Группа обоев

Пример египетского дизайна с обоями группы п 4 м

Группа обоев (или группа плоской симметрии или плоская кристаллографическая группа ) - это математическая классификация двумерного повторяющегося рисунка, основанная на симметрии рисунка. Такие узоры часто встречаются в архитектуре и декоративном искусстве , особенно в текстиле и плитке, а также в обоях .

Простейшая группа обоев, Группа p 1, применяется, когда нет никакой симметрии, кроме того факта, что узор повторяется через равные промежутки времени в двух измерениях, как показано в разделе на p1 ниже.

Рассмотрим следующие примеры узоров с большим количеством форм симметрии:

• 

  Пример A : ткань, Таити.
• 

  Пример B : Орнаментальная живопись, Ниневия , Ассирия
• 

  Пример C : расписной фарфор , Китай.

Примеры A и B имеют одну и ту же группу обоев; он называется p 4 m в нотации IUC и * 442 в нотации орбифолда . В примере C есть другая группа обоев, которая называется p 4 g или 4 * 2 . Тот факт, что A и B имеют одну и ту же группу обоев, означает, что они имеют одинаковую симметрию, независимо от деталей рисунка, тогда как C имеет другой набор симметрий, несмотря на любое внешнее сходство.

Количество групп симметрии зависит от количества измерений в узорах. Группы обоев применяются к двумерному случаю, промежуточному по сложности между более простыми группами фризов и трехмерными пространственными группами . Незначительные различия могут помещать похожие узоры в разные группы, в то время как узоры, очень разные по стилю, цвету, масштабу или ориентации, могут принадлежать к одной и той же группе.

Доказательство , что есть только 17 различных групп таких плоских симметрий было проделано впервые Евграф Федоров в 1891 году ^[1] , а затем полученные независимо друг от друга Пойа в 1924 году ^[2] Доказательство , что список обоев групп завершена только пришел после того, как был сделан гораздо более сложный случай с космическими группами. Семнадцать возможных групп обоев перечислены ниже в § Семнадцать групп .

Симметрии узоров [ править ]

Симметрии узора является, грубо говоря, способ превращения рисунка так , чтобы она выглядит точно так же после преобразования. Например, трансляционная симметрия присутствует , когда шаблон может быть переведена (другими словами, сдвинуто) некоторое конечное расстояние и появляется без изменений. Подумайте о перемещении набора вертикальных полос по горизонтали на одну полосу. Узор не изменился. Строго говоря, настоящая симметрия существует только в узорах, которые точно повторяются и продолжаются бесконечно. Набор из, скажем, пяти полос не обладает трансляционной симметрией - при сдвиге полоса на одном конце «исчезает», а на другом конце «добавляется» новая полоса. Однако на практике классификация применяется к конечным образцам, и небольшие дефекты можно игнорировать.

Типы преобразований, которые здесь имеют значение, называются изометриями евклидовой плоскости . Например:

• Если мы сдвинем пример B на одну единицу вправо, так что каждый квадрат будет покрывать квадрат, который изначально был рядом с ним, то результирующий узор будет точно таким же, как и узор, с которого мы начали. Этот тип симметрии называется трансляцией . Примеры A и C аналогичны, за исключением того, что наименьшие возможные сдвиги происходят в диагональных направлениях.
• Если мы повернем образец B по часовой стрелке на 90 ° вокруг центра одного из квадратов, мы снова получим точно такой же узор. Это называется вращением . Примеры и С также имеют 90 ° вращения, хотя она требует немного больше изобретательности , чтобы найти правильный центр вращения для C .
• Мы также можем перевернуть пример B по горизонтальной оси, проходящей через середину изображения. Это называется отражением . В примере B также есть отражения по вертикальной оси и по двум диагональным осям. То же самое можно сказать и о А .

Однако, например , С является другим . Он имеет отражения только в горизонтальном и вертикальном направлениях, но не по диагональным осям. Если мы перевернем диагональную линию, мы не получим тот же узор обратно; то, что мы действительно получаем, - это исходный узор, смещенный на определенное расстояние. Это одна из причин , что обои группа A и B отличается от обоев группы C .

Еще одна трансформация - «Скольжение», комбинация отражения и переноса параллельно линии отражения.

Формальное определение и обсуждение [ править ]

Математически, обои группа или плоская кристаллографическая группа представляет собой тип топологически дискретной группы из изометрий евклидовой плоскости , которая содержит два линейно независимых переводов .

Две такие группы изометрий относятся к одному типу (одной и той же группы обоев), если они одинаковы с точностью до аффинного преобразования плоскости . Таким образом, например, смещение плоскости (отсюда смещение зеркал и центров вращения) не влияет на группу обоев. То же самое относится к изменению угла между векторами трансляции, при условии, что это не добавляет или не удаляет симметрию (это только в том случае, если нет зеркал и отражений скольжения , а вращательная симметрия не выше порядка 2).

В отличие от трехмерного случая , мы можем эквивалентно ограничить аффинные преобразования теми, которые сохраняют ориентацию .

Из теоремы Бибербаха следует, что все группы обоев различны даже как абстрактные группы (в отличие, например , от групп фризов , две из которых изоморфны Z ).

2D-паттерны с двойной трансляционной симметрией можно разделить на категории в соответствии с их типом группы симметрии .

Изометрии евклидовой плоскости [ править ]

Изометрии евклидовой плоскости делятся на четыре категории (дополнительную информацию см. В статье « Изометрия евклидовой плоскости» ).

