Положительно-действительная функция

Положительно-вещественные функции , часто сокращенно называемые функцией PR или PRF , представляют собой своего рода математическую функцию, которая впервые возникла при синтезе электрических сетей . Они являются сложные функции , Z ( ы ), комплексного переменного, ев . Рациональная функция определена обладает свойством PR , если она имеет положительную вещественную часть и является аналитическим в правой полуплоскости комплексной плоскости и принимает вещественные значения на вещественной оси.

В символах это определение:

{\ Displaystyle {\ begin {align} & \ Re [Z (s)]> 0 \ quad {\ text {if}} \ quad \ Re (s)> 0 \\ & \ Im [Z (s)] = 0 \ quad {\ text {if}} \ quad \ Im (s) = 0 \ end {align}}}

В анализе электрических сетей Z ( s ) представляет собой выражение импеданса, а s - комплексная частотная переменная, часто выражаемая как ее действительная и мнимая части;

s=\sigma +i\omega \,\!

в каких терминах может быть сформулировано условие PR;

{\begin{aligned}&\Re [Z(s)]>0\quad {\text{if}}\quad \sigma >0\\&\Im [Z(s)]=0\quad {\text{if}}\quad \omega =0\end{aligned}}

Важность сетевого анализа состояния PR заключается в условии реализуемости. Z ( s ) реализуется в виде одного порта рационального импеданса , если и только если оно удовлетворяет условию PR. Реализуемость в этом смысле означает, что полное сопротивление может быть построено из конечного (следовательно, рационального) числа дискретных идеальных пассивных линейных элементов ( резисторов , катушек индуктивности и конденсаторов в электрической терминологии). ^[1]

Определение [ править ]

Термин положительно-вещественная функция был первоначально определен Отто Брюном ^[1] для описания любой функции Z ( s ), которая ^[2]

является рациональным (отношение двух многочленов ),
реально, когда s реально
имеет положительную действительную часть, когда s имеет положительную действительную часть

Многие авторы строго придерживаются этого определения, явно требуя рациональности ^[3] или ограничивая внимание рациональными функциями, по крайней мере, в первом случае. ^[4] Однако подобное более общее условие, не ограниченное рациональными функциями, ранее рассматривалось Кауэром ^[1], и некоторые авторы приписывают термин положительно-действительный для этого типа условий, в то время как другие считают его обобщением основное определение. ^[4]

История [ править ]

Это условие было впервые предложено Вильгельмом Кауэром (1926) ^[5], который определил, что это необходимое условие. Отто Брюн (1931 г.) ^[2]^[6] ввел термин «положительно-вещественное» для обозначения условия и доказал, что это условие одновременно необходимо и достаточно для его реализуемости.

Свойства [ править ]

Сумма двух PR-функций и есть PR.
Композиция двух функций PR является PR. В частности, если Z ( s ) является PR, то также и 1 / Z ( s ) и Z (1 / s ).
Все нули и полюсы функции PR находятся в левой полуплоскости или на ее границе мнимой оси.
Любые полюсы и нули на мнимой оси простые ( кратность равна единице).
Любые полюсы на мнимой оси имеют действительные строго положительные вычеты , и аналогично в любых нулях на мнимой оси функция имеет вещественную строго положительную производную.
В правой полуплоскости минимальное значение действительной части функции PR находится на мнимой оси (поскольку действительная часть аналитической функции представляет собой гармоническую функцию на плоскости и, следовательно, удовлетворяет принципу максимума ).
Для рациональной функции PR количество полюсов и количество нулей отличаются не более чем на единицу.

Обобщения [ править ]

Иногда делается несколько обобщений с целью характеристики функций иммитанса более широкого класса пассивных линейных электрических сетей.

