Функция разброса точки

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Функция распределения точек»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Формирование изображения в конфокальном микроскопе : центральный продольный (XZ) срез. Полученное трехмерное распределение возникает в результате свертки реальных источников света с PSF.

Точечный источник , как изображается с помощью системы с отрицательным (вверху), ноль ( в центре) и положительная (внизу) сферическая аберрация . Изображения слева расфокусированы внутрь, изображения справа - наружу.

Функция рассеяния точки ( PSF ) описывает реакцию системы визуализации на точечный источник или точечный объект. Более общий термин для PSF - это импульсная характеристика системы , PSF - это импульсная характеристика сфокусированной оптической системы. PSF во многих контекстах можно рассматривать как расширенный BLOB-объект в изображении, который представляет собой одноточечный объект. С функциональной точки зрения, это версия оптической передаточной функции системы визуализации в пространственной области . Это полезная концепция в оптике Фурье , астрономической визуализации , медицинской визуализации , электронной микроскопии.и другие методы визуализации, такие как 3D- микроскопия (например, в конфокальной лазерной сканирующей микроскопии ) и флуоресцентная микроскопия .

Степень размытия точечного объекта является мерой качества системы визуализации. В некогерентных системах формирования изображений, таких как люминесцентные микроскопы , телескопы или оптические микроскопы, процесс формирования изображения является линейным по интенсивности изображения и описывается теорией линейных систем . Это означает, что когда два объекта A и B отображаются одновременно, результирующее изображение равно сумме независимо отображаемых объектов. Другими словами: изображение A не зависит от изображения B, и наоборот., из-за невзаимодействующего свойства фотонов. В пространственно-инвариантной системе, т. Е. PSF одинакова везде в пространстве изображения, изображение сложного объекта является сверткой истинного объекта и PSF.

Введение [ править ]

В силу свойства линейности оптических некогерентных систем формирования изображений, т. Е.

Изображение ( Объект ₁ + Объект ₂ ) = Изображение ( Объект ₁ ) + Изображение ( Объект ₂ )

изображение объекта в микроскопе или телескопе можно вычислить, выразив поле плоскости объекта как взвешенную сумму по двумерным импульсным функциям, а затем выразив поле плоскости изображения как взвешенную сумму по изображениям этих импульсных функций. Это известно как принцип суперпозиции , применимый для линейных систем . Изображения отдельных импульсных функций объектной плоскости называются функциями рассеяния точки, что отражает тот факт, что математическая точка света в плоскости объекта распространяется , образуя конечную область в плоскости изображения (в некоторых разделах математики и физики, их можно назвать функциями Грина или импульсной характеристикой. функции).

Когда объект делится на дискретные точечные объекты различной интенсивности, изображение вычисляется как сумма PSF каждой точки. Поскольку PSF обычно полностью определяется системой формирования изображений (то есть микроскопом или телескопом), все изображение можно описать, зная оптические свойства системы. Этот процесс визуализации обычно формулируется уравнением свертки . В обработке изображений микроскопа и астрономии знание PSF измерительного устройства очень важно для восстановления (исходного) объекта с помощью деконволюции . В случае лазерных лучей PSF можно математически смоделировать, используя концепции гауссовых лучей . ^[2]Например, деконволюция математически смоделированного PSF и изображения улучшает видимость функций и устраняет шум изображения. ^[1]

Теория [ править ]

Функция рассеяния точки может не зависеть от положения в плоскости объекта, и в этом случае она называется инвариантом сдвига . Кроме того, если в системе нет искажений, координаты плоскости изображения линейно связаны с координатами плоскости объекта через увеличение M следующим образом:

${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i}) = (Mx_ {o}, My_ {o})}$.

Если система формирования изображения производит перевернутое изображение, мы можем просто рассматривать оси координат плоскости изображения как перевернутые относительно осей плоскости объекта. При этих двух предположениях, то есть о том, что PSF инвариантен к сдвигу и что нет искажений, вычисление интеграла свертки плоскости изображения является простым процессом.

