Простая постоянная

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  "Prime constant"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Премьер константа является вещественное число которых й двоичная цифра 1 , если это простое и 0 , если это композитный или 1.${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Другими словами, это просто число которых двоичная соответствует индикаторной функции на множестве из простых чисел . То есть,${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {p} {\ frac {1} {2 ^ {p}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi _ {\ mathbb {P}} (n)} {2 ^ {n}}}}$

где обозначает простое число, а - характеристическая функция набора простых чисел.${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ chi _ {\ mathbb {P}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$

Начало десятичного разложения ρ : (последовательность A051006 в OEIS )${\ displaystyle \ rho = 0,414682509851111660248109622 \ ldots}$

Начало двоичного раскрытия: (последовательность A010051 в OEIS )${\displaystyle \rho =0.011010100010100010100010000\ldots _{2}}$

Иррациональность [ править ]

Число легко показать , чтобы быть иррациональным . Чтобы понять почему, предположим, что это было рационально .${\displaystyle \rho }$

Обозначим -ую цифру двоичного разложения числа через . Тогда, поскольку предполагается рациональным, его двоичное расширение является периодическим, и поэтому существуют положительные целые числа и такие, что для всех и всех .${\displaystyle k}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle r_{k}}$${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r_{n}=r_{n+ik}}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

Поскольку число простых чисел бесконечно, мы можем выбрать простое число . По определению мы это видим . Как уже отмечалось, у нас есть для всех . Теперь рассмотрим случай . У нас есть , поскольку является составным, потому что . Поскольку мы видим, что это иррационально.${\displaystyle p>N}$${\displaystyle r_{p}=1}$${\displaystyle r_{p}=r_{p+ik}}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$${\displaystyle i=p}$${\displaystyle r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0}$${\displaystyle p(k+1)}$${\displaystyle k+1\geq 2}$${\displaystyle r_{p}\neq r_{p(k+1)}}$${\displaystyle \rho }$

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Prime Constant" . MathWorld .