Проекция (линейная алгебра)

В линейной алгебре и функциональном анализе проекция — это линейное преобразование векторного пространства в себя ( эндоморфизм ), такое что . То есть всякий раз, когда применяется дважды к любому вектору, он дает тот же результат, как если бы он был применен один раз (т.е. является идемпотентным ). Он оставляет свой образ неизменным. ^[1] Это определение «проекции» формализует и обобщает идею графической проекции . Можно также рассмотреть влияние проекции на геометрический объект, исследуя влияние проекции на точки .${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle P \ circ P = P}$${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle Р}$в объекте.

Проекция на векторное пространство является линейным оператором таким, что .${\ Displaystyle В}$${\ Displaystyle П: В \ к В}$${\ Displaystyle Р ^ {2} = Р}$

Когда имеет внутренний продукт и является полным (т. е. когда является гильбертовым пространством ), можно использовать понятие ортогональности . Проекция на гильбертово пространство называется ортогональной проекцией , если она выполняется для всех . Проекция на гильбертово пространство, которая не является ортогональной, называется косой проекцией .${\ Displaystyle В}$${\ Displaystyle В}$${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle В}$${\ displaystyle \ langle P \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = \ langle \ mathbf {x}, P \ mathbf {y} \ rangle}$${\ Displaystyle \ mathbf {х}, \ mathbf {у} \ ​​в V}$

Например, функция, которая отображает точку в трехмерном пространстве в точку , является ортогональной проекцией на плоскость xy . Эта функция представлена ​​матрицей${\ Displaystyle (х, у, г)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle (х, у, 0)}$

Чтобы увидеть, что это действительно проекция, т . е. , мы вычисляем${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle Р = Р ^ {2}}$

Наблюдение за этим показывает, что проекция является ортогональной проекцией.${\ displaystyle P ^ {\ mathrm {T}} = P}$

Преобразование P является ортогональной проекцией на прямую m .

Преобразование T есть проекция вдоль k на m . Диапазон T равен m , а нулевое пространство равно k .

y проецируется на векторное пространство V .