Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
"Tetracube" перенаправляется сюда. Для четырехмерного объекта см. Tesseract .
Все 8 односторонних тетракубов - если игнорировать хиральность, два нижних серых цвета считаются одинаковыми, что дает всего 7 свободных тетракубов.
Головоломка с расстановкой пентакубов

Поликуб представляет собой твердый фигура , образованная путем присоединения одного или более равные кубы лицом к лицу. Поликубы - это трехмерные аналоги плоских полимино . Сома куб , то куб Бедлам , то Дьявольский куб , то головоломка Slothouber-Graatsma и головоломки Conway являются примерами упаковки проблемы , основанной на polycubes. [1]

Перечисление поликубов [ править ]

Киральный pentacube

Подобно полиимино , поликубы можно пронумеровать двумя способами, в зависимости от того , считаются ли хиральные пары поликубов одним или двумя поликубами. Например, 6 тетракубов имеют зеркальную симметрию, а один - хиральный , что дает 7 или 8 тетракубов соответственно. [2] В отличие от полимино, поликубы обычно считаются с выделенными парами зеркал, потому что нельзя перевернуть поликуб, чтобы отразить его, как можно полимино с учетом трех измерений. В частности, куб Сома использует обе формы хирального тетракуба.

Поликубы классифицируются по количеству кубических ячеек в них: [3]

пИмя n -polycubeКоличество односторонних n -поликубов
(отражения считаются отдельными)
(последовательность A000162 в OEIS )		Количество свободных n -поликубов
(отражения учитываются вместе)
(последовательность A038119 в OEIS )
1монокуб11
2dicube11
3трикуб22
4тетракуб87
5пентакуб2923
6шестигранник166112
7гептакуб1023607
8октакуб69223811

Поликубы были пронумерованы до n = 16. [4] Совсем недавно были исследованы определенные семейства поликубов. [5] [6]

Симметрии поликубов [ править ]

Как и в случае с полиимино, поликубы можно классифицировать в зависимости от того, сколько у них симметрий. Симметрии поликуба (классы сопряженности подгрупп ахиральной октаэдрической группы ) были впервые перечислены У. Ф. Ланноном в 1972 году. Большинство поликубов асимметричны, но многие имеют более сложные группы симметрии, вплоть до полной группы симметрии куба с 48 элементами. . Возможны многие другие симметрии; например, существует семь возможных форм 8-кратной симметрии [2]

Свойства пентакубов [ править ]

12 пентакубов плоские и соответствуют пентамино . 5 из остальных 17 имеют зеркальную симметрию, а остальные 12 образуют 6 хиральных пар.

Ограничивающие прямоугольники пентакубов имеют размеры 5 × 1 × 1, 4 × 2 × 1, 3 × 3 × 1, 3 × 2 × 1, 4 × 2 × 2, 3 × 2 × 2 и 2 × 2 × 2. . [7]

Поликуб может иметь до 24 ориентаций в кубической решетке или 48, если допускается отражение. Из пентакубов 2 плоскости (5-1-1 и крест) имеют зеркальную симметрию по всем трем осям; у них есть только три ориентации. 10 имеют одну зеркальную симметрию; у них есть 12 ориентаций. Каждый из оставшихся 17 пентакубов имеет 24 ориентации.

Октакубы и развертывание гиперкубов [ править ]

Крест Дали

Тессеракт (четырехмерный гиперкуб ) имеет восемь кубов , как его грани , а так же , как куб может быть разворачивались в гексамин , тессеракт может быть развернут в octacube. Одно развертывание, в частности, имитирует хорошо известное развертывание куба в латинский крест : оно состоит из четырех кубов, уложенных один на другой, а еще четыре куба прикреплены к открытым квадратным граням второго сверху. куб из стопки, чтобы сформировать трехмерную форму двойного креста . Сальвадор Дали использовал эту форму в своей картине « Распятие» (Corpus Hypercubus) 1954 года [8], и она описана вРассказ Роберта А. Хайнлайна 1940 года « И он построил кривый дом ». [9] В честь Дали этот октакуб был назван крестом Дали . [10] [11] Это может мозаичное пространство . [10]

В более общем плане (отвечая на вопрос, заданный Мартином Гарднером в 1966 году), из всех 3811 различных свободных октакубов 261 являются развёртыванием тессеракта. [10] [12]

Граничная связность [ править ]

Хотя кубы поликуба должны быть соединены квадрат с квадратом, квадраты его границы не обязательно должны быть соединены ребром к краю. Например, 26-куб, сформированный путем создания сетки из кубов 3 × 3 × 3 и последующего удаления центрального куба, является действительным поликубом, в котором граница внутренней пустоты не соединена с внешней границей. Также не требуется, чтобы граница поликуба образовывала многообразие . Например, у одного из пентакубов есть два куба, которые пересекаются друг с другом, так что ребро между ними является стороной четырех граничных квадратов.

Если поликуб имеет дополнительное свойство, заключающееся в том, что его дополнение (набор целочисленных кубов, не принадлежащих поликубу) соединяется путями из кубов, пересекающихся квадратом с квадратом, то граничные квадраты поликуба обязательно также соединяются путями. квадратов, пересекающихся от края до края. [13] То есть в данном случае граница образует полииминоид .

