Принципы построения сетки

Сетки или сетки представляют собой геометрические формы (сформированные после дискретизации геометрической области), которые представляют собой дискретные ячейки небольшого размера, покрывающие физическую область, цель которых состоит в том, чтобы идентифицировать дискретные объемы или элементы, к которыммогут применяться законы сохранения . У них есть приложения в областях вычислительной гидродинамики (CFD), географии , проектирования и многих другихобластях,гдетребуютсячисленные решения уравнений в частных производных (PDE).

Создание числовой сетки - это важный начальный шаг, связанный с вычислением численных решений уравнений, описывающих физический процесс. Точность решения зависит от качества созданной сетки. Хорошо построенная сетка может улучшить качество решения, тогда как отклонения от численного решения могут наблюдаться при плохо построенной сетке.Приемы создания ячейки составляют основу построения сетки. Ниже обсуждаются различные методы построения сетки.

Алгебраические методы [ править ]

Геометрия сопла

Вычислительная сетка в физическом пространстве

Построение сетки алгебраическими методами основано на математической интерполяционной функции . Это делается с использованием известных функций в одном, двух или трех измерениях с использованием областей произвольной формы. Расчетная область может быть не прямоугольной, но для простоты область считается прямоугольной. Основное преимущество методов заключается в том, что они обеспечивают явный контроль физической формы и расстояния сетки. Самая простая процедура, которую можно использовать для создания расчетной сетки с аппроксимацией границ, - это преобразование нормализации. ^[1]
Для сопла с описывающей функцией сетка может быть легко сгенерирована с помощью равномерного деления в направлении y с одинаковыми приращениями по x. ${\ Displaystyle у = х ^ {2}}$ -направления, которые описываются

{\ Displaystyle \ xi = х \,}

{\ displaystyle \ eta = {\ frac {y} {y _ {\ max}}} \,}

где обозначает y-координату стенки сопла. При заданных значениях ( , ) значения ( , ) легко восстанавливаются. ${\ displaystyle y _ {\ max}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ eta}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

Методы дифференциальных уравнений [ править ]

Как и алгебраические методы, методы дифференциальных уравнений также используются для создания сеток. Преимущество использования дифференциальных уравнений в частных производных (PDE) заключается в том, что решение уравнений построения сетки можно использовать для создания сетки. Построение сетки может быть выполнено с использованием всех трех классов дифференциальных уравнений в частных производных .

Эллиптические схемы [ править ]

Эллиптические УЧП обычно имеют очень гладкие решения, приводящие к гладким контурам. Используя его гладкость как преимущество , предпочтительно использовать уравнения Лапласа, потому что якобиан оказался положительным в результате принципа максимума для гармонических функций . После обширной работы, проделанной Кроули (1962) и Уинслоу (1966) ^[2] над УЧП путем преобразования физической области в вычислительную плоскость при отображении с использованием уравнения Пуассона , Томпсон и др. (1974) ^[3] много работали над эллиптическими УЧП для создания сеток. В генераторах сетки Пуассона отображение выполняется путем пометки желаемых точек сетки. ${\ Displaystyle (х, у)}$ на границе физической области с распределением внутренних точек, определенным путем решения уравнений, записанных ниже

{\ Displaystyle \ xi _ {xx} + \ xi _ {yy} = P (\ xi, \ eta)}

{\ displaystyle \ eta _ {xx} + \ eta _ {yy} = Q (\ xi, \ eta)}

где, - координаты в вычислительной области, а P и Q отвечают за расстояние между точками внутри D. Преобразование приведенных выше уравнений в вычислительном пространстве дает набор из двух эллиптических уравнений в частных производных вида, $(\xi ,\eta )$

\alpha x_{\xi \xi }-2\beta x_{\xi \eta }+\gamma x_{\eta \eta }=-I^{2}(Px_{\xi }+Qx_{\eta })

