Предшественник (физика)

Предвестники - это характерные волновые структуры, вызванные дисперсией частотных составляющих импульса при его распространении в среде. Классически предвестники предшествуют основному сигналу, хотя в определенных ситуациях они также могут следовать за ним. Явления-предвестники существуют для всех типов волн, так как их появление зависит только от значимости эффектов дисперсии в данном режиме распространения волн. Эта неспецифичность была подтверждена наблюдением моделей - предшественников в различных типах электромагнитного излучения ( микроволновые печи , ^[1] видимый свет , ^[2] и терагерцового излучения ^[3] ), а также в жидких поверхностных волн^[4] и сейсмические волны . ^[5]

История [ править ]

Предшественники были впервые теоретически предсказаны в 1914 году Арнольдом Зоммерфельдом для случая распространения электромагнитного излучения через нейтральный диэлектрик в области нормальной дисперсии. ^[6] В последующие годы работы Зоммерфельда были расширены Леоном Бриллюэном , который применил приближение седловой точки для вычисления соответствующих интегралов. ^[6] Однако только в 1969 году прекурсоры были впервые экспериментально подтверждены для случая распространения микроволн в волноводе ^[1].и большая часть экспериментальных работ по наблюдению предвестников в других типах волн была сделана только с 2000 года. Это экспериментальное отставание в основном связано с тем, что во многих ситуациях предвестники имеют гораздо меньшую амплитуду, чем сигналы, которые их вызывают. (базовая цифра, приведенная Бриллюэном, на шесть порядков меньше). ^[6] В результате экспериментальные подтверждения могли быть сделаны только после того, как стали доступны технологии для обнаружения прекурсоров.

Основная теория [ править ]

Как явление дисперсии, амплитуда волны-предвестника, распространяющейся в одном измерении, на любом расстоянии и во времени может быть выражена интегралом Фурье

${\ Displaystyle е (х, т) = {\ гидроразрыва {1} {2 \ pi}} \ int {\ hat {\ zeta}} _ {0} (\ omega) \ exp \ left [-i \ left ( k (\ omega) x- \ omega t \ right) \ right] d \ omega}$

где - преобразование Фурье начального импульса, а комплексная экспонента представляет отдельные составляющие вейвлеты, суммированные в интеграле. Чтобы учесть эффекты дисперсии, фаза экспоненты должна включать в себя дисперсионное соотношение (в данном случае фактор) для конкретной среды, в которой распространяется волна. ${\ displaystyle {\ hat {\ zeta}} _ {0} (\ omega)}$${\ Displaystyle \ ехр \ влево [-i \ влево (к (\ омега) х- \ омега т \ вправо) \ вправо]}$${\ Displaystyle к (\ омега)}$

Приведенный выше интеграл может быть решен только в замкнутой форме, когда сделаны идеализированные предположения относительно начального импульса и дисперсионного соотношения, как в выводе Зоммерфельда ниже. В большинстве реалистичных случаев для вычисления интеграла требуется численное интегрирование .

Вывод Зоммерфельда для электромагнитных волн в нейтральном диэлектрике [ править ]

Предполагая, что начальный импульс принимает форму синусоиды, резко включающейся во время ,${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle f (t) = \ left \ {{\ begin {array} {rl} 0 & t <0 \\\ sin {\ frac {2 \ pi t} {\ tau}} & t \ geq 0 \ end {array }}\верно.,}$

то мы можем записать интеграл общего вида, приведенный в предыдущем разделе, как

${\displaystyle f(x,t)=-{\frac {1}{\tau }}\int e^{-i(k(\omega )x-\omega t)}{\frac {d\omega }{\omega ^{2}-(2\pi /\tau )^{2}}}.}$

Для простоты мы предполагаем, что все задействованные частоты находятся в диапазоне нормальной дисперсии среды, и допускаем, что дисперсионное соотношение принимает вид

${\displaystyle k(\omega )={\frac {\omega }{c}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}}}}$

где , будучи количество атомных осцилляторов в среде, и заряд и масса каждого из них, собственной частоты осцилляторов, и в вакуумной диэлектрической проницаемости . Это дает интеграл${\displaystyle a^{2}={\frac {Nq^{2}}{m\epsilon _{0}\omega _{0}^{2}}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \epsilon _{0}}$