Иррациональные функции [ править ]

Импеданс Z ( s ) сети, состоящей из бесконечного числа компонентов (например, полубесконечной лестницы ), не обязательно должен быть рациональной функцией s и, в частности, может иметь точки ветвления на отрицательной действительной оси s . Чтобы учесть такие функции в определении PR, необходимо ослабить условие, что функция будет действительной для всех действительных s , и требовать этого только тогда, когда s положительно. Таким образом, возможно иррациональная функция Z ( s ) является PR тогда и только тогда, когда

Z ( s ) аналитична в открытой правой полуплоскости s (Re [ s ]> 0)
Z ( s ) реально, когда s положительно и реально
Re [ Z ( s )] ≥ 0, когда Re [ s ] ≥ 0

Некоторые авторы начинают с этого более общего определения, а затем конкретизируют его для рационального случая.

Матричнозначные функции [ править ]

Линейные электрические сети с более чем одним портом можно описать матрицами импеданса или проводимости . Таким образом, расширив определение PR до матричнозначных функций, можно отличить пассивные линейные многопортовые сети от пассивных. Возможно иррациональная матричнозначная функция Z ( s ) является PR тогда и только тогда, когда

Каждый элемент Z ( s ) аналитичен в открытой правой полуплоскости s (Re [ s ]> 0)
Каждый элемент Z ( s ) реален, когда s положительный и действительный
Эрмитова часть ( Z ( s ) + Z ^† ( ов )) / 2 Z ( ов ) является положительным полуопределенной , когда Re [ с ] ≥ 0

Ссылки [ править ]

^ a b c Э. Кауэр, У. Матис и Р. Паули, «Жизнь и работа Вильгельма Кауэра (1900–1945) », Труды Четырнадцатого Международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000) , Перпиньян, Июнь 2000 г. Проверено онлайн 19 сентября 2008 г.
^ a b Brune, O, "Синтез конечной двухполюсной сети, импеданс точки возбуждения которой является заданной функцией частоты", докторская диссертация, Массачусетский технологический институт, 1931 г. Получено онлайн 3 июня 2010 г.
^ Бакши, Удай; Бакши, Аджай (2008). Сетевая теория . Пуна: Технические публикации. ISBN 978-81-8431-402-1.
^ a b Крыло, Омар (2008). Классическая теория цепей . Springer. ISBN 978-0-387-09739-8.
^ Кауэр, W, "Die Verwirklichung der Wechselstromwiderst ände vorgeschriebener Frequenzabh ängigkeit", Archiv für Elektrotechnik , vol 17 , pp355–388, 1926.
^ Brune, O, "Синтез конечной двухполюсной сети, сопротивление точки возбуждения которой является заданной функцией частоты", J. Math. и Phys. , vol 10 , pp191–236, 1931.

Вильгельм Кауэр (1932) Интеграл Пуассона для функций с положительной действительной частью , Бюллетень Американского математического общества 38: 713–7, ссылка на проект Евклид .
У. Кауэр (1932) "Убер-функционал с позитивом в реальной жизни" , Mathematische Annalen 106: 369–94.

[CauerMathisPauli-1] Э. Кауэр, У. Матис и Р. Паули, «Жизнь и работа Вильгельма Кауэра (1900–1945) », Труды Четырнадцатого Международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000) , Перпиньян, Июнь 2000 г. Проверено онлайн 19 сентября 2008 г.

[Brune1931a-2] Brune, O, "Синтез конечной двухполюсной сети, импеданс точки возбуждения которой является заданной функцией частоты", докторская диссертация, Массачусетский технологический институт, 1931 г. Получено онлайн 3 июня 2010 г.

[3] Бакши, Удай; Бакши, Аджай (2008). Сетевая теория . Пуна: Технические публикации. ISBN 978-81-8431-402-1.

[Wing-4] Крыло, Омар (2008). Классическая теория цепей . Springer. ISBN 978-0-387-09739-8.

[5] Кауэр, W, "Die Verwirklichung der Wechselstromwiderst ände vorgeschriebener Frequenzabh ängigkeit", Archiv für Elektrotechnik , vol 17 , pp355–388, 1926.

[Brune1931b-6] Brune, O, "Синтез конечной двухполюсной сети, сопротивление точки возбуждения которой является заданной функцией частоты", J. Math. и Phys. , vol 10 , pp191–236, 1931.

[1]