Положительная форма

В комплексной геометрии термин положительная форма относится к нескольким классам вещественных дифференциальных форм типа Ходжа (p, p) .

(1,1) -формы [ править ]

Вещественные ( p , p ) -формы на комплексном многообразии M - это формы, которые имеют тип ( p , p ) и являются действительными, то есть лежат в пересечении: вещественная (1,1) -форма называется положительной, если любая из выполняются следующие эквивалентные условия${\ displaystyle \ Lambda ^ {p, p} (M) \ cap \ Lambda ^ {2p} (M, {\ mathbb {R}}).}$${\ displaystyle \ omega}$

1. ${\ displaystyle - \ omega}$является мнимой частью положительной (не обязательно положительно определенной) эрмитовой формы .
2. Для некоторого базиса в пространстве (1,0) -форм можно записать по диагонали, как с вещественными, так и с неотрицательными.${\ displaystyle dz_ {1}, ... dz_ {n}}$${\ displaystyle \ Lambda ^ {1,0} M}$${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \ omega}$${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \ omega = \ sum _ {i} \ alpha _ {i} dz_ {i} \ wedge d {\ bar {z}} _ {i},}$${\ displaystyle \ alpha _ {я}}$
3. Для любого (1,0) -tangent вектора ,${\ displaystyle v \ in T ^ {1,0} M}$${\ displaystyle - {\ sqrt {-1}} \ omega (v, {\ bar {v}}) \ geq 0}$
4. Для любого вещественного касательного вектора , где это сложная структура оператора.${\ displaystyle v \ in TM}$${\ Displaystyle \ омега (v, я (v)) \ geq 0}$${\ Displaystyle I: \; TM \ mapsto TM}$

Наборы положительных линий [ править ]

В алгебраической геометрии положительные (1,1) -формы возникают как формы кривизны обильных линейных расслоений (также известных как положительные линейные расслоения ). Пусть L - голоморфное эрмитово линейное расслоение на комплексном многообразии,

${\ displaystyle {\ bar {\ partial}}: \; L \ mapsto L \ otimes \ Lambda ^ {0,1} (M)}$

оператор его сложной структуры. Тогда L снабжен единственной связностью, сохраняющей эрмитову структуру и удовлетворяющей

${\ displaystyle \ nabla ^ {0,1} = {\ bar {\ partial}}}$.

Это соединение называется Черно соединением .

Кривизна связности Черна всегда является чисто мнимой (1,1) -формой. Линейное расслоение L называется положительным, если${\ displaystyle \ Theta}$

${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \ Theta}$

является положительно определенной (1,1) -формой. Теорема вложения Кодаиры утверждает, что положительное линейное расслоение обильно, и, наоборот, любое обильное линейное расслоение допускает эрмитову метрику с положительной метрикой .${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \ Theta}$

Положительность для (p, p) -форм [ править ]

Положительные (1,1) -формы на M образуют выпуклый конус . Когда M - компактная комплексная поверхность , этот конус самодвойственен относительно спаривания Пуанкаре:${\ displaystyle dim _ {\ mathbb {C}} M = 2}$${\displaystyle \eta ,\zeta \mapsto \int _{M}\eta \wedge \zeta }$

Для (p, p) -форм, где , существуют два разных понятия положительности. Форма называется строго положительной, если она представляет собой линейную комбинацию произведений положительных форм с положительными действительными коэффициентами. Вещественная (p, p) -форма на n -мерном комплексном многообразии M называется слабо положительной, если для всех сильно положительных (np, np) -форм ζ с компактным носителем выполняется .${\displaystyle 2\leq p\leq dim_{\mathbb {C} }M-2}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \int _{M}\eta \wedge \zeta \geq 0}$

Слабо положительные и сильно положительные формы образуют выпуклые конусы. На компактных многообразиях эти конусы двойственны относительно спаривания Пуанкаре.

Ссылки [ править ]

• П. Гриффитс и Дж. Харрис (1978), Принципы алгебраической геометрии , Wiley. ISBN  0-471-32792-1
• Ж.-П. Демайи , L ² исчезающей теоремы для положительных линейных расслоений и теории примыкания, Lecture Записки CIME курса «трансцендентных методов алгебраической геометрии» (Cetraro, Италия, июль 1994) .