• Трансляции , обозначаемые T _v , где v - вектор в R ² . Это приводит к смещению плоскости с применениемвектора смещения v .
• Вращения , обозначаемые R _{c , θ} , где c - точка на плоскости (центр вращения), а θ - угол поворота.
• Размышления , или зеркало изометрии , обозначаемые F _L , где L представляет собой линию в R ² . ( F означает «перевернуть»). Это имеет эффект отражения плоскости на линии L , называемой осью отражения или соответствующим зеркалом .
• Glide отражений , обозначаемые G _{L , D} , где L представляет собой линию в R ² и d представляет собой расстояние. Это комбинация отражения по линии L и смещения по L на расстояние d .

Условие независимых переводов [ править ]

Условие линейно независимые переводы означают , что существует линейно независимые векторы V и W (в R ² ) , такие , что группа содержит как T _V и T _ш .

Цель этого условия - отличить группы обоев от групп фризов , которые обладают трансляцией, но не двумя линейно независимыми, и от двумерных дискретных точечных групп , у которых вообще нет трансляций. Другими словами, группы обоев представляют собой узоры, которые повторяются в двух разных направлениях, в отличие от групп фризов, которые повторяются только вдоль одной оси.

(Можно обобщить эту ситуацию. Мы могли бы, например, изучить дискретные группы изометрий R ⁿ с m линейно независимыми переводами, где m - любое целое число в диапазоне 0 ≤  m  ≤  n .)

Условие дискретности [ править ]

Условие дискретности означает, что существует некоторое положительное действительное число ε, такое, что для каждого сдвига T _v в группе вектор v имеет длину не менее ε (за исключением, конечно, случая, когда v является нулевым вектором, но независимые сдвиги условие предотвращает это, так как любой набор, содержащий нулевой вектор, по определению линейно зависим и поэтому запрещен).

Цель этого условия состоит в том, чтобы гарантировать, что группа имеет компактную фундаментальную область, или, другими словами, «ячейку» ненулевой конечной площади, которая повторяется через плоскость. Без этого условия мы могли бы иметь, например, группу, содержащую перевод T _x для каждого рационального числа x , что не соответствовало бы никакому разумному рисунку обоев.

Одно важное и нетривиальное следствие условия дискретности в сочетании с условием независимых трансляций состоит в том, что группа может содержать вращения только порядка 2, 3, 4 или 6; то есть каждый поворот в группе должен быть поворотом на 180 °, 120 °, 90 ° или 60 °. Этот факт известен как теорема о кристаллографическом ограничении и может быть обобщен на случаи более высокой размерности.

Обозначения для групп обоев [ править ]

Кристаллографические обозначения [ править ]

Кристаллография имеет 230 пространственных групп, которые нужно различить, что намного больше, чем 17 групп обоев, но многие из симметрий в группах одинаковы. Таким образом, мы можем использовать одинаковые обозначения для обоих типов групп, такие как Карл Германн и Шарль-Виктор Моген . Пример полного названия обоев в стиле Германа-Могена (также называемого обозначением IUC ): p 31 m , состоящее из четырех букв или цифр; чаще всего используется сокращенное имя, например cmm или pg .

Для групп обоев полное обозначение начинается либо р или с , для примитивной ячейки или гранецентрированной ячейки ; они объяснены ниже. Далее следует цифра n , указывающая наивысший порядок симметрии вращения: 1-кратная (нет), 2-кратная, 3-кратная, 4-кратная или 6-кратная. Следующие два символа обозначают симметрии относительно одной оси переноса рисунка, называемой «основной»; если есть зеркало, перпендикулярное оси поступательного движения, мы выбираем эту ось в качестве основной (или, если их два, то одну из них). Символы: m , g или 1., для зеркального, скользящего отражения или без него. Ось зеркального или скользящего отражения перпендикулярна главной оси для первой буквы и параллельна или наклонена на 180 ° / n (когда n  > 2) для второй буквы. Многие группы включают другие симметрии, подразумеваемые данными. Краткое обозначение отбрасывает цифры или m, которые могут быть выведены, если это не оставляет путаницы с другой группой.

Примитивная ячейка - это минимальная область, повторяемая трансляциями решетки. Все группы симметрии обоев, кроме двух, описаны относительно осей примитивных ячеек, координатного базиса с использованием векторов трансляции решетки. В оставшихся двух случаях описание симметрии относится к центрированным ячейкам, которые больше, чем примитивная ячейка, и, следовательно, имеют внутреннее повторение; направления их сторон отличаются от направлений векторов трансляции, охватывающих примитивную ячейку. В обозначениях Германа-Могена для пространственных групп кристаллов используются дополнительные типы ячеек.

Примеры

• p 2 ( p 2): примитивная ячейка, 2-кратная симметрия вращения, отсутствие зеркал или отражений скольжения.
• p 4 г ( p 4 мм ): примитивная ячейка, 4-кратное вращение, скользящее отражение перпендикулярно главной оси, ось зеркала под углом 45 °.
• c 2 мм ( c 2 мм ): центрированная ячейка, 2-кратное вращение, оси зеркала перпендикулярны и параллельны главной оси.
• p 31 м ( p 31 м ): примитивная ячейка, вращение в 3 раза, ось зеркала 60 °.

Вот все имена, которые отличаются кратким и полным обозначением.

Кристаллографические краткое и полное наименование

короткий	вечера	pg	см	пмм	pmg	pgg	см	p 4 м	p 4 г	p 6 м
Полный	п 1 м 1	п 1 г 1	в 1 м 1	p 2 мм	p 2 мг	p 2 гг	c 2 мм	p 4 мм	p 4 г	p 6 мм

Остальные названия: p 1 , p 2 , p 3 , p 3 m 1 , p 31 m , p 4 и p 6 .

