Кольцо полиномиальных функций

---

В математике кольцо полиномиальных функций в векторном пространстве V над полем k дает бескоординатный аналог кольца полиномов . Он обозначается k [ V ]. Если V конечномерно и рассматривается как алгебраическоемногообразие , то k [ V ] является в точности координатным кольцом V.

Явное определение кольца можно дать следующим образом. Если кольцо многочленов, то мы можем рассматривать его как координатные функции на ; т. е. когда Это предполагает следующее: для данного векторного пространства V пусть k [ V ] — коммутативная k -алгебра , порожденная двойственным пространством , которое является подкольцом кольца всех функций . Если мы зафиксируем базис для V и напишем его двойственный базис, то k [ V ] будет состоять из многочленов от .${\displaystyle k[t_{1},\dots,t_{n}]}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle k^{n}}$${\displaystyle t_{i}(x)=x_{i}}$${\displaystyle x=(x_{1},\dots,x_{n}).}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V\to k}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$

Если k бесконечно, то k [ V ] — симметрическая алгебра дуального пространства .${\displaystyle V^{*}}$

В приложениях также определяют k [ V ], когда V определено над некоторым подполем k ( например, k — комплексное поле, а V — вещественное векторное пространство). То же определение по-прежнему применяется.

---