Математически мы можем представить поле плоскости объекта как:

${\ displaystyle O (x_ {o}, y_ {o}) = \ int \! \! \ int O (u, v) ~ \ delta (x_ {o} -u, y_ {o} -v) ~ du \, dv}$

то есть в виде суммы взвешенных импульсных функций, хотя на самом деле это также просто констатирует свойство просеивания двумерных дельта-функций (подробнее обсуждается ниже). Переписав функцию пропускания объекта в приведенной выше форме, мы можем рассчитать поле плоскости изображения как суперпозицию изображений каждой из отдельных импульсных функций, то есть как суперпозицию над взвешенными функциями рассеяния точки в плоскости изображения с использованием той же весовой функции. как в объектной плоскости, т . е .. Математически изображение выражается как:${\ displaystyle O (x_ {o}, y_ {o})}$

${\ Displaystyle I (x_ {i}, y_ {i}) = \ int \! \! \ int O (u, v) ~ \ mathrm {PSF} (x_ {i} / Mu, y_ {i} / Mv ) \, du \, dv}$

в котором изображена импульсная функция δ ( x _o  -  u , y _o  -  v ).${\ textstyle {\ mbox {PSF}} (x_ {i} / Mu, y_ {i} / Mv)}$

Двухмерную импульсную функцию можно рассматривать как предел (поскольку размер стороны w стремится к нулю) функции «квадратного столба», показанной на рисунке ниже.

Мы представляем плоскость объекта разложенной на квадратные области, подобные этой, каждая из которых имеет свою собственную функцию квадратного столба. Если высота стойки h поддерживается равной 1 / w ² , тогда, когда размер стороны w стремится к нулю, высота h стремится к бесконечности, так что объем (интеграл) остается постоянным на уровне 1. Это придает двумерному импульсу свойство просеивания (которое подразумевается в приведенном выше уравнении), которое гласит, что, когда двумерная импульсная функция, δ ( x  -  u , y  -  v ), интегрируется с любой другой непрерывной функцией, f ( u , v ), Она «просеивает из» величины F в месте импульса, я . е ., в точке ( x , y ) .

Идея идеального точечного источника является центральной в идее PSF. Однако в природе не существует идеального математического точечного излучателя; эта концепция полностью нефизическая и представляет собой скорее математическую конструкцию, используемую для моделирования и понимания систем оптического изображения. Полезность концепции точечного источника исходит из того факта, что точечный источник в плоскости 2D-объекта может излучать только идеальную сферическую волну однородной амплитуды - волну, имеющую идеально сферические, бегущие наружу фазовые фронты с равномерной интенсивностью повсюду на сферах ( см. принцип Гюйгенса – Френеля). Такой источник однородных сферических волн показан на рисунке ниже. Мы также отмечаем, что идеальный точечный излучатель будет не только излучать однородный спектр распространяющихся плоских волн, но также и однородный спектр экспоненциально затухающих ( затухающих ) волн, и именно они отвечают за разрешение более тонкой, чем одна длина волны (см. Фурье-оптика ). Это следует из следующего выражения преобразования Фурье для двумерной импульсной функции:

${\ displaystyle \ delta (x, y) \ propto \ int \! \! \ int e ^ {j (k_ {x} x + k_ {y} y)} \, dk_ {x} \, dk_ {y} }$

Квадратичная линза улавливает часть этой сферической волны и перефокусирует ее на размытую точку в плоскости изображения. Для одиночной линзы точечный источник на оси в плоскости объекта создает PSF- диск Эйри в плоскости изображения. Можно показать (см. Оптику Фурье , принцип Гюйгенса – Френеля , дифракцию Фраунгофера ), что поле, излучаемое плоским объектом (или, в силу взаимности, поле, сходящееся к плоскому изображению), связано с его соответствующей плоскостью источника (или изображения). распределение через соотношение преобразования Фурье (FT). Кроме того, равномерная функция по круговой области (в одной области FT) соответствуетФункция Эйри , J ₁ ( x ) / x в другой области FT, где J ₁ ( x ) - функция Бесселя первого порядка первого рода. То есть равномерно освещенная круглая апертура, которая пропускает сходящуюся однородную сферическую волну, дает изображение функции Эйри в фокальной плоскости. График типовой двумерной функции Эйри показан на следующем рисунке.