Обозначение орбифолда [ править ]

Орбифолдная нотация для групп обоев, которую поддерживает Джон Хортон Конвей (Conway, 1992) (Conway, 2008), основана не на кристаллографии, а на топологии. Мы складываем бесконечную периодическую мозаику плоскости в ее сущность, орбифолд , а затем описываем это несколькими символами.

• Цифра n указывает центр n- кратного вращения, соответствующий точке конуса на орбифолде. По кристаллографической теореме об ограничении n должно быть 2, 3, 4 или 6.
• Звездочка * указывает на зеркальную симметрию, соответствующую границе орбифолда. Он взаимодействует с цифрами следующим образом:
  1. Цифры перед * обозначают центры чистого вращения ( циклические ).
  2. Цифры после * обозначают центры вращения с проходящими через них зеркалами, соответствующие «углам» на границе орбифолда ( двугранного ).
• Крестик × появляется при наличии отражения от скольжения и указывает на перекрестный колпачок на орбифолде. Чистые зеркала сочетаются с трансляцией решетки для создания скольжения, но они уже учтены, поэтому мы не указываем их.
• Символ «без симметрии», o , стоит особняком и указывает на то, что у нас есть только трансляции решетки без другой симметрии. Орбифолд с этим символом - тор; в общем случае символ o обозначает ручку на орбифолде.

Рассмотрим группу, обозначенную в кристаллографической записи cmm ; в обозначениях Конвея это будет 2 * 22 . Цифра 2 перед * говорит о том, что у нас есть 2-кратный центр вращения без зеркала, проходящего через него. Сама * говорит, что у нас есть зеркало. Первые 2 после * говорят, что у нас есть 2-кратный центр вращения на зеркале. Последние 2 говорят, что у нас есть независимый второй 2-кратный центр вращения на зеркале, который не является дубликатом первого при симметрии.

Группа, обозначенная pgg, будет 22 × . У нас есть два чистых центра двойного вращения и ось скользящего отражения. Сравните это с pmg , Conway 22 * , где в кристаллографических обозначениях упоминается скольжение, но такое, которое неявно присутствует в других симметриях орбифолда.

Косетер «s кронштейн обозначение также включено, на основе reflectional групп Кокстера и модифицирует плюс надстрочного учет вращений, неподходящих вращения и переводов.

Почему всего семнадцать групп [ править ]

Орбифолд можно рассматривать как многоугольник с гранью, ребрами и вершинами, которые можно развернуть, чтобы сформировать возможно бесконечное множество многоугольников, которые соединяют либо сферу , либо плоскость, либо гиперболическую плоскость . Когда он накладывает мозаику на плоскость, он дает группу обоев, а когда он накладывает на сферу или гиперболическую плоскость, он дает либо группу сферической симметрии, либо группу гиперболической симметрии . Тип пространства, на котором расположены плитки многоугольников, можно найти, вычислив эйлерову характеристику , χ  =  V  -  E  +  F , где V - количество углов (вершин), E- количество ребер, а F - количество граней. Если эйлерова характеристика положительна, то орбифолд имеет эллиптическую (сферическую) структуру; если он равен нулю, то он имеет параболическую структуру, т. е. группу обоев; а если он отрицательный, он будет иметь гиперболическую структуру. При перечислении полного набора возможных орбифолдов выясняется, что только 17 имеют эйлерову характеристику 0.

Когда орбифолд реплицируется симметрично, чтобы заполнить плоскость, его элементы создают структуру из вершин, ребер и граней многоугольника, которая должна согласовываться с характеристикой Эйлера. В обратном порядке мы можем присваивать чертам орбифолда числа, но не целые числа, а дроби. Поскольку само орбифолд является фактором полной поверхности по группе симметрии, эйлерова характеристика орбифолда является фактором эйлеровой характеристики поверхности по порядку группы симметрии.

Орбифолдная характеристика Эйлера равна 2 минус сумма значений признаков, назначенных следующим образом:

• Цифра n без или перед * считается как ( n  - 1) / n .
• Цифра n после * считается как ( n  - 1) / 2 n .
• И *, и × считаются как 1.
• «Отсутствие симметрии» считается как 2.

Для группы обоев сумма характеристики должна быть равна нулю; таким образом, сумма признаков должна быть 2.

Примеры

• 632: 5/6 + 2/3 + 1/2 = 2
• 3 * 3: 2/3 + 1 + 1/3 = 2
• 4 * 2: 3/4 + 1 + 1/4 = 2
• 22 ×: 1/2 + 1/2 + 1 = 2

Теперь перечисление всех групп обоев становится делом арифметики, перечислением всех строк функций со значениями, суммируемыми до 2.

Строки характеристик с другими суммами - это не ерунда; они подразумевают неплоские мозаики, которые здесь не обсуждаются. (Когда орбифолдная эйлерова характеристика отрицательна, мозаика гиперболическая ; положительная - сферическая или плохая ).

Руководство по распознаванию групп обоев [ править ]

Чтобы определить, какая группа обоев соответствует тому или иному дизайну, можно воспользоваться следующей таблицей. ^[3]

См. Также этот обзор с диаграммами .

Семнадцать групп [ править ]

Каждая из групп в этом разделе имеет две диаграммы структуры ячеек, которые следует интерпретировать следующим образом (важна форма, а не цвет):

На диаграммах справа разные классы эквивалентности элементов симметрии окрашены (и повернуты) по-разному.

Коричневый или желтая зона указывает на фундаментальную область , то есть наименьшая часть узора , который повторяется.