\alpha y_{\xi \xi }-2\beta y_{\xi \eta }+\gamma y_{\eta \eta }=-I^{2}(Py_{\xi }+Qy_{\eta })

куда

{\begin{aligned}\alpha &=x_{\eta }^{2}+y_{\eta }^{2}\\\beta &=x_{\eta }x_{\xi }+y_{\xi }y_{\eta }\\\gamma &=x_{\xi }^{2}+y_{\xi }^{2}\\I&={\frac {\delta (x,y)}{\delta (\xi ,\eta )}}=y_{\eta }x_{\xi }-y_{\xi }x_{\eta }\end{aligned}}

Эти системы уравнений решаются в вычислительной плоскости на равномерно распределенной сетке, которая предоставляет нам координаты каждой точки в физическом пространстве. Преимущество использования эллиптических УЧП состоит в том, что связанное с ними решение является гладким, а результирующая сетка - гладкой. Но спецификация P и Q становится сложной задачей, что добавляет к ее недостаткам. Более того, сетка должна вычисляться после каждого временного шага, что увеличивает время вычислений. ^[4] $(x,y)$

Гиперболические схемы [ править ]

Эта схема генерации сетки обычно применима к задачам с открытыми областями, совместимыми с типом PDE, описывающим физическую проблему. Преимущество, связанное с гиперболическими УЧП, состоит в том, что основные уравнения необходимо решить только один раз для создания сетки. Распределение начальных точек вместе с приблизительными граничными условиями формирует требуемый ввод, а решение - это продвижение наружу. Стегер и Соренсон (1980) ^[5] предложили метод объемной ортогональности, который использует гиперболические уравнения в частных производных для создания сетки. Для двумерной задачи, учитывая, что вычислительное пространство задается выражением , обратное к якобиану имеет вид $\Delta \xi =\Delta \eta =1$

x_{\xi }y_{\eta }-x_{\eta }y_{\xi }=I

где представляет площадь в физическом пространстве для данной области в вычислительном пространстве. Второе уравнение связывает ортогональность линий сетки на границе в физическом пространстве, которую можно записать как $I$

d\xi =0=\xi _{x}\,dx+\xi _{y}\,dy.

Для получения и поверхностей , чтобы быть перпендикулярным уравнение принимает вид $\xi$ $\eta$

x_{\xi }x_{\eta }+y_{\xi }y_{\eta }=0.

Проблема, связанная с такой системой уравнений, заключается в спецификации . Плохой выбор может привести к сотрясению и прерывистому распространению этой информации по сетке. Ортогональная сетка создается очень быстро, что является преимуществом этого метода. $I$ $I$

Параболические схемы [ править ]

Техника решения аналогична таковой для гиперболических УЧП за счет продвижения решения от поверхности начальных данных, удовлетворяющих граничным условиям в конце. Накамура (1982) и Эдвардс (1985) разработали основные идеи создания параболической сетки. В этой идее используется либо уравнение Лапласа, либо уравнение Пуассона, и особенно рассматриваются части, которые контролируют эллиптическое поведение. Начальные значения задаются в виде координат точки вдоль поверхности и продвижения решений к внешней поверхности объекта, удовлетворяющих граничным условиям по краям. $\eta =0$ $\xi$

Контроль шага сетки до сих пор не предлагался. Накамура и Эдвардс, управление сеткой осуществлялось с использованием неравномерного интервала. Генерация параболической сетки показывает преимущество по сравнению с генерацией гиперболической сетки в том, что не возникает ударов или разрывов, а сетка является относительно гладкой. Однако определение начальных значений и выбор размера шага для управления точками сетки отнимают много времени, но эти методы могут быть эффективными, когда приобретены знания и опыт.