Следовательно, сходящаяся ( частичная ) сферическая волна, показанная на рисунке выше, создает диск Эйри в плоскости изображения. Аргумент функции Эйри важен, потому что он определяет масштаб диска Эйри (другими словами, насколько велик диск в плоскости изображения). Если Θ _max - это максимальный угол, под которым сходящиеся волны образуют ось линзы, r - радиальное расстояние в плоскости изображения, а волновое число k  = 2π / λ, где λ = длина волны, то аргумент функции Эйри равен: kr tan ( Θ _макс ) . Если Θ _maxмала (для формирования изображения доступна лишь небольшая часть сходящейся сферической волны), тогда радиальное расстояние r должно быть очень большим, прежде чем полный аргумент функции Эйри удалится от центрального пятна. Другими словами, если Θ _max мала, диск Эйри большой (что является просто еще одним утверждением принципа неопределенности Гейзенберга для пар преобразования Фурье, а именно, что небольшая протяженность в одной области соответствует большой протяженности в другой области, а две - связаны через произведение пространственно-пропускной способности ). В силу этого системы с большим увеличением , которые обычно имеют небольшие значения Θ _max (по условию синуса Аббе), изображение может иметь большее размытие из-за более широкого PSF. Размер PSF пропорционален увеличению , так что размытие не хуже в относительном смысле, но определенно хуже в абсолютном.

На рисунке выше показано усечение падающей сферической волны линзой. Чтобы измерить функцию рассеяния точки - или функцию импульсного отклика - линзы, идеальный точечный источник, излучающий идеальную сферическую волну во всех направлениях пространства, не нужен. Это связано с тем, что линза имеет только конечную (угловую) ширину полосы или конечный угол пересечения. Следовательно, любая угловая полоса пропускания, содержащаяся в источнике, которая простирается за краевой угол линзы (т. Е. Лежит за пределами ширины полосы пропускания системы), по существу является потраченной впустую полосой пропускания источника, потому что линза не может ее перехватить для обработки. В результате для измерения идеальной функции рассеяния точки не требуется идеальный точечный источник. Все, что нам нужно, - это источник света с угловой шириной не менее, чем у тестируемого объектива (и, конечно же,равномерно по этому угловому сектору). Другими словами, нам нужен только точечный источник, который создается сходящейся (однородной) сферической волной, половина угла которой больше угла кромки линзы.

Из-за внутреннего ограниченного разрешения систем визуализации измеренные PSF не свободны от погрешности. ^[3] При формировании изображения желательно подавить боковые лепестки луча формирования изображения с помощью методов аподизации . В случае систем передачи изображений с гауссовым распределением пучка, PSF моделируется следующим уравнением: ^[4]

${\displaystyle PSF(f,z)=I_{r}(0,z,f)\exp(-z\alpha (f))-{\dfrac {2\rho ^{2}}{0.36{\frac {cka}{{\text{NA}}f}}{\sqrt {{1+\left({\frac {2\ln 2}{c\pi }}\left({\frac {\text{NA}}{0.56k}}\right)^{2}fz\right)}^{2}}}}},}$

где К-фактор зависит от соотношения усечения и уровня освещенности, Н.А. является числовая апертура, с представляет собой скорость света, F является частота фотона пучка изображений, я _г интенсивность эталонного пучка, является поправочный коэффициент и - радиальное положение от центра луча на соответствующей z-плоскости .

История и методы [ править ]

Теория дифракции функций рассеяния точки была впервые изучена Эйри в девятнадцатом веке. Он разработал выражение для амплитуды и интенсивности функции рассеяния точки идеального инструмента без аберраций (так называемый диск Эйри ). Теория аберрированных функций рассеяния точки вблизи оптимальной фокальной плоскости изучалась Зернике и Ниджбоером в 1930–40-х годах. Центральную роль в их анализе играют многочлены окружности Цернике.которые позволяют эффективно отображать аберрации любой оптической системы с вращательной симметрией. Недавние аналитические результаты позволили расширить подход Ниджбора и Зернике для оценки функции рассеяния точки на большой объем вокруг оптимальной точки фокусировки. Эта расширенная теория Ниджбора-Цернике (ENZ) позволяет изучать несовершенные изображения трехмерных объектов в конфокальной микроскопии или астрономии в неидеальных условиях визуализации. ENZ-теория также применялась для определения характеристик оптических инструментов в отношении их аберрации путем измерения распределения интенсивности в сквозном фокусе и решения соответствующей обратной задачи .