На диаграммах справа показана ячейка решетки, соответствующая наименьшим переносам; те, что слева, иногда показывают большую площадь.

Группа p 1 (o) [ править ]

• Подпись орбифолда: o
• Обозначение Кокстера (прямоугольное): [∞ ⁺ , 2, ∞ ⁺ ] или [∞] ⁺ × [∞] ⁺
• Решетка: косая
• Группа точек: C ₁
• Группа p 1 содержит только переводы; нет поворотов, отражений или скользящих отражений.

Примеры группы p 1

• Компьютер сгенерирован
• Средневековые настенные подгузники

Каждый из двух перемещений (стороны ячейки) может иметь разную длину и образовывать любой угол.

Группа p 2 (2222) [ править ]

• Подпись Орбифолд: 2222
• Обозначение Кокстера (прямоугольное): [∞, 2, ∞] ⁺
• Решетка: косая
• Группа точек: C ₂
• Группа p 2 содержит четыре центра вращения второго порядка (180 °), но без отражений или отражений скольжения.

Примеры группы p 2

• Компьютер сгенерирован
• Ткань, Сандвичевы острова ( Гавайи )
• Коврик, на котором стоял египетский царь
• Египетский коврик (деталь)
• Потолок египетской гробницы
• Проволочный забор , США

Группа pm (**) [ править ]

• Подпись орбифолда: **
• Обозначение Кокстера: [∞, 2, ∞ ⁺ ] или [∞ ⁺ , 2, ∞]
• Решетка: прямоугольная
• Группа точек: D ₁
• В группе pm ротаций нет. У него есть оси отражения, все они параллельны.

Примеры группового пм

(Первые три имеют вертикальную ось симметрии, а последние две имеют разные диагональные оси.)

• Компьютер сгенерирован
• Платье фигуры в гробнице в Бибан-эль-Молук , Египет
• Египетская гробница , Фивы
• Потолок гробницы в Гурне, Египет . Ось отражения диагональная
• Индийские изделия из металла на Большой выставке 1851 года. Сейчас почти вторая половина дня (без учета коротких диагональных линий между мотивами овалов, которые составляют p 1 )

Группа pg (××) [ править ]

• Подпись орбифолда: ××
• Обозначение Кокстера: [(∞, 2) ⁺ , ∞ ⁺ ] или [∞ ⁺ , (2, ∞) ⁺ ]
• Решетка: прямоугольная
• Группа точек: D ₁
• Группа pg содержит только отражения скольжения, и все их оси параллельны. Нет поворотов или отражений.

Примеры группы pg

• Компьютер сгенерирован
• Коврик с узором в елочку, на котором стоял египетский царь
• Египетский коврик (деталь)
• Тротуар с рисунком "елочка" в Зальцбурге . Ось отражения скольжения проходит с северо-востока на юго-запад.
• Одна из расцветок плоской квадратной плитки ; линии отражения скольжения расположены в направлении вверху слева / внизу справа; игнорируя цвета, симметрия гораздо больше, чем просто pg , тогда это p 4 g (см. это изображение с одинаково окрашенными треугольниками) ^[4]

Без деталей внутри зигзагообразных полос мат - pmg ; с деталями, но без различия между коричневым и черным, это pgg .

Не обращая внимания на волнистые границы плитки, тротуар pgg .

Группа см (* ×) [ править ]

• Подпись орбифолда: * ×
• Обозначение Кокстера: [∞ ⁺ , 2 ⁺ , ∞] или [∞, 2 ⁺ , ∞ ⁺ ]
• Решетка: ромбическая
• Группа точек: D ₁
• Группа cm не содержит вращений. Все оси отражения параллельны. Существует по крайней мере одно скользящее отражение, ось которого не является осью отражения; он находится на полпути между двумя соседними параллельными осями отражения.
• Эта группа применяется к симметрично расположенным рядам (т. Е. Имеется сдвиг на каждую строку на половину расстояния перемещения внутри рядов) идентичных объектов, ось симметрии которых перпендикулярна рядам.

Примеры группы см

• Компьютер сгенерирован
• Платье Амона из Абу-Симбела , Египет
• Дадо из Бибан-эль-Молук , Египет
• Бронзовый сосуд в Нимруд , Ассирия
• Spandrils из арок , то Альгамбра , Испания
• Софит арки, Альгамбра , Испания
• Персидский гобелен
• Индийские изделия из металла на Большой выставке 1851 г.
• Платье фигуры в гробнице в Бибан-эль-Молук , Египет

Группа pmm (* 2222) [ править ]

• Подпись Орбифолд: * 2222
• Обозначение Кокстера (прямоугольное): [∞, 2, ∞] или [∞] × [∞]
• Обозначение Кокстера (квадрат): [4,1 ⁺ , 4] или [1 ⁺ , 4,4,1 ⁺ ]
• Решетка: прямоугольная
• Группа точек: D ₂
• Группа pmm имеет отражения в двух перпендикулярных направлениях и четыре центра вращения второго порядка (180 °), расположенных на пересечении осей отражения.

Примеры групповых пмм

• 2D изображение решетчатого забора , США (в 3D есть дополнительная симметрия)
• Футляр мумии хранится в Лувре
• Футляр мумии хранится в Лувре . Был бы тип p 4 м, за исключением несоответствующей окраски

Группа pmg (22 *) [ править ]

• Подпись Орбифолд: 22 *
• Обозначение Кокстера: [(∞, 2) ⁺ , ∞] или [∞, (2, ∞) ⁺ ]
• Решетка: прямоугольная
• Группа точек: D ₂
• Группа pmg имеет два центра вращения второго порядка (180 °) и отражения только в одном направлении. Он имеет отражения скольжения, оси которых перпендикулярны осям отражения. Все центры вращения лежат на осях скользящего отражения.

