyle \infty }
α + α ′ + β + β ′ + γ + γ ′ = 1. {\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.} Применяя подходящие замены переменных, можно преобразовать гипергеометрическое уравнение: применение преобразований Мёбиуса скорректирует положение обычных особых точек, в то время как другие преобразования (см. Ниже) могут изменить показатели в обычных особых точках в зависимости от показателей сложение до 1.
Определение Дифференциальное уравнение имеет вид
d 2 w d z 2 + [ 1 − α − α ′ z − a + 1 − β − β ′ z − b + 1 − γ − γ ′ z − c ] d w d z {\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {1-\alpha -\alpha '}{z-a}}+{\frac {1-\beta -\beta '}{z-b}}+{\frac {1-\gamma -\gamma '}{z-c}}\right]{\frac {dw}{dz}}} + [ α α ′ ( a − b ) ( a − c ) z − a + β β ′ ( b − c ) ( b − a ) z − b + γ γ ′ ( c − a ) ( c − b ) z − c ] w ( z − a ) ( z − b ) ( z − c ) = 0. {\displaystyle +\left[{\frac {\alpha \alpha '(a-b)(a-c)}{z-a}}+{\frac {\beta \beta '(b-c)(b-a)}{z-b}}+{\frac {\gamma \gamma '(c-a)(c-b)}{z-c}}\right]{\frac {w}{(z-a)(z-b)(z-c)}}=0.} Регулярными особыми точками являются a , b , и c . Показатели решений в этих регулярных особых точках равны соответственно α ; α' β ; β' γ ; γ′
α + α ′ + β + β ′ + γ + γ ′ = 1. {\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.} Решения и связь с гипергеометрической функцией Решения обозначаются P-символом Римана (также известным как символ Папперица ) .
w ( z ) = P { a b c α β γ z α ′ β ′ γ ′ } {\displaystyle w(z)=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}} Стандартная гипергеометрическая функция может быть выражена как
2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = P { 0 ∞ 1 0 a 0 z 1 − c b c − a − b } {\displaystyle \;_{2}F_{1}(a,b;c;z)=P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&a&0&z\\1-c&b&c-a-b&\;\end{matrix}}\right\}} P-функции подчиняются ряду тождеств; один из них позволяет выразить общую P-функцию через гипергеометрическую функцию. это
P { a b c α β γ z α ′ β ′ γ ′ } = ( z − a z − b ) α ( z − c z − b ) γ P { 0 ∞ 1 0 α + β + γ 0 ( z − a ) ( c − b ) ( z − b ) ( c − a ) α ′ − α α + β ′ + γ γ ′ − γ } {\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\;\end{matrix}}\right\}} Другими словами, можно записать решения в терминах гипергеометрической функции как
w ( z ) = ( z − a z − b ) α ( z − c z − b ) γ 2 F 1 ( α + β + γ , α + β ′ + γ ; 1 + α − α ′ ; ( z − a ) ( c − b ) ( z − b ) ( c − a ) ) {\displaystyle w(z)=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }\;_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +\beta '+\gamma ;1+\alpha -\alpha ';{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\right)} Таким образом можно получить полный набор 24 решений Куммера ; см. статью о гипергеометрическом дифференциальном уравнении , посвященную решению Куммера.
Дробные линейные преобразования P-функция обладает простой симметрией под действием дробно-линейных преобразований , известных как преобразования Мёбиуса (которые являются конформными переотображениями сферы Римана), или, что то же самое, под действием группы GL (2, C )комплексных чисел A , B , C , D таких, что AD − BC ≠ 0
u = A z + B C z + D and η = A a + B C a + D {\displaystyle u={\frac {Az+B}{Cz+D}}\quad {\text{ and }}\quad \eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}} а также
ζ = A b + B C b + D and θ = A c + B C c + D {\displaystyle \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ and }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}} тогда имеет место простое соотношение
P { a b c α β γ z α ′ β ′ γ ′ } = P { η ζ θ α β γ u α ′ β ′ γ ′ } {\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\;\\\alpha &\beta &\gamma &u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}} выражающие симметрию.
Экспоненты Если приведенное выше преобразование Мёбиуса перемещает особые точки, но не меняет показатели, то следующее преобразование не перемещает особые точки, но изменяет показатели: [2] [3]
( z − a z − b ) k ( z − c z − b ) l P { a b c α β γ z α ′ β ′ γ ′ } = P { a b c α + k β − k − l γ + l z α ′ + k β ′ − k − l γ ′ + l } {\displaystyle ({\frac {z-a}{z-b}})^{k}({\frac {z-c}{z-b}})^{l}P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha +k&\beta -k-l&\gamma +l&z\\\alpha '+k&\beta '-k-l&\gamma '+l&\;\end{matrix}}\right\}} Смотрите также Заметки использованная литература
Полная последовательность Числа Фибоначчи Фигурное число Семиугольное число Шестиугольное число число Лукаса Пелл номер Пятиугольное число Многоугольное число Треугольное число
Последовательность Коши Монотонная последовательность Периодическая последовательность
Чередование Конвергентный Дивергент Телескопирование
1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 1 + 1/2 с + 1/3 с + ... (дзета-функция Римана) 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ (ряд Гранди) 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 - 2 + 3 - 4 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 - 2 + 4 - 8 + ⋯ Бесконечный арифметический ряд 1 - 1 + 2 - 6 + 24 - 120 + ⋯ (чередующиеся факториалы) 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (гармонический ряд) 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (обратные простые числа)
Серия Тейлора Силовая серия Формальный степенной ряд Серия Лорана серия Пюизе ряд Дирихле Тригонометрический ряд ряд Фурье Генерация серии Обобщенный гипергеометрический ряд Гипергеометрическая функция матричного аргумента Гипергеометрический ряд Лауричеллы Модульный гипергеометрический ряд Дифференциальное уравнение Римана Тета-гипергеометрический ряд
Уравнения Коши – Римана Обобщенная гипотеза Римана Гипотеза Великого Римана Теорема Гротендика – Хирцебруха – Римана – Роха Теорема Хирцебруха – Римана – Роха Локальная дзета-функция Теорема об измеримом отображении Римана Риман Функция Римана Си Тензор кривизны Римана Гипотеза Римана Интеграл Римана инвариант Римана Теорема Римана об отображении Форма Римана проблема Римана Теорема Римана о рядах решатель Римана сфера Римана сумма Римана риманова поверхность Дзета-функция Римана Дифференциальное уравнение Римана Минимальная поверхность Римана риманов круг Риманова связность на поверхности риманова геометрия Переписка Римана – Гильберта Проблемы Римана – Гильберта лемма Римана–Лебега Интеграл Римана – Лиувилля Теорема Римана – Роха Теорема Римана – Роха или гладкие многообразия Формула Римана – Зигеля Тета-функция Римана – Зигеля Вектор Римана – Зильберштейна Интеграл Римана – Стилтьеса Формула Римана – фон Мангольдта Категория
![{\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + \ left [{\ frac {1- \ alpha - \ alpha '}{za}} + {\ frac {1- \ beta - \ beta '}{zb}} + {\ frac {1- \ gamma - \ gamma '}{zc}} \ right] {\ frac {dw} {dz}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4756b2afc63eed01a52aaace0af8a70828204d)
![+\left [{\ frac {\ alpha \ alpha '(ab) (ac)} {za}} + {\ frac {\ beta \ beta '(bc) (ba)} {zb}} + {\ frac { \gamma \gamma '(ca)(cb)}{zc}}\right]{\frac {w}{(za)(zb)(zc)}}=0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d497f2c8ae2fceabf678b6d514c13b0767c2c682)
Категория