Вариационные методы [ править ]

Этот метод включает в себя технику, которая минимизирует гладкость сетки , ортогональность и вариацию объема. Этот метод формирует математическую платформу для решения задач построения сетки. В этом методе альтернативная сетка генерируется новой сеткой после каждой итерации и вычислением скорости сетки с использованием метода обратной разности . Этот метод является мощным, но его недостаток состоит в том, что для решения уравнений, связанных с сеткой, требуются усилия. Требовалось проделать дополнительную работу, чтобы минимизировать интегралы , которые сократят время процессора.

Генерация неструктурированной сетки [ править ]

См. Также Создание сетки . Основное значение этой схемы состоит в том, что она предоставляет метод, который автоматически генерирует сетку. Используя этот метод, сетки сегментируются на блоки в соответствии с поверхностью элемента, и предоставляется структура, обеспечивающая соответствующую связь. Для интерпретации потока данных используется решатель. Когда используется неструктурированная схема, основной интерес состоит в том, чтобы удовлетворить потребности пользователя, и для выполнения этой задачи используется генератор сети. Хранение информации в структурированной схеме осуществляется от ячейки к ячейке, а не от сетки к сетке, и, следовательно, требуется больше места в памяти. Из-за случайного расположения ячеек эффективность решателя в неструктурированной схеме ниже по сравнению со структурированной схемой. ^[6]

Необходимо иметь в виду , в то время сетки Некоторые моменты строительства . Точка сетки с высоким разрешением создает трудности как для структурированных, так и для неструктурированных изображений. Например, в случае пограничного слоя структурированная схема дает вытянутую сетку по направлению потока. С другой стороны, неструктурированные сетки требуют более высокой плотности ячеек в пограничном слое, потому что ячейка должна быть как можно более равносторонней, чтобы избежать ошибок. ^[7]

Информация о подключении [ править ]

Мы должны определить, какая информация требуется для идентификации ячейки и всех соседей ячейки в вычислительной сетке. Мы можем разместить произвольные точки в любом месте неструктурированной сетки. Схема вставки точек используется для независимой вставки точек и определения связности ячеек. Это предполагает, что точки будут идентифицированы по мере их вставки. Логика для установления нового соединения определяется после того, как точки вставлены. Необходимы данные, образующие точку сетки, которая определяет ячейку сетки. По мере формирования каждой ячейки она нумеруется и точки сортируются. Кроме того, необходима информация о соседних сотах.

Адаптивная сетка [ править ]

Проблема при решении уравнений в частных производных с использованием предыдущих методов заключается в том, что сетка строится, а точки распределяются в физической области до того, как становятся известны детали решения. Таким образом, сетка может или не может быть лучшей для данной проблемы. ^[8]

Адаптивные методы используются для повышения точности решений. Адаптивный метод называется методом «h», если используется уточнение сетки, методом «r», если количество точек сетки фиксировано и не перераспределяется, и «p», если порядок схемы решения увеличен в теории конечных элементов. Многомерные задачи с использованием схемы равнораспределения могут быть решены несколькими способами. Самыми простыми для понимания являются генераторы сетки Пуассона с функцией управления, основанной на равнораспределении весовой функции с диффузионным набором, кратным желаемому объему ячейки. Схема равнораспределения также может быть применена к неструктурированной задаче. Проблема в том, что соединение затруднено, если перемещение точки сетки очень велико.

С помощью этого адаптивного метода можно решить проблему устойчивого потока и точного по времени расчета расхода. Сетка уточняется и после заранее определенного количества итераций, чтобы адаптировать ее к задаче установившегося потока. Сетка перестанет приспосабливаться к изменениям, как только решение сойдется. В случае точного по времени случая требуется связь дифференциальных уравнений в частных производных физической задачи и уравнений, описывающих движение сетки.