Примеры группового пмг

• Компьютер сгенерирован
• Ткань, Сандвичевы острова ( Гавайи )
• Потолок египетской гробницы
• Напольная плитка в Праге , Чехия
• Чаша из Кермы
• Упаковка Пентагона

Групповой pgg (22 ×) [ править ]

• Подпись Орбифолд: 22 ×
• Обозначение Кокстера (прямоугольное): [((∞, 2) ⁺ , (∞, 2) ⁺ )]
• Обозначение Кокстера (квадрат): [4 ⁺ , 4 ⁺ ]
• Решетка: прямоугольная
• Группа точек: D ₂
• Группа pgg содержит два центра вращения второго порядка (180 °) и отражения скольжения в двух перпендикулярных направлениях. Центры вращения не расположены на осях отражения скольжения. Отражений нет.

Примеры групповых pgg

• Компьютер сгенерирован
• Бронзовый сосуд в Нимруд , Ассирия
• Тротуар в Будапеште , Венгрия

Группа cmm (2 * 22) [ править ]

• Подпись Орбифолд: 2 * 22
• Обозначение Кокстера (ромбическое): [∞, 2 ⁺ , ∞]
• Обозначение Кокстера (квадрат): [(4,4,2 ⁺ )]
• Решетка: ромбическая
• Группа точек: D ₂
• Группа cmm имеет отражения в двух перпендикулярных направлениях и вращение второго порядка (180 °), центр которого не находится на оси отражения. Он также имеет два вращения, центры которых находятся на оси отражения.
• Эта группа часто встречается в повседневной жизни, поскольку наиболее распространенное расположение кирпичей в кирпичном здании ( непрерывное соединение ) использует эту группу (см. Пример ниже).

Вращательная симметрия 2-го порядка с центрами вращения в центрах сторон ромба является следствием других свойств.

Шаблон соответствует каждому из следующего:

• симметрично расположенные ряды одинаковых двухсимметричных объектов
• шахматный узор из двух чередующихся прямоугольных плиток, каждая из которых сама по себе является дважды симметричной
• шахматный узор из попеременно 2-х осно-симметричной прямоугольной плитки и ее зеркального отображения

Примеры групп cmm

• Компьютер сгенерирован
• одна из 8 полурегулярных мозаик
• Пригородная кирпичная стена , используя работают облигационное расположение, США
• Потолок египетской гробницы . Если не брать в расчет цвета, это будет p 4 г
• Египтянин
• Персидский гобелен
• Египетская гробница
• Турецкое блюдо
• Компактная упаковка круга двух размеров
• Еще одна компактная упаковка круга двух размеров
• Еще одна компактная упаковка круга двух размеров

Группа p 4 (442) [ править ]

• Подпись Орбифолд: 442
• Обозначение Кокстера: [4,4] ⁺
• Решетка: квадратная
• Группа точек: C ₄
• Группа p 4 имеет два центра вращения четвертого порядка (90 °) и один центр вращения второго порядка (180 °). У него нет отражений или скользящих отражений.

Примеры группы п 4

Р 4 модели можно рассматривать как повторение в строках и столбцах равных квадратных плиток с 4-кратным вращательной симметрии. Также его можно рассматривать как шахматный узор из двух таких плиток, в меньшем размере и повернутых на 45 °.${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

• Компьютер сгенерирован
• Потолок египетской гробницы ; игнорируя цвета, это p 4 , иначе p 2
• Потолок египетской гробницы
• Наложенные узоры
• Фриз, Альгамбра , Испания . Требуется внимательный осмотр, чтобы понять, почему нет отражений
• Венский тростник
• Фаянс эпохи Возрождения
• Пифагорейская черепица
• Создано из фотографии

Группа p 4 м (* 442) [ править ]

• Подпись Орбифолда: * 442
• Обозначение Кокстера: [4,4]
• Решетка: квадратная
• Группа очков: D ₄
• Группа p 4 m имеет два центра вращения четвертого порядка (90 °) и отражения в четырех различных направлениях (горизонтальном, вертикальном и диагональном). Он имеет дополнительные скользящие отражения, оси которых не являются осями отражения; вращения второго порядка (180 °) центрируются на пересечении осей скользящего отражения. Все центры вращения лежат на осях отражения.

Это соответствует простой сетке строк и столбцов равных квадратов с четырьмя осями отражения. Также ему соответствует шахматный узор из двух таких квадратов.

Примеры группы р 4 м

Примеры, отображаемые с наименьшими переводами по горизонтали и вертикали (как на схеме):

• Компьютер сгенерирован
• одна из 3 обычных мозаик
• Демирегулярная черепица с треугольниками ; без учета цветов это p 4 м , в противном случае c 2 м
• одна из 8 полурегулярных мозаик (также игнорируя цвет, с меньшими переводами)
• Орнаментальная живопись, Ниневия , Ассирия
• Ливневая канализация , США
• Египетский футляр для мумии
• Персидская глазурованная плитка
• Компактная упаковка двух размеров круга

Примеры, отображаемые с наименьшей диагональю переводов:

• шахматная доска
• Ткань, отахейт ( Таити )
• Египетская гробница
• Собор Буржа
• Блюдо из Турции , османского периода

Группа p 4 g (4 * 2) [ править ]

• Подпись Орбифолд: 4 * 2
• Обозначение Кокстера: [4 ⁺ , 4]
• Решетка: квадратная
• Группа очков: D ₄
• Группа p 4 g имеет два центра вращения четвертого порядка (90 °), которые являются зеркальным отображением друг друга, но она имеет отражения только в двух направлениях, которые перпендикулярны. Есть повороты второго порядка (180 °), центры которых находятся на пересечении осей отражения. Он имеет оси отражения скольжения, параллельные осям отражения, между ними, а также под углом 45 ° к ним.