Нерешенная задача по математике :

Можно ли любой поликуб со связной границей развернуть в полимино? Если да, то можно ли развернуть каждый такой поликуб в полимино, покрывающее плоскость?

(больше нерешенных задач по математике)

Каждый k -куб с k <7, а также крест Дали (с k = 8 ) можно развернуть в полимино, которое мозаично покрывает плоскость. Это открытый вопрос , можно ли развернуть каждый поликуб со связной границей в полимино или это всегда можно сделать с дополнительным условием, что полимино разбивает плоскость. [11]

Двойной график [ править ]

Структуру поликуба можно визуализировать с помощью «двойного графа», который имеет вершину для каждого куба и ребро для каждых двух кубов, которые имеют общий квадрат. [14] Это отличается от одноименных понятий двойственного многогранника и двойственного графа графа, вложенного в поверхность.

Двойственные графы также использовались для определения и изучения специальных подклассов поликубов, таких как те, чей двойственный граф является деревом. [15]

См. Также [ править ]

  • Упаковка штатива

Ссылки [ править ]

  1. Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Polycube. Из MathWorld
  2. ^ а б Ланнон, WF (1972). «Симметрия кубического и общего полиимино». В Риде, Рональд С. (ред.). Теория графов и вычисления . Нью-Йорк: Academic Press. С. 101–108. ISBN 978-1-48325-512-5.
  3. ^ Polycubes, в Poly Pages
  4. ^ Перечисление Кевина Гун из polycubes
  5. ^ "Перечисление конкретных классов поликубов", Жан-Марк Шампарно и др., Руанский университет, Франция PDF
  6. ^ "Свертка Дирихле и перечисление пирамидных поликубов", К. Карре, Н. Дебру, М. Денёфшатель, Дж. Дюбернар, К. Хиллерэ, Дж. Люк, О. Малле; 19 ноября 2013 г. PDF
  7. ^ Аартс, Рональд М. «Пентакуб» . Из MathWorld.
  8. ^ Кемп, Мартин (1 января 1998), "размеры Дали", Nature , 391 (27), Bibcode : 1998Natur.391 ... 27К , DOI : 10.1038 / 34063
  9. ^ Фаулер, Дэвид (2010), «Математика в научной фантастике: математика как научная фантастика», World Literature Today , 84 (3): 48–52, JSTOR 27871086 , Роберт Хайнлайн «И он построил кривый дом», опубликованный в 1940 г. и книга Мартина Гарднера «Беспристрастный профессор», опубликованная в 1946 году, являются одними из первых в научной фантастике, знакомящих читателей с лентой Мебиуса, бутылкой Клейна и гиперкубом (тессеракт). .
  10. ^ a b c Диас, Джованна; О'Рурк, Джозеф , Гиперкуб разворачивает эту плитку и , arXiv : 1512.02086 , Bibcode : 2015arXiv151202086D.
  11. ^ a b Лангерман, Стефан ; Уинслоу, Эндрю (2016), «Поликуб разворачивается, удовлетворяя критерию Конвея» (PDF) , 19-я японская конференция по дискретной и вычислительной геометрии, графам и играм (JCDCG ^ 3 2016) .
  12. ^ Терни, Питер (1984), «Разворачивание тессеракта», Журнал развлекательной математики , 17 (1): 1–16, MR 0765344 .
  13. ^ Багчи, Амитабха; Бхаргава, Анкур; Чаудхари, Амитабх; Эпштейн, Дэвид ; Шайделер, Кристиан (2006), «Влияние сбоев на расширение сети», Теория вычислительных систем , 39 (6): 903–928, arXiv : cs / 0404029 , doi : 10.1007 / s00224-006-1349-0 , MR 2279081 . См., В частности, лемму 3.9, с. 924, в котором говорится об обобщении этого свойства граничной связности на многомерные поликубы.
  14. ^ Barequet, Ронни; Барекет, Гилл; Рота, Гюнтер (2010), "Формула и темпы роста многомерного polycubes", Combinatorica , 30 (3): 257-275, DOI : 10.1007 / s00493-010-2448-8 , МР 2728490 .
  15. ^ Алупис, Грег; Bose, Prosenjit K .; Коллетт, Себастьян; Демейн, Эрик Д .; Демейн, Мартин Л .; Дуэб, Карим; Дуймович, Вида; Яконо, Джон ; Лангерман, Стефан ; Морин, Пат (2011), «Общие развертывания полиимино и поликубов», Вычислительная геометрия, графики и приложения (PDF) , Конспекты лекций в Comput. Sci . , 7033 ., Springer, Heidelberg, стр 44-54, DOI : 10.1007 / 978-3-642-24983-9_5 , МР 2927309  .

Внешние ссылки [ править ]

  • Настоящий деревянный шестигранник, построенный Кадоном.
  • Симметрии поликуба
  • Поликуб Solver Программа (с Lua исходным кодом) , чтобы заполнить ящики с polycubes использованием алгоритма X .