См. Также [ править ]

Генерация сетки
Виды сетки
Классификация по сетке

Ссылки [ править ]

^ Андерсон, Дейл (2012). Вычислительная механика жидкости и теплопередача, третье издание серии по вычислительным и физическим процессам в механике и тепловых науках . CRC Press. С. 679–712. ISBN 978-1591690375.
Перейти ↑ Winslow, A (1966). «Численное решение квазилинейного уравнения Пуассона». J. Comput. Phys . 1 (2): 149–172. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (66) 90001-5 .
^ Томпсон, JF; Темза, ФК; Мастин, CW (1974). «Автоматическое численное построение аппроксимированной телом криволинейной системы координат для поля, содержащего любое количество произвольных двумерных тел». J. Comput. Phys . 15 (3): 299–319. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (74) 90114-4 .
^ Янг, Дэвид (1954). «Итерационные методы решения уравнений в частных разностях эллиптического типа» . Труды Американского математического общества . 76 (1): 92–111. DOI : 10.2307 / 1990745 . ISSN 1088-6850 . JSTOR 1990745 .
^ Steger, JL; Соренсон, Р.Л. (1980). «Использование гиперболического уравнения в частных производных для генерации координат, подогнанных к телу, методы построения числовой сетки». Публикация конференции НАСА 2166 : 463–478.
^ Венкатакришнан, V; Мавриплис, Д. Дж (май 1991 г.). «Неявные решатели для неструктурированных сеток». Журнал вычислительной физики . 105 (1): 23. DOI : 10,1006 / jcph.1993.1055 . hdl : 2060/19910014812 .
^ Weatherill, NP (сентябрь 1992). «Триангуляция Делоне в вычислительной гидродинамике». Компьютеры и математика с приложениями . 24 (5–6): 129–150. DOI : 10.1016 / 0898-1221 (92) 90045-J .
^ Андерсон, DA; Шарп Х.Н. (июль 1993 г.). «Построение ортогональных адаптивных сеток с фиксированными внутренними границами для моделирования нефтяных пластов» . Серия передовых технологий SPE . 2. 1 (2): 53–62. DOI : 10.2118 / 21235-PA .

[1] Андерсон, Дейл (2012). Вычислительная механика жидкости и теплопередача, третье издание серии по вычислительным и физическим процессам в механике и тепловых науках . CRC Press. С. 679–712. ISBN 978-1591690375.

[2] Перейти ↑ Winslow, A (1966). «Численное решение квазилинейного уравнения Пуассона». J. Comput. Phys . 1 (2): 149–172. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (66) 90001-5 .

[3] Томпсон, JF; Темза, ФК; Мастин, CW (1974). «Автоматическое численное построение аппроксимированной телом криволинейной системы координат для поля, содержащего любое количество произвольных двумерных тел». J. Comput. Phys . 15 (3): 299–319. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (74) 90114-4 .

[4] Янг, Дэвид (1954). «Итерационные методы решения уравнений в частных разностях эллиптического типа» . Труды Американского математического общества . 76 (1): 92–111. DOI : 10.2307 / 1990745 . ISSN 1088-6850 . JSTOR 1990745 .

[5] Steger, JL; Соренсон, Р.Л. (1980). «Использование гиперболического уравнения в частных производных для генерации координат, подогнанных к телу, методы построения числовой сетки». Публикация конференции НАСА 2166 : 463–478.

[6] Венкатакришнан, V; Мавриплис, Д. Дж (май 1991 г.). «Неявные решатели для неструктурированных сеток». Журнал вычислительной физики . 105 (1): 23. DOI : 10,1006 / jcph.1993.1055 . hdl : 2060/19910014812 .

[7] Weatherill, NP (сентябрь 1992). «Триангуляция Делоне в вычислительной гидродинамике». Компьютеры и математика с приложениями . 24 (5–6): 129–150. DOI : 10.1016 / 0898-1221 (92) 90045-J .

[8] Андерсон, DA; Шарп Х.Н. (июль 1993 г.). «Построение ортогональных адаптивных сеток с фиксированными внутренними границами для моделирования нефтяных пластов» . Серия передовых технологий SPE . 2. 1 (2): 53–62. DOI : 10.2118 / 21235-PA .

[1]