Р 4 г картину можно рассматривать как шахматном шаблон копий квадратной плитки с 4-кратным вращательной симметрией, и ее зеркальное отражение. В качестве альтернативы его можно рассматривать (сдвигая половину плитки) как шахматный узор из копий горизонтально и вертикально симметричной плитки и ее версии, повернутой на 90 °. Обратите внимание, что ни то, ни другое не применимо для простого шахматного рисунка из черно-белых плиток, это группа p 4 м (с диагональными ячейками перевода).

Примеры группы р 4 г

• Линолеум для ванной , США
• Расписной фарфор , Китай
• Экран Fly, США
• Живопись, Китай
• одна из расцветок плоской квадратной плитки (см. также на стр. )

Группа p 3 (333) [ править ]

• Подпись Орбифолд: 333
• Обозначение Кокстера: [(3,3,3)] ⁺ или [3 ^[3] ] ⁺
• Решетка: шестиугольная
• Группа точек: C ₃
• Группа p 3 имеет три разных центра вращения третьего порядка (120 °), но не имеет отражений или отражений скольжения.

Представьте себе мозаику плоскости с равносторонними треугольниками одинакового размера со сторонами, соответствующими наименьшему перемещению. Тогда половина треугольников находится в одной ориентации, а другая половина - вверх ногами. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одинаковой ориентации равны, в то время как оба типа имеют вращательную симметрию третьего порядка, но они не равны, не являются зеркальным отображением друг друга, и не оба симметричны (если два равны у нас есть p 6 , если они являются зеркальным отображением друг друга, у нас есть p 31 m , если они оба симметричны, мы имеем p 3 m 1 ; если два из трех применяются, то также третье, и у нас есть p6 м ). Для данного изображения возможны три из этих мозаик, каждая с центрами вращения в качестве вершин, то есть для любой мозаики возможны два сдвига. Что касается изображения: вершины могут быть красными, синими или зелеными треугольниками.

Точно так же представьте мозаику плоскости с правильными шестиугольниками со сторонами, равными наименьшему расстоянию перемещения, деленному на √3. Тогда эта группа обоев соответствует случаю, когда все шестиугольники равны (и имеют одинаковую ориентацию) и имеют симметрию вращения третьего порядка, в то время как они не имеют симметрии зеркального изображения (если они имеют симметрию вращения шестого порядка, мы имеем p 6 , если они симметричны относительно главных диагоналей, у нас p 31 m , если они симметричны относительно линий, перпендикулярных сторонам, мы имеем p 3 m 1 ; если две из трех применимы, то и третья тоже, и мы имеем p 6 м). Для данного изображения возможны три из этих мозаик, каждая из которых имеет одну треть центров вращения как центры шестиугольников. Что касается изображения: центрами шестиугольников могут быть красные, синие или зеленые треугольники.

Примеры группы п 3

• Компьютер сгенерирован
• одна из 8 полурегулярных мозаик (без учета цветов: p 6 ); векторы трансляции повернуты немного вправо по сравнению с направлениями в лежащей в основе гексагональной решетке изображения.
• Тротуар в Закопане , Польша
• Облицовка стен в Альгамбре , Испания (и всей стене ); игнорируя все цвета, это p 3 (игнорируя только цвета звезд, это p 1 )

Группа p 3 m 1 (* 333) [ править ]

• Подпись Орбифолда: * 333
• Обозначение Кокстера: [(3,3,3)] или [3 ^[3] ]
• Решетка: шестиугольная
• Группа очков: D ₃
• Группа p 3 m 1 имеет три различных центра вращения третьего порядка (120 °). У него есть отражения в трех сторонах равностороннего треугольника. Центр каждого вращения лежит на оси отражения. Есть дополнительные скользящие отражения в трех различных направлениях, оси которых расположены на полпути между соседними параллельными осями отражения.

Как и в случае p 3 , представьте мозаику плоскости с равносторонними треугольниками одинакового размера со сторонами, соответствующими наименьшим перемещениям. Тогда половина треугольников находится в одной ориентации, а другая половина - вверх ногами. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одинаковой ориентации равны, в то время как оба типа имеют симметрию вращения третьего порядка, и оба симметричны, но не равны, и не являются зеркальным отображением друг друга. Для данного изображения возможны три из этих мозаик, каждая с центрами вращения в качестве вершин. Что касается изображения: вершины могут быть красными, синими или зелеными треугольниками.

Примеры группы р 3 м 1

• одна из 3-х обычных мозаик (без учета цветов: p 6 м )
• еще одна обычная тесселяция (без учета цветов: p 6 м )
• одна из 8 полурегулярных мозаик (без учета цветов: p 6 м )
• Плитка глазурованная персидская (без учета цветов: p 6 м )
• Персидский орнамент
• Живопись, Китай (см. Детальное изображение)

Группа p 31 м (3 * 3) [ править ]

• Подпись Орбифолд: 3 * 3
• Обозначение Кокстера: [6,3 ⁺ ]
• Решетка: шестиугольная
• Группа очков: D ₃
• Группа p 31 m имеет три различных центра вращения третьего порядка (120 °), два из которых являются зеркальным отображением друг друга. Он имеет отражения в трех разных направлениях. У него есть по крайней мере одно вращение, центр которого не лежит на оси отражения. Есть дополнительные скользящие отражения в трех различных направлениях, оси которых расположены на полпути между соседними параллельными осями отражения.

