Приближение стационарной фазы

В математике , то метод стационарной фазы является основным принципом асимптотического анализа , применяя к пределу .${\ Displaystyle к \ к \ infty}$

Этот метод восходит к 19 веку и принадлежит Джорджу Габриэлю Стоуксу и лорду Кельвину . ^[1]

Основы [ править ]

Основная идея методов стационарной фазы заключается в устранении синусоид с быстро меняющейся фазой. Если у многих синусоид есть одна и та же фаза, и они складываются вместе, они складываются конструктивно. Если, однако, эти же синусоиды имеют фазы, которые быстро меняются при изменении частоты, они будут складываться бессвязно, варьируя между конструктивным и деструктивным сложением в разное время.

Формула [ править ]

Обозначение через обозначение множества критических точек функции (то есть точек, где ), в предположении, что либо с компактным носителем, либо с экспоненциальным убыванием, и что все критические точки невырождены (т.е. для ), мы имеем следующую асимптотическую формулу, как :${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ nabla f = 0}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle \ Det (\ mathrm {Hess} (е (x_ {0})) \ neq 0}$${\ displaystyle x_ {0} \ in \ Sigma}$${\ Displaystyle к \ к \ infty}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }e^{ikf(x_{0})}|\det({\mathrm {Hess} }(f))|^{-1/2}e^{\pi i/4\mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f))}(2\pi /k)^{n/2}g(x_{0})+o(k^{-n/2})}$

Здесь обозначает Hessian из , и обозначает подпись Гессиана, то есть число положительных чисел минус число отрицательных собственных значений.${\displaystyle \mathrm {Hess} (f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {sgn} (\mathrm {Hess} (f))}$

Ибо это сводится к:${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }g(x)e^{ikf(x)}dx=\sum _{x_{0}\in \Sigma }g(x_{0})e^{ikf(x_{0})+\mathrm {sign} (f''(x_{0}))i\pi /4}\left({\frac {2\pi }{k|f''(x_{0})|}}\right)^{1/2}+o(k^{-1/2})}$

В этом случае предположения о невырожденности сводятся ко всем критическим точкам.${\displaystyle f}$

Это просто версия формулы метода наискорейшего спуска с вращением по фитилю .

Пример [ править ]

Рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i[k(\omega )x-\omega t]}\,d\omega }$.

Фазовый член в этой функции является стационарным, когда${\displaystyle \phi =k(\omega )x-\omega t}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}{\mathopen {}}\left(k(\omega )x-\omega t\right){\mathclose {}}=0}$

или, что эквивалентно,

${\displaystyle {\frac {dk}{d\omega }}={\frac {t}{x}}}$.

Решения этого уравнения дают доминирующие частоты для некоторых и . Если мы расширим ряд Тейлора примерно и пренебрегаем членами порядка выше , мы имеем${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle (\omega -\omega _{0})^{2}}$

${\displaystyle \phi =\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]+{\frac {1}{2}}xk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}+\cdots }$

где обозначает вторую производную от . Когда она относительно велика, даже небольшая разница вызовет быстрые колебания интеграла, что приведет к отмене. Следовательно, мы можем расширить пределы интегрирования за пределы разложения Тейлора. Если мы воспользуемся формулой,${\displaystyle k''}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (\omega -\omega _{0})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}icx^{2}}dx={\sqrt {\frac {2i\pi }{c}}}={\sqrt {\frac {2\pi }{|c|}}}e^{\pm i{\frac {\pi }{4}}}}$.

${\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {1}{2\pi }}e^{i\left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\right]}\left|F(\omega _{0})\right|\int _{\mathbb {R} }e^{{\frac {1}{2}}ixk''(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{2}}\,d\omega }$.

Это интегрируется в

${\displaystyle f(x,t)\approx {\frac {\left|F(\omega _{0})\right|}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\left|k''(\omega _{0})\right|}}}\cos \left[k(\omega _{0})x-\omega _{0}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right]}$.

Шаги сокращения [ править ]

Первое крупное общее утверждение принципа вовлеченного в том , что асимптотическое поведение I ( K ) зависит только от критических точек из е . Если по выбору g интеграл локализован в области пространства, где f не имеет критической точки, результирующий интеграл стремится к 0, поскольку частота колебаний берется до бесконечности. См., Например, лемму Римана – Лебега .