Приложения [ править ]

Микроскопия [ править ]

В микроскопии для экспериментального определения PSF требуются источники излучения суб-разрешения (точечные). Для этого обычно используются квантовые точки и флуоресцентные шарики . ^{[5] [6]} Теоретические модели, описанные выше, с другой стороны, позволяют детально рассчитать PSF для различных условий визуализации. Обычно предпочтительна наиболее компактная форма PSF с ограничением дифракции . Однако, используя соответствующие оптические элементы (например, пространственный модулятор света ), можно изменять форму PSF для различных приложений.

Астрономия [ править ]

В наблюдательной астрономии экспериментальное определение PSF часто бывает очень простым из-за большого количества точечных источников ( звезд или квазаров ). Форма и источник PSF могут широко варьироваться в зависимости от инструмента и контекста, в котором он используется.

Для радиотелескопов и космических телескопов с дифракционным ограничением доминирующие члены в PSF могут быть выведены из конфигурации апертуры в области Фурье . На практике различные компоненты сложной оптической системы могут включать несколько элементов. Полное описание PSF будет также включать диффузию света (или фотоэлектронов) в детекторе, а также ошибки слежения в космическом корабле или телескопе.

Для наземных оптических телескопов атмосферная турбулентность (известная как астрономическое изображение ) доминирует над вкладом в PSF. При наземной съемке с высоким разрешением PSF часто меняется в зависимости от положения на изображении (эффект, называемый анизопланатизмом). В наземных системах адаптивной оптики PSF представляет собой комбинацию апертуры системы с остаточными нескорректированными атмосферными условиями. ^[7]

Литография [ править ]

PSF также является фундаментальным ограничением для обычного сфокусированного изображения отверстия ^[8] с минимальным размером отпечатка в диапазоне 0,6-0,7 длины волны / числовая апертура , при этом числовая апертура представляет собой числовую апертуру системы визуализации. ^{[9] [10]} Например, в случае системы EUV с длиной волны 13,5 нм и NA = 0,33 минимальный размер отдельных отверстий, которые могут быть отображены, находится в диапазоне 25-29 нм. Маска фазового сдвига имеет 180 градусов фазы кромок , которые позволяют более высокое разрешение. ^[8]

Офтальмология [ править ]

Функции распределения точек в последнее время стали полезным диагностическим инструментом в клинической офтальмологии . Пациенты измеряются датчиком волнового фронта Шака-Хартмана , а специальное программное обеспечение рассчитывает PSF для глаза этого пациента. Этот метод позволяет врачу смоделировать потенциальное лечение пациента и оценить, как это лечение повлияет на PSF пациента. Кроме того, после измерения PSF можно минимизировать с помощью системы адаптивной оптики. Это, в сочетании с камерой CCD и системой адаптивной оптики, может использоваться для визуализации анатомических структур, которые иначе не видны in vivo , например, фоторецепторов колбочек. ^[11]

См. Также [ править ]

• Круг замешательства , для тесно связанной темы в общей фотографии.
• Воздушный диск
• Окруженная энергия
• Лаборатория PSF
• Деконволюция
• Микроскоп
• Микросфера

Ссылки [ править ]

• Хагай Киршнер, Франсуа Аге, Даниэль Сейдж, Майкл Ансер (2013). «3-D PSF-фитинг для флуоресцентной микроскопии: применение и локализация» (PDF) . Журнал микроскопии . 249 (январь 2013 г.): 13–25. DOI : 10.1111 / j.1365-2818.2012.03675.x . PMID  23126323 . S2CID  5318333 .CS1 maint: uses authors parameter (link)

• Рэйчел Нук, Калеб Кнерншильд, Джастин Мигач, Тэхён Ким, Питер Маунц, Тру Меррилл, Харли Хайден, К.С. Пай и Чонсанг Ким (2010). «Многомасштабная оптика для улучшенного сбора света от точечного источника» (PDF) . Письма об оптике . 35 (июнь 2010 г.): 2460–2. arXiv : 1006.2188 . Bibcode : 2010OptL ... 35.2460N . DOI : 10.1364 / OL.35.002460 . ЛВП : 10161/4222 . PMID  20634863 . S2CID  6838852 .CS1 maint: uses authors parameter (link)