Как и для p 3 и p 3 m 1 , представьте мозаику плоскости с равносторонними треугольниками одинакового размера со сторонами, соответствующими наименьшему перемещению. Тогда половина треугольников находится в одной ориентации, а другая половина - вверх ногами. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одинаковой ориентации равны, в то время как оба типа имеют симметрию вращения третьего порядка и являются зеркальным отображением друг друга, но сами не симметричны и не равны. Для данного изображения возможна только одна такая мозаика. Что касается изображения: вершины не могут быть синими треугольниками.

Примеры группы р 31 м

• Персидская глазурованная плитка
• Расписной фарфор , Китай
• Живопись, Китай
• Компактная упаковка двух размеров круга

Группа p 6 (632) [ править ]

• Подпись Орбифолд: 632
• Обозначение Кокстера: [6,3] ⁺
• Решетка: шестиугольная
• Группа точек: C ₆
• Группа p 6 имеет один центр вращения шестого порядка (60 °); два центра вращения третьего порядка (120 °), которые являются изображениями друг друга при повороте на 60 °; и три центра вращения второго порядка (180 °), которые также являются изображениями друг друга при повороте на 60 °. У него нет отражений или скользящих отражений.

Узор с этой симметрией можно рассматривать как мозаику плоскости с равными треугольными плитками с симметрией C 3 или, что то же самое, мозаику плоскости с равными шестиугольными плитками с симметрией C ₆ (с краями плиток не обязательно разделять выкройки).

Примеры группы п 6

• Компьютер сгенерирован
• Правильные многоугольники
• Обшивка стен, Альгамбра , Испания
• Персидский орнамент

Группа p 6 м (* 632) [ править ]

• Подпись Орбифолд: * 632
• Обозначение Кокстера: [6,3]
• Решетка: шестиугольная
• Группа очков: D ₆
• Группа p 6 м имеет один центр вращения шестого порядка (60 °); он имеет два центра вращения третьего порядка, которые отличаются только поворотом на 60 ° (или, что то же самое, 180 °), и три центра вращения второго порядка, которые отличаются только поворотом на 60 °. Он также имеет отражения в шести различных направлениях. Есть дополнительные отражения скольжения в шести различных направлениях, оси которых расположены на полпути между соседними параллельными осями отражения.

Узор с этой симметрией можно рассматривать как мозаику плоскости с равными треугольными плитками с симметрией D 3 или, что то же самое, мозаику плоскости с равными шестиугольными плитками с симметрией D ₆ (с краями плиток не обязательно разделять выкройки). Таким образом, простейшими примерами являются треугольная решетка с соединительными линиями или без них, а также шестиугольная мозаика с одним цветом для контуров шестиугольников и одним для фона.

Примеры группы р 6 м

• Компьютер сгенерирован
• одна из 8 полурегулярных мозаик
• другая полурегулярная тесселяция
• другая полурегулярная тесселяция
• Персидская глазурованная плитка
• Царское платье, Хорсабад , Ассирия ; это почти p 6 м (без учета внутренних частей цветов, которые составляют cmm )
• Бронзовый сосуд в Нимруд , Ассирия
• Византийская мраморная мостовая, Рим
• Расписной фарфор , Китай
• Расписной фарфор , Китай
• Компактная упаковка двух размеров круга
• Еще одна компактная упаковка круга двух размеров

Типы решеток [ править ]

Есть пять решетчатые типов или типа решеток , соответствующих пяти возможных обоев групп самой решетки. Группа обоев рисунка с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньшую симметрию, чем сама решетка.

• В 5 случаях вращательной симметрии порядка 3 или 6 элементарная ячейка состоит из двух равносторонних треугольников (гексагональная решетка, сама p 6 м ). Они образуют ромб с углами 60 ° и 120 °.
• В трех случаях вращательной симметрии четвертого порядка ячейка представляет собой квадрат (квадратная решетка, сама p 4 м ).
• В 5 случаях отражения или скользящего отражения, но не в обоих случаях, ячейка представляет собой прямоугольник (прямоугольная решетка, сама по себе pmm ). Его также можно интерпретировать как центрированную ромбическую решетку. Частные случаи: квадрат.
• В двух случаях отражения в сочетании со скользящим отражением ячейка представляет собой ромб (ромбическая решетка, сама cmm ). Его также можно интерпретировать как центрированную прямоугольную решетку. Частные случаи: квадратная, гексагональная элементарная ячейка.
• В случае только вращательной симметрии порядка 2 и отсутствия другой симметрии, кроме трансляционной, ячейка, как правило, представляет собой параллелограмм (параллелограмматическая или наклонная решетка, сама по себе p 2 ). Частные случаи: прямоугольник, квадрат, ромб, шестиугольная элементарная ячейка.

Группы симметрии [ править ]

Собственно группу симметрии следует отличать от группы обоев. Группы обоев - это коллекции групп симметрии. Таких наборов 17, но для каждого набора существует бесконечно много групп симметрии в смысле реальных групп изометрий. Они зависят, помимо группы обоев, от ряда параметров векторов трансляции, ориентации и положения осей отражения и центров вращения.

Число степеней свободы :

• 6 для p 2
• 5 для БММ , PMG , PGG и CMM
• 4 в остальном.

