Уравнение баланса населения
Уравнения баланса популяции (PBE) были введены в нескольких областях современной науки, в основном в химической инженерии , для описания эволюции популяции частиц. Сюда входят такие темы, как кристаллизация , [1] выщелачивание (металлургия) , [2] [3] жидкостно-жидкостная экстракция , газожидкостные дисперсии, жидкостно-жидкостные реакции, измельчение, создание аэрозолей , биология (где отдельные объекты представляют собой клетки, основанные на их размер или внутриклеточные белки [4] ), полимеризация и т. д. Можно сказать, что уравнения баланса популяции выводятся как расширениеУравнение коагуляции Смолуховского, описывающее только коалесценцию частиц. В более общем плане PBE определяют, как популяции отдельных объектов развиваются в определенных свойствах с течением времени. Они представляют собой набор интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, который дает поведение среднего поля совокупности частиц на основе анализа поведения отдельной частицы в локальных условиях. [5] Системы твердых частиц характеризуются рождением и гибелью частиц. Например, рассмотрим процесс осаждения (образование твердого вещества из жидкого раствора), который имеет подпроцессы зародышеобразования , агломерации , дробления и т. д., в результате которых увеличивается или уменьшается количество частиц определенногорадиус (при условии образования сферических частиц). Баланс населения есть не что иное, как баланс по количеству частиц определенного состояния (в данном примере размер ).
Рассмотрим среднее количество частиц со свойствами частиц, обозначенными вектором состояния частиц ( x , r ) (где x соответствует свойствам частиц, таким как размер, плотность и т. д., также известным как внутренние координаты, а r соответствует пространственному положению или внешним координатам) рассеянный в непрерывной фазе, определяемый фазовым вектором Y( r ,t) (который снова является функцией всех таких векторов, обозначающих фазовые свойства в различных местах), обозначается через f( x , r ,t). Следовательно, он дает характеристики частиц в области свойств и пространства. Пусть h( x , r , Y,t) обозначают скорость рождения частиц в единице объема пространства состояний частиц, поэтому сохранение числа можно записать как [5]