Второе утверждение , что , когда F представляет собой функцию Морзе , так что особые точки F являются невырожденными и изолированы, то вопрос может быть сведен к случаю п = 1. В самом деле, то, выбор г может быть сделано для разбиения интеграла на случаи, в каждом из которых есть только одна критическая точка P. В этот момент, поскольку определитель Гессе в точке P по предположению не равен 0, применима лемма Морса . Изменением координат f можно заменить на

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{j}^{2})-(x_{j+1}^{2}+x_{j+2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})}$.

Значение J дается подписью в гессенской матрице из F в P . Что же касается г , существенный является то , что случай г является продуктом столбиковых функций от й _я . Теперь без ограничения общности предполагая, что P является началом координат, возьмем функцию плавного выступа h со значением 1 на интервале [-1, 1] и быстро стремящимся к 0 вне его. Брать

${\displaystyle g(x)=\prod _{i}h(x_{i})}$,

то теорема Фубини сводит I ( k ) к произведению интегралов по вещественной прямой, например

${\displaystyle J(k)=\int h(x)e^{ikf(x)}\,dx}$

где f ( x ) = ± x ² . Случай со знаком минус является комплексно сопряженным случаю со знаком плюс, поэтому, по существу, требуется одна асимптотическая оценка.

Таким образом можно найти асимптотику осциллирующих интегралов для функций Морса. Вырожденный случай требует дополнительных методов (см., Например, функцию Эйри ).

Одномерный случай [ править ]

Существенное утверждение таково:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}e^{ikx^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{k}}}e^{i\pi /4}+{\mathcal {O}}{\mathopen {}}\left({\frac {1}{k}}\right){\mathclose {}}}$.

Фактически, с помощью контурного интегрирования можно показать, что главный член в правой части уравнения - это значение интеграла в левой части, расширенное по диапазону (для доказательства см. Интеграл Френеля ). Следовательно, речь идет об оценке интеграла, скажем, по . ^[2]${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle [1,\infty ]}$

Это модель для всех одномерных интегралов с единственной невырожденной критической точкой, в которой есть вторая производная . Фактически, в модельном случае вторая производная 2 равна 0. Для масштабирования использования обратите внимание, что замена на, где является константой, аналогична масштабированию на . Отсюда следует, что для общих значений коэффициент принимает вид${\displaystyle I(k)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle >0}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle ck}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\sqrt {c}}}$${\displaystyle f''(0)>0}$${\displaystyle {\sqrt {\pi /k}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {2\pi }{kf''(0)}}}}$.

Например, используется формула комплексного сопряжения, как упоминалось ранее.${\displaystyle f''(0)<0}$

Условия низшего порядка [ править ]

Как видно из формулы, приближение стационарной фазы является приближением первого порядка асимптотики интеграла. Члены более низкого порядка можно понимать как сумму диаграмм Фейнмана с различными весовыми коэффициентами для хорошего поведения .${\displaystyle f}$

См. Также [ править ]

• Общие интегралы в квантовой теории поля

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Блейстейн Н., Хандельсман Р. (1975), Асимптотические разложения интегралов , Довер, Нью-Йорк.
• Виктор Гийемин и Шломо Штернберг (1990), Геометрическая асимптотика , (см. Главу 1).
• Хёрмандер, Л. (1976), Линейные дифференциальные операторы с частными производными, том 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00662-6.
• Аки, Кейити; И Ричардс, Пол Г. (2002). "Количественная сейсмология" (2-е изд.), Стр 255–256. Научные книги университета, ISBN 0-935702-96-2 
• Вонг Р. (2001), Асимптотические приближения интегралов , Классика прикладной математики, т. 34. Исправленное перепечатание оригинала 1989 г. Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), Филадельфия, Пенсильвания. xviii + 543 страницы, ISBN 0-89871-497-4 . 
• Дьедонне, Дж. (1980), Calcul Infinitésimal , Герман, Париж

Внешние ссылки [ править ]

• "Стационарная фаза, метод" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]