Однако внутри каждой группы обоев все группы симметрии алгебраически изоморфны.

Некоторые изоморфизмы групп симметрии:

• п 1 : Z ²
• pm : Z × D ∞
• pmm : D _∞ × D _∞ .

Зависимость групп обоев от трансформаций [ править ]

• Группа обоев рисунка инвариантна относительно изометрий и равномерного масштабирования ( преобразования подобия ).
• Трансляционная симметрия сохраняется при произвольных биективных аффинных преобразованиях .
• Вращательная симметрия второго порядка то же самое; это также означает, что центры 4- и 6-кратного вращения по меньшей мере сохраняют 2-кратную симметрию вращения.
• Отражение в линии и отражение при скольжении сохраняются при расширении / сжатии вдоль или перпендикулярно оси отражения и отражения при скольжении. Это изменяет р 6 м , р 4 г и р 3 м 1 в КИМ , р 3 м 1 в см и р 4 м , в зависимости от направления расширения / сжатия, в РММ или CMM . Узор из симметрично расположенных в шахматном порядке рядов точек отличается тем, что он может преобразовываться путем расширения / сжатия из p 6 м.до р 4 м .

Обратите внимание, что когда преобразование снижает симметрию, преобразование того же типа (обратное), очевидно, для некоторых шаблонов увеличивает симметрию. Такое особое свойство узора (например, расширение в одном направлении дает узор с 4-кратной симметрией) не считается формой дополнительной симметрии.

Изменение цветов не влияет на группу обоев, если любые две точки, которые имели один и тот же цвет до изменения, также имеют одинаковый цвет после изменения, и любые две точки, которые имели разные цвета до изменения, также имеют разные цвета после изменения .

Если применяется первое, а не второе, например, при преобразовании цветного изображения в черно-белое, то симметрии сохраняются, но они могут увеличиваться, так что группа обоев может измениться.

Веб-демонстрация и программное обеспечение [ править ]

Несколько программных графических инструментов позволят вам создавать 2D-узоры, используя группы симметрии обоев. Обычно вы можете редактировать исходную плитку, и ее копии во всем шаблоне обновляются автоматически.

• MadPattern , бесплатный набор шаблонов Adobe Illustrator, поддерживающих 17 групп обоев.
• Tess , условно-бесплатная программа тесселяции для нескольких платформ, поддерживает все группы обоев, фризов и розеток, а также плитки Heesch.
• Wallpaper Symmetry - это бесплатный онлайн-инструмент для рисования на Javascript, поддерживающий 17 групп. На главной странице есть объяснения групп обоев, а также инструменты рисования и объяснения для других групп плоской симметрии .
• TALES GAME , бесплатное программное обеспечение, предназначенное для образовательных целей, которое включает функцию тесселяции.
• Kali , Java-апплет онлайн-графического редактора симметрии (по умолчанию не поддерживается в браузерах).
• Kali , бесплатно загружаемый Kali для Windows и Mac Classic.
• Inkscape , бесплатный редактор векторной графики , поддерживает все 17 групп, а также произвольные масштабы, сдвиги, повороты и изменения цвета для каждой строки или столбца, при желании рандомизированные до заданной степени. (См. [1] )
• SymmetryWorks - коммерческий плагин для Adobe Illustrator , поддерживает все 17 групп.

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме групповых диаграмм обоев .

• Список плоских групп симметрии (резюме этой страницы)
• Апериодическая мозаика
• Кристаллография
• Группа слоев
• Математика и искусство
• MC Эшер
• Группа точек
• Группы симметрии в одном измерении
• Мозаика

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Грамматика орнамента (1856 г.) Оуэна Джонса . Многие изображения в этой статье взяты из этой книги; он содержит намного больше.
• Джон Х. Конвей (1992). «Орбифолдная запись для поверхностных групп». В: MW Liebeck и J. Saxl (ред.), Группы, комбинаторика и геометрия , Материалы симпозиума LMS в Дареме, 5–15 июля, Дарем, Великобритания, 1990; Лондонская математика. Soc. Конспект лекций 165 . Издательство Кембриджского университета, Кембридж. стр. 438–447
• Джон Х. Конвей , Хайди Берджел и Хаим Гудман-Штраус (2008): Симметрии вещей . Вустер Массачусетс: А.К. Питерс. ISBN 1-56881-220-5 . 
• Бранко Грюнбаум и Г.К. Шепард (1987): Плитки и узоры . Нью-Йорк: Фриман. ISBN 0-7167-1193-1 . 
• Узорчатый дизайн, Льюис Ф. Дэй

Внешние ссылки [ править ]

• Международные таблицы для кристаллографии, том A: Симметрия пространственных групп , подготовленный Международным союзом кристаллографии.
• 17 групп плоской симметрии Дэвида Э. Джойса
• Знакомство с узорами обоев от Хаима Гудмана-Штрауса и Хайди Берджел
• Описание Сильвио Леви
• Пример мозаики для каждой группы с динамическими демонстрациями свойств
• Обзор с примерами мозаики для каждой группы, автор Брайан Сандерсон
• Escher Web Sketch, java-апплет с интерактивными инструментами для рисования во всех 17 группах симметрии плоскостей.
• Burak, Java-приложение для рисования групп симметрии.
• Приложение на JavaScript для рисования узоров обоев
• Круглый узор на римских мозаиках в Греции
• Семнадцать видов узоров обоев 17 симметрий традиционных японских узоров.
• Балоглоу, Джордж (2002). «Элементарная, чисто геометрическая классификация 17 планарных кристаллографических групп (рисунков обоев)» . Проверено 22 июля 2018 .