${\displaystyle f(x,t)=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i\left(x{\frac {\omega }{c}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}}}-\omega t\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}-(2\pi /\tau )^{2}}}.}$

Чтобы решить этот интеграл, мы сначала выражаем время через запаздывающее время , которое необходимо для обеспечения того, чтобы решение не нарушало причинно-следственную связь, распространяясь быстрее, чем . Мы также рассматриваем как большие и игнорируем этот термин из- за члена второго порядка . Наконец, подставляем , получая${\displaystyle t'=t-{\frac {x}{c}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle |\omega |}$${\displaystyle {\frac {2\pi }{\tau }}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \xi ={\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{2c}}x}$

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i\left({\frac {\xi }{\omega }}+\omega t'\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}}$

Переписывая это как

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i{\sqrt {\xi t'}}\left({\frac {1}{\omega }}{\sqrt {\frac {\xi }{t'}}}+\omega {\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}}$

и делая замены

${\displaystyle \omega {\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}=e^{ik},\qquad {\frac {d\omega }{\omega }}=idk,\qquad {\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}=i{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}e^{-ik}dk}$

позволяет преобразовать интеграл к виду

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {i}{\tau }}{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}\int \exp \left[-2i{\sqrt {\xi t'}}\cos k\right]e^{-ik}dk,}$

где - просто фиктивная переменная, и, наконец,${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(\xi ,t')={\frac {2\pi }{\tau }}{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}J_{1}\left(2{\sqrt {\xi t'}}\right),}$

где - функция Бесселя первого рода. Это решение, представляющее собой колебательную функцию с амплитудой и периодом, которые увеличиваются с увеличением времени, характерно для определенного типа предшественника, известного как предшественник Зоммерфельда . ^[7]${\displaystyle J_{1}}$

Стационарный фазовый приближенный анализ периода [ править ]

Приближение стационарной фазы может быть использовано для анализа формы волн - предшественников без решения общего интеграла формы , приведенный в разделе Основы теории выше. Приближение стационарной фазы утверждает, что для любой скорости распространения волны, определенной с любого расстояния и времени , доминирующей частотой предвестника является частота, групповая скорость которой равна :${\displaystyle {\frac {x}{t}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \omega _{D}}$${\displaystyle {\frac {x}{t}}}$

${\displaystyle v_{g}(\omega _{D})=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{\omega _{D}}={\frac {x}{t}}.}$

Следовательно, можно определить приблизительный период сигнала-предвестника на определенном расстоянии и в определенное время, вычислив период частотной составляющей, которая достигнет этого расстояния и времени, на основе ее групповой скорости. В области нормальной дисперсии высокочастотные компоненты имеют более высокую групповую скорость, чем низкочастотные, поэтому фронт предвестника должен иметь период, соответствующий периоду наиболее высокочастотного компонента исходного импульса; с увеличением времени прибывают компоненты с более низкими и более низкими частотами, поэтому период предвестника становится все длиннее и длиннее, пока не появится компонент с самой низкой частотой. По мере поступления все большего количества компонентов амплитуда предвестника также увеличивается. Конкретный тип предшественника, характеризующийся увеличением периода и амплитуды, известен каквысокочастотный прекурсор Зоммерфельда .

В области аномальной дисперсии, где низкочастотные компоненты имеют более высокие групповые скорости, чем высокочастотные, происходит противоположная вышеописанная ситуация: начало предвестника характеризуется большим периодом, и период сигнала уменьшается с увеличением время. Этот тип прекурсора называется низкочастотным прекурсором Зоммерфельда .

В определенных ситуациях распространения волн (например, поверхностных волн жидкости) две или более частотных составляющих могут иметь одинаковую групповую скорость для определенных диапазонов частот; обычно это сопровождается локальным экстремумом на кривой групповой скорости. Это означает, что для определенных значений времени и расстояния сигнал-предвестник будет состоять из суперпозиции как низкочастотных, так и высокочастотных предвестников Зоммерфельда. Любые локальные экстремумы соответствуют только отдельным частотам, поэтому в этих точках будет вклад от сигнала-предвестника с постоянным периодом; это известно как предшественник Бриллюэна .

Ссылки [ править ]